畢 偉

(延安大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊中心，陜西 延安 716000)

在算子半群理論中，預(yù)解集是各類算子半群研究的重要內(nèi)容。2014年，張明翠等[1,2]提出了單參數(shù)n階α次積分C半群的定義并研究其相關(guān)性質(zhì)；趙丹丹等[3,4]給出了雙參數(shù)n階α次積分C半群的概念及其預(yù)解集的性質(zhì)。根據(jù)上述文獻(xiàn)，本文給出多參數(shù)n階α次積分半群的預(yù)解集的定義，并研究其預(yù)解式的一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，N表示自然數(shù)集，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，D(A)為線性算子A的定義域，在全文中規(guī)定所有n∈N，m∈N,α≥0。

JnT(t)表示T∈C(「0,+∞),X)的n次積分，即

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n>0使得

JnT(t)=0,t≥0。

定義1[5]設(shè)n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…tm≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)，若存在線性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)～(3)式成立：

(1)?x∈X,t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)?x∈D(A),t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)T(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…T(0，0，…，tm)。

當(dāng)α=0時(shí)，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0稱為多參數(shù)n階強(qiáng)連續(xù)算子半群。

2 主要結(jié)果

定義2 若R(λ,(A1,A2,…,Am))=λn-1(λn-(A1,A2,…,Am))-1有定義在Banach空間X上的有界逆算子，則稱λ為多參數(shù)n階α次積分半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元A=(A1,A2,…,Am)的正則點(diǎn)，R(λ,(A1,A2,…,Am))為A=(A1,A2,…,Am)的預(yù)解式，全體正則點(diǎn)稱為A=(A1,A2,…,Am)的預(yù)解集，記為

定理1 設(shè)n∈N,α≥0,{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0為X上的多參數(shù)n階α次積分半群，閉線性算子A=(A1,A2,…，Am)為其次生成元，且D(A)?X，如果有

{λn|Reλ>max{ω,0}}?

?(a1,a2，…,am)∈Rm，ω∈R，那么下式成立：

R(λ,(A1,A2,…,Am))x=

?x∈X,t≥0。

證明A=(A1,A2,…,Am)是X上的多參數(shù)n階α次積分半群的次生成元，且Reλ>max{ω,0},x∈X，則有

并且

對于固定轉(zhuǎn)速離心壓縮機(jī)（簡稱壓縮機(jī)）流量、壓力關(guān)系見圖1。當(dāng)流量降至Q1，操作點(diǎn)移至S1，壓縮機(jī)發(fā)生喘振工況，葉輪和擴(kuò)散器開始出現(xiàn)倒流，出口壓力降低，噪音和振動(dòng)發(fā)生，壓縮機(jī)失去維持穩(wěn)定操作的能力。嚴(yán)重的喘振可能導(dǎo)致壓縮機(jī)機(jī)械密封、軸承及葉輪的損壞，造成不可挽回的經(jīng)濟(jì)損失。對于離心式壓縮機(jī)，啟動(dòng)、停車、以及入口介質(zhì)的壓力、溫度、比熱、摩爾質(zhì)量和壓縮系數(shù)等任何參數(shù)發(fā)生變化，都可能使壓縮機(jī)操作點(diǎn)到達(dá)S1，引起壓縮機(jī)的喘振。在喘振系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，通常通過設(shè)定喘振控制點(diǎn)S2（圖1）和喘振實(shí)際發(fā)生點(diǎn)之間的安全余量來為喘振調(diào)節(jié)系統(tǒng)提供反應(yīng)、調(diào)節(jié)時(shí)間。

那么由?(a1,a2,…,am)∈Rm，令

如果x∈D(A)，可得

(A1,A2,…,Am))xdt=

所以有

λn-1(λn-(A1,A2,…,Am))-1x,?x∈X,

即R(λ,(A1,A2,…,Am))x=

定理2 令A(yù)=(A1,A2,…,Am):D(A)→X是多參數(shù)n階α次積分半群的次生成元，

R(λ(A1,A2,…,Am))為A=(A1,A2,…,Am)的預(yù)解式，則有：

R(λ,(A1,A2,…,Am))λ1-n-

R(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-n=

R(λ,(A1,A2,…,Am))R(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。

證明由R(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(μn-

(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(μn-λn+λn-

(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(λn-

(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))+

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(μn-

λn)R(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1λn-1+

μ1-nR(μ,(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)=

μ1-nR(μ,(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)=

μ1-nR(μ,(A1,A2,…,Am))λn-1+

μ1-nR(μ,(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)。

可得R(λ,(A1,A2,…,Am))=

R(μ,(A1,A2,…,Am))λn-1μ1-n+

R(μ,(A1,A2,…,Am))R(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)μ1-n。

兩邊同乘以λ1-n，再移項(xiàng)可得

R(λ,(A1,A2,…,Am))λ1-n-

R(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-n=

R(λ,(A1,A2,…,Am))R(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。