□ 郜舒竹

在某培訓機構的網絡課程中，看到一個一年級小學生的錯題講解。題目是：“小猴子說：我吃了3個桃子，還剩下4 個桃子，原來有多少個桃子？”學生的答案為：7-3=4（個）（如圖1）。

圖1 學生“錯”題

教師講解的大意是，這樣列式計算是錯誤的，正確答案應當是“3+4=7（個）”。此類“加減混淆”的現(xiàn)象在低年級學生中極其普遍，這是不同于教師預設的生成，不妨叫作“異樣生成”。如今的教學倡導“變教為學”，將以教師教的活動為主的課堂教學，改變?yōu)橐詫W生學習活動為主的課堂教學。主旨是“育人為本，活動中心，多樣生成”。育人為本是實施教學的指導思想，活動中心是踐行指導思想的途徑與方法，多樣生成是活動中心教學必然的結果。多樣生成自然包括異樣生成，教師在“變教為學”教學改革中面臨的一個挑戰(zhàn)，就是如何面對異樣生成。

一、如何看待異樣生成

面對學生的異樣生成，教師如果采用“是非分明”的態(tài)度，將不同于標準答案的生成一律視為“錯誤”，歸因為學生“沒學好、不認真聽講”或“粗心、馬虎、不認真”，簡單地讓學生對照標準答案改錯，在學生面前表現(xiàn)出“憤怒+指責+厭惡”，那么帶給學生的自然是“恐懼+盲從+氣餒”的負面效應。

學生學習過程中出現(xiàn)不同于預設的異樣生成，是正常的，還是反常的？是好事情，還是壞事情？如果把異樣生成視為學生經過自主思考產生的獨特的、個性的想法，當然就是多樣的，符合育人為本、活動中心的教學主旨。因此面對異樣生成，包括錯誤，教師應當采取肯定和接納的態(tài)度，異樣生成可以成為研究學生思維規(guī)律的“數據（Data）”，進而成為教師的教學資源。這樣的教學研究至少應當包括“辨別、解釋、應用”三個方面的內容。

所謂“辨別”，就是需要回答“錯沒錯”的問題。錯沒錯的辨別標準，往往會以教科書或教學參考書、命題專家給出的標準答案為參照，簡言之就是以成人事先預設為標準，而這樣的標準明顯具有主觀性和局限性。學生的認知是復雜的過程，具有動態(tài)的過程性和多樣的差異性。錯誤的答案可能蘊含著合理的思維，錯誤的過程可能得到正確的結果，獨特的生成可能隱藏著創(chuàng)新的思維。因此，辨別錯誤應當站在學生的立場上，從學生的思維過程中尋找規(guī)律，尋找其合理成分。

在辨別的基礎上解釋學生的生成，指的是需要回答“為什么”的問題。任何事物都有存在的理由，任何現(xiàn)象都有出現(xiàn)的原因。學生的生成是認知過程的結果，這個結果必然與認知過程中的某些規(guī)律相關。努力尋找并發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，為學生的生成找到原因，對于教師了解學生的學習認知規(guī)律，提升教學水平，無疑是重要的。

有了相對準確的辨別和解釋，就可以應用生成開展學習活動的教學，讓學生的生成包括錯誤，成為教學資源。讓學生之間有機會交流、分享，讓學生有機會自我反思，讓學生能夠在反思、交流中自我評價、自我否定。應當相信：

·生成是創(chuàng)新

·生成必多樣

·生成是財富

二、“錯誤”的合理性

人的認知活動通常體現(xiàn)為三個方面：第一是對情境的感知；第二是在感知過程中頭腦中無意識的判斷；第三是符號表征。法國的格拉德·沃格諾德（Gérard Vergnaud）把這樣三個方面的綜合叫作“理解域（Conceptual Field）”[1]。就是說，感知、思維和表征三個過程并不是依照時間順序進行的，而是交互著相互影響的。

前面“猴子吃桃”的情境，是在時間、空間和數量三個方面，體現(xiàn)運動與變化的“事件（Event）”。任何事件都有一個從始到終的過程，從時間順序上涉及三個要素：起始狀態(tài)、變化過程、終極狀態(tài)。這三個要素表現(xiàn)在“猴子吃桃”情境中，分別為：

