張 凱, 陳國棟, 薛小明, 張黎明, 孫 海, 姚傳進

(中國石油大學(華東)石油工程學院,山東青島 266580)

目前,新油田發(fā)現(xiàn)的數(shù)量逐年遞減,世界各地許多大型油田產(chǎn)量也在逐年下降。如何立足現(xiàn)有條件,通過對各單井流量進行調(diào)控,使注入水流入未波及的區(qū)域,以提高油藏采收率、最大化油藏開發(fā)潛力至關重要。近年來生產(chǎn)優(yōu)化領域算法可以分為梯度優(yōu)化算法和無梯度算法?；谔荻鹊膬?yōu)化方法[1-2](如序列二次規(guī)劃[3-4])使用伴隨方法來獲得梯度信息。然而,基于梯度的優(yōu)化方法容易陷入局部最優(yōu),梯度獲取困難。無梯度方法可以進一步劃分為近似梯度算法(如SPSA算法[5]和En-Opt算法[6])和啟發(fā)式算法(如粒子群算法[7]和人工蜂群算法(ABC)[8])。近似梯度算法[9-11]可以計算近似的數(shù)值梯度,不需要使用伴隨方法。啟發(fā)式算法全局性好,可獲得更高的油藏開發(fā)經(jīng)濟效益,但需要大量數(shù)值模擬調(diào)用次數(shù)?；诖砟Ｐ偷倪M化算法在油藏生產(chǎn)優(yōu)化問題中可以減少數(shù)值模擬調(diào)用次數(shù)降低時間成本[12]。因此近年來研究者提出了很多基于代理模型的算法來解決生產(chǎn)優(yōu)化問題[13-14],如多項式響應面模型[15]、克里金模型[16]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡[17]和徑向基函數(shù)[18]。然而,代理模型在構(gòu)建模型時計算量大,處理高維問題時性能惡化[19]。Regis[20]提出基于克里金模型構(gòu)建代理的方法主要應用于少于15個決策變量的問題。為解決上述問題,筆者提出結(jié)合代理模型和降維算法的新框架解決生產(chǎn)優(yōu)化問題,并將油藏模型實例結(jié)果與現(xiàn)有進化算法和直接代理優(yōu)化進行對比分析。

1 油藏生產(chǎn)優(yōu)化問題

油藏生產(chǎn)優(yōu)化通過調(diào)整油水井的注采參數(shù)改變地下流體的分布狀態(tài),提高油藏波及系數(shù),以最大化目標函數(shù)(如凈現(xiàn)值(NPV)或累積產(chǎn)油量),進而實現(xiàn)生產(chǎn)效益最大化[21-22]。由于決策變量和目標函數(shù)之間的非線性關系,找到油水井最優(yōu)注采方案是一項具有挑戰(zhàn)性的工作。生產(chǎn)優(yōu)化問題的目標是找到最優(yōu)控制變量組xm×n,其中m為井的數(shù)量,n為控制時間步數(shù)。因此變量的數(shù)量等于待優(yōu)化井數(shù)乘以控制時間步數(shù)。

油田開發(fā)的主要目的是經(jīng)濟效益最大化,因此結(jié)合最優(yōu)控制理論,以凈現(xiàn)值作為生產(chǎn)優(yōu)化性能指標,得到簡化的目標函數(shù)表達式為

f(x,y)=NPV(x,y)=

(1)

約束條件為

c(x)≤0,

(2)

x1≤x≤xu.

(3)

式中,x為要優(yōu)化的變量組,即井控參數(shù)向量(如井底壓力或油水井流量);y為狀態(tài)參數(shù)矩陣,如油藏模型所有網(wǎng)格的壓力、飽和度和組分等;f(x,y)為目標函數(shù);n為控制時間步數(shù);Qo,t、Qw,t和Qi,t分別為時間步t對應的產(chǎn)油速度、產(chǎn)水速度和注水速度,m3/d;ro為原油價格,元/m3;rw和ri分別為水處理成本和注水成本,元/m3;b為平均年利率,%;pt為經(jīng)過的時間,a;c(x)為決策變量約束(如現(xiàn)場操作約束、物理約束等);xl和xu分別為下邊界和上邊界。

