□ 黃利巢 王 芳

一般地，我們認(rèn)為抽象都是從具體的情境中得來的。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還有許多從數(shù)學(xué)抽象的結(jié)論中進(jìn)行再抽象的情況，四則運(yùn)算的意義的學(xué)習(xí)就是這樣一個(gè)過程。在概括出四則運(yùn)算的意義并運(yùn)用其列舉實(shí)際問題時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，有一些實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系可以用運(yùn)算定義直接解釋，有一些則是運(yùn)算定義的間接延伸?；谶@樣的認(rèn)識，筆者對“加、減法的意義和各部分間的關(guān)系”的教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)。

一、加法意義的理解

通過對加法定義的理解，筆者認(rèn)為，用具體的加法進(jìn)行概括比用應(yīng)用問題引出加法后概括出加法的定義更加合理，通過依據(jù)相同的算式編寫出不同類型的應(yīng)用問題后進(jìn)行比較，能加深學(xué)生對加法意義的理解。

（一）通過計(jì)算感知加法含義

教師出示三道加法算式（如圖1），請學(xué)生依次口算出結(jié)果，然后提問：“這三個(gè)算式有什么相同的地方？”當(dāng)學(xué)生回答“它們都是加法”后，教師順勢提出：“那它們又是怎樣加的呢？”教師用線段圖演示“20+30=50”相加的過程（如圖2 中去掉三個(gè)虛線圈）。接著請學(xué)生用手勢演示“加”的過程（如圖2中分別圈出兩個(gè)加數(shù)圈，再圈出和的圈），并用這樣的手勢演示余下兩個(gè)計(jì)算題“加”的過程。

圖1

圖2

通過以上操作體驗(yàn)后，教師繼續(xù)追問：“通過剛才的手勢，你們能夠說一說‘加’是什么意思嗎？”由此學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)“加”實(shí)際上就是“合并”。

（二）觀察算式概括加法意義

教師進(jìn)一步提問：“那么，加法是怎樣的一種‘運(yùn)算’呢？請繼續(xù)觀察加法算式與圖示說一說。”讓學(xué)生由加法運(yùn)算過程的直觀演示感知“加”的含義。

當(dāng)學(xué)生概括出加法的定義后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象得到加法的關(guān)系式“加數(shù)+加數(shù)=和”。

在對數(shù)學(xué)概念下定義時(shí)，找準(zhǔn)概念形成過程中最切合的原型十分重要。把加法的計(jì)算過程作為概括加法定義的原型，能讓學(xué)生在具體計(jì)算的過程中概括出“加”的含義。

（三）編寫問題豐富加法意義

加法的定義由加法計(jì)算概括而來。但是，回顧基于加法數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用問題，發(fā)現(xiàn)有一些與加法意義一致，有一些則是加法意義的延伸。筆者選擇其中的“20+30=50”提出新的任務(wù)：“想一想，根據(jù)這個(gè)算式，你能解決什么數(shù)學(xué)問題？”

學(xué)生編題后，教師選擇其中三種不同類型的例子板書展示。

第1 題：四（1）班參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有20 人，四（2）班參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有30 人，兩個(gè)班參加數(shù)學(xué)興趣小組的一共有多少人？

第2 題：修一段路，已經(jīng)修了20 米，還剩下30米沒有修，一共要修多少米？

第 3 題：今年小明 20 歲，爸爸比他大 30 歲，爸爸今年多少歲？

請學(xué)生觀察比較：“這三個(gè)問題雖然都是用‘20+30=50’進(jìn)行計(jì)算，但有什么不同的地方呢？”逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第1題中的兩個(gè)信息是并列關(guān)系，第2 題中的兩個(gè)信息是有時(shí)間順序的，是遞進(jìn)關(guān)系。依據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，教師讓學(xué)生進(jìn)一步概括出數(shù)量關(guān)系，并在第2題中圈出表示時(shí)間序列的關(guān)鍵詞。接著請學(xué)生用加法定義中的關(guān)系式進(jìn)行比較，說一說在這兩個(gè)問題中兩個(gè)“加數(shù)”分別指什么，“和”又指什么。再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生評析第3 題。請學(xué)生試著畫出線段圖，教師展示一名學(xué)生的作品（如圖3），并請其他學(xué)生說一說與前兩題有什么不同。