·起始狀態(tài)：原有桃子

·變化過程：吃掉桃子

·終極狀態(tài)：還剩桃子

如果把起始狀態(tài)“原有桃子”的全體視為一個“類”，個別桃子視為“類”中的對象或元素，聯(lián)系到熟悉的容器思維（容器圖式），這個事件在頭腦中的意境就成為：

·起始狀態(tài)：容器中有物品

·變化過程：取出部分物品

·終極狀態(tài)：還剩部分物品

應用格拉德·沃格諾德所說的理解域，頭腦中會無意識地形成如下判斷，容器中的物品數量：

·放入會增加

·取出會減少

“放入會增加”指的是起始狀態(tài)和終極狀態(tài)之間的數量關系，也就是如果變化過程是向容器中放入物品，那么終極狀態(tài)的數量應當多于起始狀態(tài)的數量。反過來說，起始狀態(tài)的數量應當少于終極狀態(tài)的數量。同樣，“取出會減少”指的是終極狀態(tài)的數量應當少于起始狀態(tài)的數量，或起始狀態(tài)的數量應當多于終極狀態(tài)的數量。

格拉德·沃格諾德把這樣在情境感知中，不知不覺的判斷，叫作“行動中的定理（Theorem in Action）”，是支配后續(xù)行為的重要因素。頭腦中形成了這種判斷，接下來是用符號表征這樣的事件。延續(xù)前面“放入會增加、取出會減少”的判斷，自然推理出新的判斷：

·增加應當用“加”

·減少應當用“減”

“猴子吃桃”事件與“從容器中取出”相對應，頭腦中起支配作用的判斷自然是容器中數量減少，減少應當用減法。這樣的思維過程自然就會導致“7-3=4”的符號表征。

另外，用算式表征情境，相當于涉身認知中的“隱喻（Metaphor）”，指的是不同領域之間的“對應（Mapping）”，也可以認為是“類比（Analogy）”推理。這樣的對應通常會遵循“同構（Isomorphism）”的對應原則（同構就是結構相同的意思），表現(xiàn)為三個方面的“一一對應（One-One Mapping）”：

·對象與對象對應

·動作與動作對應

·關系與關系對應

“猴子吃桃”情境中，“桃子”與“數”的對應可以認為是對象與對象的對應，“吃了”與“減”的對應是動作與動作的對應，情境中的時間順序與符號表征從左到右的順序保持一致，可以認為是關系與關系的對應。具體表現(xiàn)為，起始狀態(tài)的“原有”與“被減數”對應，“吃了的桃子”與“減數”對應，終極狀態(tài)的“還?！迸c“差”對應，保持了事件“發(fā)生—發(fā)展—結束”的時間順序，與算式中被減數、減號、減數、差從左向右的空間位置關系保持一致。這種在隱喻映射中保持不變的內容，在認知科學中叫作“不變量（Invariance 或 Uniformities）”[2]。

終極狀態(tài)還剩還剩=4事件猴子吃桃容器算式起始狀態(tài)原有原有7變化過程吃了取出-3

因此，這個對應完全符合“對象與對象、屬性與屬性、關系與關系”的同構原則。學生對于“猴子吃桃”問題列出算式“7-3=4”，符合涉身認知中隱喻思維規(guī)律。從時間順序上說，是從起始開始，經歷變化，到終極結束；從屬性上說，是從多到少的變化過程；從事件發(fā)生、發(fā)展上說，是從開始到結束?？梢杂脠D2直觀表示這樣的隱喻過程。

圖2 同構對應示意圖

像這樣同構對應的思維方式，在語言轉換或互譯中也很普遍。比如英語學習中“Nice to meet you”這句話，對于母語為漢語的中國人不會感覺困難，因為它與漢語“很高興見到你”的字詞及其順序基本相同，也即英語表達與漢語表達相互之間的對應符合同構原則（如圖3）。

圖3 英—漢同構對應

中文的“謝謝你”轉換為英文“Thank you”，如果“謝謝”對應“Thank”，“你”對應“You”，同樣具有同構的對應，也很容易理解。反過來，中文中回應感謝時常說“不用謝”，在英文中就不存在具有同構對應的說法，回應“Thank you”時，不能說“Not thank”或“No thanks”。說法可能是“You are welcome”“It’s okey”“No problem”。