2 算法機制

代理模型方法通過少量樣本點構(gòu)建目標函數(shù)的近似模型,從而在計算目標函數(shù)值時使用代理模型而不是直接調(diào)用油藏數(shù)值模擬器。由于代理模型計算目標函數(shù)值所需計算代價遠小于直接調(diào)用油藏數(shù)值模擬器計算,因此可以有效提高優(yōu)化效率?；诖砟Ｐ偷姆椒ㄍǔ＝⒃诰哂袕姶笕炙阉髂芰Φ倪M化算法的基礎上。本文中采用流行的差分進化算法作為優(yōu)化求解器。

2.1 差分進化算法

差分進化算法(DE)[23]是一種流行的啟發(fā)式算法,用于解決全局優(yōu)化問題,并廣泛應用于工程優(yōu)化問題。經(jīng)典的DE算法如下:

(1)變異。本文中選擇“DE/best/1”作為變異策略,

vi=xbest+Mu(xi1-xi2).

(4)

式中,xbest為目前找到的最優(yōu)解,即最優(yōu)的井控參數(shù)向量;i1,i2∈[1,NP]為相互不同的隨機整數(shù);vi為第i個個體變異向量;Mu為一個通常設置為0.5的比例因子。

(2)交叉。

(5)

式中,Uj(0,1)為從0到1均勻分布的任意數(shù);jrand為確保試驗向量ui不重復而隨機選擇的索引;CR為交叉率。

(3)選擇。

(6)

關于差分進化算法的更多介紹可以參閱文獻[23]。

2.2 代理模型方法

近年來研究者已經(jīng)提出了許多近似函數(shù)構(gòu)造代理模型[13-14],如多項式響應面模型[15]、克里金模型[16]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡[17]和徑向基函數(shù)[18]?？死锝鹉Ｐ涂梢詮臄?shù)學角度提供模型的不確定性[12,16,18],因此本文中選擇克里金模型作為代理模型。

克里金模型(普通克里金法[24])假定確定性函數(shù)為

fp(x)=μ+ε(x).

(7)

式中,μ為樣本點的平均常數(shù);ε(x)為具有零均值的自相關誤差項,是樣本點之間的廣義距離的函數(shù)。

ε(x)用高斯相關函數(shù)作為變差函數(shù)的相關結(jié)構(gòu)給出:

(8)

式中,N為x的維數(shù);σ2為設計點的方差;φk為第k維的相關系數(shù)。

具體而言,在給定一組Ns數(shù)據(jù)(x,f)之后,通過最大似然函數(shù)估計參數(shù)μ、σ和φ[12]。最優(yōu)無偏估計為

(9)

其中

r(x)=[R(x,x(1)),…,R(x,x(Ns))].

均方誤差為

(10)

選擇校正個體時個體的目標函數(shù)和代理模型的預測精度都很重要。為了平衡這兩個因素的影響,已經(jīng)提出了很多標準,例如預期改進(ExI)[25]、改進概率(PoI)[12]和最低置信區(qū)間(LCB)[26]。本文中選擇LCB策略。給定預測分布,預篩選的值定義[26]為

(11)

基于LCB動態(tài)加點策略的代理模型最小化目標函數(shù)過程如圖1所示。首先通過試驗設計方法取幾個樣本點作為初始樣本點,然后構(gòu)建代理模型來近似目標函數(shù),根據(jù)LCB策略使用差分進化算法篩選出下一步加點的所在位置,逐步動態(tài)取樣完善代理模型精度,逼近全局最優(yōu)點。

圖1 基于LCB動態(tài)加點策略的代理模型優(yōu)化過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of surrogate-assisted optimization process based on LCB strategy

2.3 降維方法主成分分析

由于油藏注采優(yōu)化問題變量多,直接用克里金插值構(gòu)建的近似模型誤差大,難以實現(xiàn)對數(shù)值模擬器進行有效的近似。因此采用主成分分析方法對優(yōu)化問題進行降維處理。主成分分析(PCA)[27]是一種常用的線性降維方法,可以將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為低維數(shù)據(jù)。在克里金代理模型中,輸入變量過多不僅會增加代理計算的復雜性,代理模型的精度也會下降,影響優(yōu)化的效率和精度。因此本文中采用主成分分析方法對數(shù)據(jù)進行降維。

PCA假設數(shù)據(jù)之間為線性關系,在保存原始數(shù)據(jù)的協(xié)方差結(jié)構(gòu)的基礎上計算低維表達,即最大化總體方差。PCA的目標函數(shù)為

(12)

其中

Xi=(xi1,xi2,…,xir),Yi=(yi1,yi2,…,yir).