圖3

生：這題是爸爸的歲數(shù)與小明的歲數(shù)在作比較，所以我畫了兩條線段。

師（追問）：20歲是小明的歲數(shù)，在表示爸爸的線段中，它又表示什么意思呢？

生：是與小明“同樣多”的歲數(shù)。

生：我知道了，這里爸爸的歲數(shù)也分成了兩個(gè)部分，一部分是與小明同樣多的，另一部分是比小明多出來的。

依據(jù)學(xué)生的認(rèn)識，教師進(jìn)一步總結(jié)：第3 題是關(guān)于相差關(guān)系的應(yīng)用問題，雖然兩個(gè)信息在不同的線段上，但是用“同樣多”可以把它們聯(lián)系到一起。

許多數(shù)學(xué)概念包含著基本意義與延伸意義兩個(gè)層次，如“分?jǐn)?shù)”的基本意義是“份”的意義，后來隨著計(jì)算與表達(dá)的需要，又發(fā)展出了“商”的意義與“比”的意義。因此，在進(jìn)行歸納與總結(jié)階段，需要通過實(shí)例，溝通它們之間的聯(lián)系，構(gòu)建起有層次的概念理解。

二、減法意義的理解

從一年級開始，學(xué)生已經(jīng)有了加減法“一圖三式”的經(jīng)驗(yàn)（如圖4）。當(dāng)概括了加法的意義后，學(xué)生自然地會聯(lián)想到減法的意義是怎樣的，它與加法有怎樣的關(guān)系。教師可通過提問，把這樣的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)減法意義的活動經(jīng)驗(yàn)。

圖4

（一）通過減法計(jì)算概括減法意義

教師指著加法的板書提問：“剛才我們概括出了加法的意義，接下來要學(xué)習(xí)什么呢？”當(dāng)學(xué)生說要學(xué)習(xí)“減法”后，教師一邊板書一邊提問：“那么我們又要怎樣學(xué)習(xí)呢？”

生：可以先寫幾個(gè)減法算式，接著概括什么叫減法，再提出應(yīng)用問題。

生：也就是可以按照加法的學(xué)習(xí)思路來學(xué)習(xí)減法。

教師請學(xué)生把“20+30=50”改寫成兩道減法算式，然后說一說改寫依據(jù)以及什么叫減法。學(xué)生依據(jù)改寫的過程概括出關(guān)系式：和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)。教師請學(xué)生用“已知……求……”的形式概括出減法的定義。

由上述學(xué)習(xí)過程可以發(fā)現(xiàn)，加法的學(xué)習(xí)過程作為減法學(xué)習(xí)的活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生先訂出學(xué)習(xí)方案，然后依據(jù)方案再學(xué)習(xí)，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識間的邏輯聯(lián)系。

（二）比較明晰減法是加法的逆運(yùn)算

有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識之間往往是一種相互依存的關(guān)系。這種關(guān)系可以由學(xué)生結(jié)合具體的實(shí)例，通過比較分析進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與提煉。教師在讓學(xué)生觀察加法算式與減法算式、加法的關(guān)系式與減法的關(guān)系式、加法定義與減法定義的關(guān)系后提出新問題：“減法與加法有怎樣的關(guān)系？”

生：減法算式是從加法中來的。

生：加法關(guān)系式中要求的和，在減法算式中是已知的數(shù)。

師（邊評析邊板書）：剛才同學(xué)們觀察得特別仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)了“減法是從加法中來的”，在數(shù)學(xué)上我們稱減法是加法的“逆運(yùn)算”。

與日常語言相比，數(shù)學(xué)術(shù)語更加精練、抽象，而日常語言則相對形象、淺顯。讓學(xué)生先用日常語言進(jìn)行描述，教師再引出數(shù)學(xué)術(shù)語，這樣可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念。

（三）解決應(yīng)用問題豐富減法意義

學(xué)生在由加法意義推導(dǎo)出減法意義，由減法意義概括出減法與加法的關(guān)系之后，自然地可以通過推導(dǎo)得到用減法解決問題的方法以及與加法一起構(gòu)成的數(shù)量關(guān)系體系。