這些說法都無法與“不用謝”建立同構對應，自然就會成為英語學習的難點。因此可以說，同構對應思維會成為違背同構關系對象認知的障礙。這也就解釋了在“猴子吃桃”情境中，為什么學生對“3+4=7”難以接受，原因就在于算式“3+4=7”，破壞了從情境到算式的同構對應。元素之間的對應，打亂了時間順序關系以及數量增加、減少的屬性變化規(guī)律（如圖4）。

圖4 非同構對應示意圖

三、互逆關系

接下來的問題是，如何將算式“3+4=7”與“猴子吃桃”情境之間建立起合乎思維規(guī)律的聯(lián)系？原題事件整個過程是由于“吃掉”，從而“減少”的過程，與符號表征“7-3=4”具有同構對應關系。而“3+4=7”需要想象反過來的過程，也即“補回”，進而“增加”的過程（如圖5）。

圖5 互逆過程示意圖

這個反過來的過程在“猴子吃桃”事件中并未發(fā)生，屬于“虛構（Fictive）”的事件，具有“想象（Imaginary）”的特征，把想象的過程用算式描述出來，實際是兩步計算：

7-3+3

=4+3

=7

第一步“7-3=4”對應“吃掉”或“減少”3 個，還剩4 個；第二步“4+3”對應“補回”或“增加”3 個，得到原有桃子數量。這樣的過程，對于一年級學生顯然具有難以理解的復雜性。加與減作為運算的“互逆（Inversion）”關系，需要許多涉身活動經驗的積累才有可能逐步理解。比如：

·前進 10 步后，倒退 10 步，回到原地。“前進”與“倒退”具有互逆關系。

·上學是從家到學校，下學就是原路返回，回到家中?！吧蠈W”與“下學”具有互逆關系。

·收拾書包準備上學是向書包中放入書本，到學校準備上課，從書包中取出書本?！胺湃搿迸c“取出”具有互逆關系。

·工資的“收入”與消費的“支出”，具有互逆關系。

諸如此類的涉身活動，都可以成為隱喻加、減運算互逆關系的涉身經驗。這種“增”與“減”的互逆關系，是溝通這兩個運算聯(lián)系的基本規(guī)律。數學家建構代數結構時，運算的互逆關系起著基礎性的重要作用。

四、預見錯誤

通過解釋學生的異樣生成，可以幫助教師預測學生的認知困難以及可能出現(xiàn)的錯誤。以上案例分析可以得到一個結論：凡違背隱喻同構對應的現(xiàn)象，學生都會出現(xiàn)類似的理解困難，進而寫出與教師期望不同的算式。將“猴子吃桃”推廣到一般的事件，其基本結構可以用圖6表示。

圖6 一般事件示意圖

從時間順序關系上看，分別為起始狀態(tài)在“前”，變化過程在“中”，終極狀態(tài)在“后”。事件發(fā)生、發(fā)展的順序遵從“從前到中”和“從中到后”規(guī)律。學生熟悉的問題自然是符合事件發(fā)生發(fā)展順序的“知前想后”（如圖7）：已知有7個桃子，小猴子吃了3個，還剩幾個？可以輕易得到“7-3=4”的算式。

圖7 “知前想后”示意圖

前面“猴子吃桃”問題之所以難，是已知“中、后”，求“前”（如圖8）。

圖8 “知后想前”示意圖

這相當于時間倒流，與學生熟悉的“知前想后”順序相悖。如果題目更改為：有7 個桃子，小猴子吃了一些，還剩4 個，問小猴子吃了幾個？信息結構為已知“前、后”，求“中”，同樣破壞了事件的時間順序（如圖9）。

圖9 “求中”示意圖

可以預測，一定會有學生寫出“7-3=4”的算式，而不是期望的“7-4=3”。原因就在于按照從左到右的順序看，“7-3=4”符合題目敘述事件的順序。有了這樣的理解，就不難預測下面幾個問題對于學生的難易程度，以及可能出現(xiàn)的異樣生成。