2.4 SADE-PCA算法優(yōu)化計算步驟

代理模型的優(yōu)化過程比傳統(tǒng)的進化算法更有效,但當處理油藏注采優(yōu)化問題時,由于優(yōu)化變量過多導致參數(shù)優(yōu)化搜索空間巨大,代理模型對油藏數(shù)值模擬器的近似能力大大降低。當直接使用基于代理模型的差分進化算法(SADE)進行優(yōu)化時,由于變量過多,直接采用代理模型進行優(yōu)化會導致參數(shù)優(yōu)化搜索空間巨大難以構(gòu)建高精度的代理模型,即少量樣本點無法建立足夠精度的代理模型。為了利用低維空間中的基于代理模型的優(yōu)化方法,在建立代理模型之前,利用主成分分析將數(shù)據(jù)從高維空間轉(zhuǎn)換為低維空間。隨后,利用低維數(shù)據(jù)構(gòu)建更高精度的克里金代理模型。因此搜索可以集中在由代理模型引導的適應度高的小區(qū)域。SADE-PCA算法的流程如圖2所示。

圖2 SADE-PCA流程Fig.2 Flow diagram of SADE-PCA

3 計算實例

基于油藏數(shù)值模擬軟件Eclipse,以油藏實例Egg模型[28]為例,應用SADE-PCA算法進行測試,并與傳統(tǒng)進化算法和直接代理優(yōu)化算法進行比較。Egg模型是一個在水驅(qū)生產(chǎn)下的非均質(zhì)油藏模型,有18 553個有效網(wǎng)格,共有8口注水井和4口生產(chǎn)井。模型滲透率及井位分布如圖3所示。模型詳細說明見文獻[28]。生產(chǎn)井以39.5 MPa的井底壓力定壓生產(chǎn)。需要優(yōu)化的控制變量為8口注水井的注水速率。每口井的最大允許注水速度為79.5 m3/d,最小速度為0 m3/d。原油價格為80.0元/m3,注水成本為5.0元/m3,水處理成本為19.0元/m3,平均年利率為0%。

圖3 Egg模型滲透率分布Fig.3 Permeability distribution of Egg model

要優(yōu)化的變量數(shù)為注水井數(shù)乘以控制步數(shù)。一般控制步數(shù)越多,優(yōu)化越有效,即獲得更高的凈現(xiàn)值?？刂撇綌?shù)越多,則具有更大的自由度,優(yōu)化問題能夠?qū)崿F(xiàn)更高的凈現(xiàn)值。然而,控制變量數(shù)增多意味著迭代次數(shù)增加才能收斂,優(yōu)化算法需要更多的計算資源才能收斂。Sorek等[29]引入了一種函數(shù)控制方法(FCM)和插值控制方法(ICM)以減少計算量,實現(xiàn)適合油田實際應用的平滑注采調(diào)控。ICM方法通過選擇幾個等距插值點作為優(yōu)化變量以表示沿時間范圍的井控變量,其他井控變量通過三次樣條插值確定,ICM方法示意圖如圖4所示。本文中利用插值控制方法緩解由控制時間步數(shù)量引起的優(yōu)化效率和精度的矛盾,減少優(yōu)化變量數(shù)目,并提供平滑的井控方案。Egg模型的總生產(chǎn)周期為3 600 d,模擬生產(chǎn)時間步長設為90 d。因此需要優(yōu)化的變量總數(shù)為8×40=320。選擇對每口井用10個插值點進行控制優(yōu)化,控制變量的數(shù)量減少到8×10=80。