教師指著黑板上的加法算式提問：“既然我們可以從加法算式中推導(dǎo)出減法算式，又可以從加法的意義推導(dǎo)出減法的意義，那么我們能不能從加法應(yīng)用問題中推導(dǎo)出減法應(yīng)用問題呢？能說一說它們之間的關(guān)系嗎？”

學(xué)生依次編題，教師板書后請學(xué)生觀察由加法編寫而來的減法應(yīng)用問題，說說它們之間有什么關(guān)系。通過觀察比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)減法中的被減數(shù)是“總數(shù)”或“較大的數(shù)”，也是加法中要求的數(shù)。

加、減法中的應(yīng)用問題可以分為兩種類型：一類是“部分?jǐn)?shù)與總數(shù)”的應(yīng)用問題，另一類是“相差關(guān)系”的應(yīng)用問題。通過相應(yīng)的減法應(yīng)用問題的編寫與比較，學(xué)生從應(yīng)用的視角進(jìn)一步理解了加法與減法的關(guān)系。

三、分層練習(xí)豐富理解

在原來的教材體系中，加、減法的意義與各部分間的關(guān)系是解方程的依據(jù)，解方程采用等式性質(zhì)作為依據(jù)之后，這部分內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值有一段時(shí)間被淡化，甚至沒有編入教材。重新編入教材后，怎樣體現(xiàn)它的價(jià)值呢？通過有層次的練習(xí)，學(xué)生從數(shù)學(xué)推理、規(guī)律探究等角度認(rèn)識其價(jià)值。

（一）基本練習(xí)學(xué)會推理

依據(jù)加、減法的關(guān)系，可以進(jìn)行算式或計(jì)算結(jié)果的推理。教師可以變換題型，讓學(xué)生在練習(xí)的過程中，靈活運(yùn)用兩種運(yùn)算之間的關(guān)系解決具體的問題，如圖5所示是一種基本類型。教師可以讓學(xué)生依次口答，說出結(jié)論后再問學(xué)生依據(jù)。

圖5

（二）題組計(jì)算歸納規(guī)律

通過有一定聯(lián)系的題組練習(xí)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和內(nèi)在的變化規(guī)律。在四年級上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了積的變化規(guī)律與商的變化規(guī)律，在加、減法教學(xué)中，教師可通過一些題組練習(xí)，讓學(xué)生概括出和與差的變化規(guī)律。

教師出示如圖6所示的兩組問題，讓學(xué)生邊計(jì)算邊觀察，說說有什么發(fā)現(xiàn)。

圖6

從計(jì)算過程中學(xué)生歸納出當(dāng)其中一個(gè)加數(shù)不變時(shí)，加數(shù)加上（或者減去）幾，和也要加上（或減去）幾。從右邊的題目中同樣可以概括出當(dāng)被減數(shù)不變時(shí)，減數(shù)加上（或減去）幾，差反而減去（或加上）幾。讓學(xué)生進(jìn)一步思考，如果減數(shù)不變，被減數(shù)與差又會怎樣變化，并在學(xué)生推測后進(jìn)行舉例驗(yàn)證。

（三）改編問題體會變化

在加法與減法意義的建構(gòu)與列舉相應(yīng)的解決問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對加、減一步計(jì)算應(yīng)用問題有了更加系統(tǒng)的了解。教師讓學(xué)生通過改編、增加信息或者問題，把簡單的一步計(jì)算應(yīng)用問題變成兩步計(jì)算的復(fù)合應(yīng)用問題，極大地提升了學(xué)生對數(shù)量關(guān)系解決問題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。

如有學(xué)生把加法計(jì)算的第一個(gè)應(yīng)用問題改為：四（1）班參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有20 人，比四（2）班少10人，兩個(gè)班一共有多少人參加數(shù)學(xué)興趣小組？教師展示學(xué)生作品，并請學(xué)生說一說改編的思路。

由基礎(chǔ)到綜合，從應(yīng)用到思考，讓數(shù)學(xué)概念在解決問題的過程中得到鞏固，讓解決問題有數(shù)學(xué)概念的支撐。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)不斷抽象與發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，在教學(xué)中，教師要提供與數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)有著密切聯(lián)系的舊知或現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在“溫故”的同時(shí)提出新問題，進(jìn)行新思考，獲得新知識，形成新經(jīng)驗(yàn)，滲透新思路。