·小明有5 塊巧克力，需要增加多少塊，才能擁有8塊巧克力？

·小明有8 塊巧克力，給了小紅一些后還剩5塊。小明給了小紅多少塊巧克力？

·小明有8 塊巧克力，給了小紅3 塊。小明還剩多少塊巧克力？

·小明有一些巧克力，小紅給了小明3 塊后，小明共有8塊。小明最初有多少塊巧克力？

五、情境與語言的復雜性

圖10 整體與局部關系示意圖

如果已知兩個局部的數量，則運用加法可以計算出整體的數量。與之對應的減法問題就是知道整體和一個局部的數量，求另外一個局部的數量（如圖 11）。

圖11 已知整體求局部示意圖

用文字敘述這個問題可以是：小明有8塊巧克力，5 塊是黑色的，其余是白色的。他有多少塊白色的巧克力？

這種整體與局部關系的情境不涉及空間位置和時間順序的變化，從結構上看相對單一。較為復雜且對于低齡學生不易理解的類型，是不同對象間進行比較與變換的數量關系，以及前面介紹的事件中運動與變化的類型。[3]會出現(xiàn)同樣的算式對應不同的情境，以及同樣的情境對應不同的語言表述的情況，表現(xiàn)出語言表述與情境的多樣性和復雜性。

比較關系的故事情境需要有兩個對象，各自的數量不同，因此就會出現(xiàn)“多多少”或者“少多少”的問題。比如對于“5+3=？”這樣一個算式，可以對應下面不同的語言表征。

·小紅有5 塊巧克力，小明比小紅多3 塊。小明有多少塊巧克力？

·小紅有5 塊巧克力，如果小明減少3 塊就和小紅一樣多。小明有多少塊巧克力？

還可以交換主語和賓語的位置敘述為：

·小紅有5 塊巧克力，比小明少3 塊。小明有多少塊巧克力？

·小紅有5 塊巧克力，如果小紅再增加3 塊就和小明一樣多。小明有多少塊巧克力？

利用加法和減法的互逆關系，從這些加法算式的情境，還可以衍生出用減法算式計算的情境。

·小明有8 塊巧克力，小紅有5 塊巧克力。小明比小紅多多少塊巧克力？

·小明有8 塊巧克力，小紅有5 塊巧克力。小明減少多少塊就和小紅一樣多？

·小明有8 塊巧克力，小紅有5 塊巧克力。小紅比小明少多少塊巧克力？

·小明有8 塊巧克力，小紅有5 塊巧克力。小紅需要得到多少塊巧克力才能和小明一樣多？

·小明有8 塊巧克力，如果小紅再得到3 塊就和小明一樣多。小紅有多少塊巧克力？

·小明有8 塊巧克力，如果減少3 塊就和小紅一樣多。小紅有多少塊巧克力？

表面看都是相同的情境，但由于語言表述以及順序差異，會給學生帶來不同的認知困難。因此“運算”作為一類數學學習活動，是多元的、復雜的。計算教學僅限于針對算式的算法和算理是遠遠不夠的。把計算拓展為運算，把運算與涉身認知活動聯(lián)系起來，實質是“情境、判斷、符號”之間的互動過程。

在這樣的過程中，學生會出現(xiàn)多樣的生成，包括錯誤。教師應本著“育人為本”的指導思想，秉承“錯誤是必然的，錯誤是普遍的，錯誤是有理的，錯誤是有用的”信念，用寬容、接納和研究的態(tài)度面對學生的異樣生成和錯誤。

應當承認，我國社會目前對于基礎教育中的學科教學的認識仍然囿于“應試”思維，“辦老百姓滿意的教育”就成為順應這種思維的教育。評價學校教育質量看分數，評價教師教學質量看分數，教學“質量”的高低與“分數”的高低成了正比例關系。

在這樣的現(xiàn)實中，家長、教師厭惡學生的“錯”，是順理成章的，因為“錯”是“低分”的根源。因此，教學的改變需要時間，需要政府管理和評價的改變，需要家長乃至社會觀念的改變，需要學校教學管理的改變，由此才有可能帶來教師教學真正的改變。

作為最基層、最普通的教師，不妨從“收集、解釋、應用”學生錯誤入手，讓“錯”發(fā)揮教學資源的作用，這樣的做法或許會獲得“素質教育”與“應試教育”的雙豐收。