□ 姚金金 邵漢民

教育部2013 年審定的人教版四年級下冊“四則運算”（以下簡稱“2013 年版四則運算”）與2003年審定的人教版四年級下冊“四則運算”（以下簡稱“2003 年版四則運算”）相比較，發(fā)生了很大的變化?！八膭t運算的意義”（包括“加法與減法的關(guān)系”“乘法與除法的關(guān)系”）以及“中括號”又重新編入教材，同時新增了問題解決——租船問題。對于回歸的內(nèi)容，隨著學(xué)習(xí)背景與意義的變化，需要進(jìn)行重新定位；對于新增的內(nèi)容，則可以通過橫向比較，從“類”的角度提升學(xué)生問題解決的能力。

一、回歸——不是簡單的重復(fù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（或《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》）的具體化。當(dāng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行新一輪修訂，總會有一些原本被刪去的內(nèi)容重新回歸。這些回歸的內(nèi)容如何教？可以回顧它們之前在教材中的編排情況，為重新定位這些內(nèi)容的教學(xué)意義做準(zhǔn)備。為此，筆者把“四則運算的意義”與1983 年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊第一單元“四則運算的意義和運算定律”（以下簡稱“1983 年版四則運算的意義”）進(jìn)行比較，把“中括號”與1983年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊第二單元“四則混合運算和應(yīng)用題”（以下簡稱“1983 年版四則混合運算”）進(jìn)行比較。

（一）單元的組合發(fā)生了變化

“1983 年版四則運算的意義”與運算定律組合成一個單元（如圖1）。這樣的組合，從運算的角度分成了三個板塊，分別是運算意義、運算關(guān)系與運算定律，并把加法與減法、乘法與除法分成兩個層次進(jìn)行編制。

圖1

“1983 年版中括號”出現(xiàn)在教材第二單元第一板塊四則混合運算的例3 中（如圖2），而沒有括號與有小括號的四則混合運算在本冊學(xué)習(xí)之前學(xué)生已經(jīng)掌握，本單元中的例1 與例2 只是結(jié)合簡便運算進(jìn)行了運用（如圖3）。

圖2

圖3

“1983年版”至“2003年版”之間還有幾個版本的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，雖然單元組合的內(nèi)容有所不同，但均是將它們分在兩個單元之中。

反觀“2013 年版四則運算”，把它們組合到同一個單元之中，可以更好地總結(jié)四則運算的發(fā)展脈絡(luò)，整體感受從簡單的一步運算到復(fù)雜的綜合算式的學(xué)習(xí)過程。

（二）課時的編排進(jìn)行了調(diào)整

進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，“1983 年版四則運算的意義”不是作為一個整體進(jìn)行編排的，而是被運算定律所分割，強調(diào)了四則運算與簡便計算之間的關(guān)系。而“2013年版四則運算”則更重視“四則運算”意義的理解。

“1983 年版中括號”的引入采用談話的形式（如圖2），“2013年版四則運算”中“中括號”的引入采用遞進(jìn)比較的形式（如圖4），學(xué)生通過計算，經(jīng)歷了運用“括號”改變運算順序，從而引起運算意義與計算結(jié)果變化的過程。

圖4

（三）對后續(xù)學(xué)習(xí)的影響不同

“1983 年版四則運算的意義”中還包括“求未知數(shù)x”，圖5 是總結(jié)了關(guān)系式“一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)”后的內(nèi)容。也就是說“加、減法的關(guān)系”“乘、除法的關(guān)系”是“求未知數(shù)x”的運算依據(jù)，當(dāng)然也成了后續(xù)學(xué)習(xí)“解方程”的運算依據(jù)。“1983年版四則混合運算”之后接著的就是“三步復(fù)合應(yīng)用題”，是四則混合運算的實際應(yīng)用。

圖5

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001 年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2001 年版）》的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，在“解方程”之前沒有安排“求未知數(shù)x”，而解方程的依據(jù)是“等式的性質(zhì)”；基于應(yīng)用問題列成綜合算式規(guī)定不超過兩步運算。也就是說，“四則運算的意義”和“中括號”對后續(xù)學(xué)習(xí)沒有產(chǎn)生影響，這才有了從《課標(biāo)（2001年版）》中刪除的情況。