圖4 插值控制方法示意圖Fig.4 Schematic diagram of interpolation control method

為了比較不同方法的結(jié)果,分別用SPSA、En-Opt、DE、DE+ICM、SADE+ICM和SADE-PCA+ICM方法對Egg模型進行優(yōu)化,其中SPSA和En-Opt算法屬于近似梯度類算法。由于近似梯度類算法的優(yōu)化結(jié)果極大取決于初始點的選取,對程序進行5次運行,取平均結(jié)果。凈現(xiàn)值隨數(shù)值模擬調(diào)用次數(shù)變化結(jié)果如圖5所示。在有限的數(shù)值模擬調(diào)用次數(shù)下,近似梯度類方法(SPSA、En-Opt算法)相比差分進化算法表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢。DE方法經(jīng)過800次迭代優(yōu)化后,從初始的1.867×107元增長到2.267×107元。使用ICM方法后,凈現(xiàn)值增長到2.503×107元,相比直接用DE方法優(yōu)化,提高了10.41%。由于代理模型在變量多的情況下無法實現(xiàn)對油藏數(shù)值模擬器進行有效近似,SADE+ICM方法甚至比DE+ICM方法的最終優(yōu)化結(jié)果差。這說明代理模型在優(yōu)化過程中起到了反作用,代理模型在篩選過程中誤導了差分進化算法產(chǎn)生的子解。這是因為代理模型在高維空間中失去了準確性,誤差大。使用降維方法后,SADE-PCA+ICM方法與DE+ICM方法相比優(yōu)化效果改善,說明代理模型在優(yōu)化過程中對子解的篩選過程促進了優(yōu)化進程,改善了優(yōu)化效率。與DE優(yōu)化結(jié)果相比,SADE-PCA+ICM在相同的數(shù)值模擬調(diào)用次數(shù)下優(yōu)化出的凈現(xiàn)值增長到2.720×107元,提高了19.98%。因此從優(yōu)化結(jié)果和優(yōu)化效率來看,SADE-PCA+ICM方法收斂性最好,能夠滿足油藏生產(chǎn)優(yōu)化要求,同時為三次采油油藏開發(fā)方案的優(yōu)化提供了新思路。

圖5 各算法的凈現(xiàn)值優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization result of net present value with different algorithms

各優(yōu)化方法最終的油藏累積產(chǎn)油量、累積注水量、累積產(chǎn)水量和含水率隨時間變化如圖6所示。對比幾種不同方法優(yōu)化結(jié)果,SADE-PCA+ICM提供的方案有效地降低了油井水的產(chǎn)出量,提高了波及系數(shù),有效改善了油田經(jīng)濟開發(fā)效益。各優(yōu)化方法計算所得的對8口注水井的最終生產(chǎn)調(diào)控如圖7所示。圖7中1控制步為90 d,不使用ICM方法的DE的注水井調(diào)控方案如圖7(a)所示,其同一口井相鄰兩控制步的數(shù)值相差較大,調(diào)控方案不穩(wěn)定且振蕩,不利于現(xiàn)場實施,且注水井注入量變化過大會導致井底壓力變化過大,損害儲層,導致出砂等現(xiàn)象。利用ICM的優(yōu)化算法可以提供平滑的生產(chǎn)調(diào)控方案。

圖6 各算法優(yōu)化后油藏累積產(chǎn)油量、累積注水量、累積產(chǎn)水量和油田含水率隨時間變化Fig.6 Variation of accumulative oil production, water injection, water production and water cut of reservoir with time after different algorithms optimization

圖7 各算法注水井調(diào)控Fig.7 Water injection well controls for different algorithms

4 結(jié)束語

針對油藏注采優(yōu)化變量多,直接使用代理模型優(yōu)化結(jié)果變差的問題,提出了SADE-PCA方法,通過主成分分析對數(shù)據(jù)進行降維,而后借助基于代理模型的差分進化算法進行優(yōu)化,最終得到實際生產(chǎn)優(yōu)化問題的調(diào)控方案。應用SADE-PCA方法對Egg模型進行了實例計算。優(yōu)化所得的最優(yōu)調(diào)控方案通過對生產(chǎn)制度進行調(diào)控,有效地降低了油井水的產(chǎn)出量,增大了原油產(chǎn)量,提高了油田經(jīng)濟開發(fā)效益,進一步驗證了方法的有效性。插值控制方法(ICM)在實現(xiàn)平滑的調(diào)控方案和提高計算效率方面具有良好性能。使用ICM方法后,代理模型結(jié)合主成分分析的方法可以更有效地解決實際油藏注采優(yōu)化問題。