現(xiàn)在，它們在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011 年版）》的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中實現(xiàn)回歸，但是同樣對后續(xù)學(xué)習(xí)沒有產(chǎn)生影響，因此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)《課標(biāo)（2011年版）》，重新定位“四則運算的意義”和“中括號”的教學(xué)意義。

二、定位——賦予新的教學(xué)意義

把“雙基”拓展為“四基”，是《課標(biāo)（2011 年版）》課程總目標(biāo)的亮點之一，“基本活動經(jīng)驗”“基本數(shù)學(xué)思想”成為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo)?！八膭t運算”是從一年級就開始學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在本單元之前學(xué)生已經(jīng)積累了大量的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。如何從中選擇合適的學(xué)習(xí)材料，組織合理的學(xué)習(xí)活動，達(dá)成“四基”？如何在學(xué)生原有的小括號學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們自主探究“中括號”，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程？

（一）總結(jié)與完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

“四則運算的意義”在本單元學(xué)習(xí)之前學(xué)生已經(jīng)有了豐富的多層次的認(rèn)識。如圖6 所示是加法已有的認(rèn)識層次，由并列關(guān)系的實際問題概括出加法運算以及各部分名稱，再學(xué)習(xí)遞進(jìn)關(guān)系的加法，最后學(xué)習(xí)相差關(guān)系中的加法。因此，同樣是加法算式“3+1=4”，對應(yīng)于實際問題有如上三類結(jié)構(gòu)。再進(jìn)一步思考，“四則運算”又可以分成“合”與“分”兩種意義，加法與乘法表示“合”，減法與除法表示“分”，“分”與“合”又是可逆的，經(jīng)歷這樣的思考，可以更好地構(gòu)建起“四則運算”的概念結(jié)構(gòu)。

圖6

同樣地，在對原有的“四則混合運算”的運算順序進(jìn)行回顧的基礎(chǔ)上，在添加小括號后，如果還要改變原來的運算順序，就需要“創(chuàng)造”新的括號——“中括號”，從而形成更加完善的“四則混合運算”的運算規(guī)則。

總之，本單元中回歸的內(nèi)容，是對“四則運算”和“四則混合運算”的總結(jié)、提煉與發(fā)展，讓學(xué)生充分回顧原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，通過觀察、比較、舉例與概括等學(xué)習(xí)活動，更加完善“四則運算”與“四則混合運算”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的過程

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累”來自對數(shù)學(xué)活動過程的回顧與反思，也是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的產(chǎn)物?！八膭t運算的意義”分成“加、減法的意義”與“乘、除法的意義”兩個緊密銜接的課時，這兩個課時在選擇學(xué)習(xí)材料、組織學(xué)習(xí)過程中均可以相互對應(yīng)。具體地，第一課時分成三個板塊：第一個板塊是加法意義的構(gòu)建，結(jié)合具體的加法運算，概括出加法的定義與關(guān)系式，再通過列舉現(xiàn)實情境下的加法模型，構(gòu)建起加法的數(shù)量關(guān)系體系（如圖6）；第二個板塊由加法算式聯(lián)想到減法算式，從而概括出減法的定義以及與加法的“逆運算”關(guān)系；第三個板塊是利用“加、減法的關(guān)系”進(jìn)行運算推理。同樣地，“乘、除法的意義”也可以由這三個板塊組成。

“中括號”一課作為“整數(shù)四則混合運算”的總結(jié)課，可以讓學(xué)生結(jié)合“整數(shù)四則運算”計算過程中獲得的結(jié)果大小的變化規(guī)律，通過運算順序的變化，得到符合要求的運算結(jié)果（如圖7）。這樣的設(shè)計，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，也與后續(xù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法運算中出現(xiàn)“越乘越小”“越除越大”的情況形成鮮明的對比。

圖7

一般地，“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累”可以分成“活動”“總結(jié)”“運用”三個階段，“活動”時要讓學(xué)生充分地經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程；“總結(jié)”時要讓學(xué)生清晰地梳理思考的步驟；“運用”時要讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用習(xí)得的經(jīng)驗進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。

（三）重視數(shù)學(xué)基本思想的滲透

數(shù)學(xué)基本思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的特征，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)模型。這三種基本思想在回歸的三個課時的教學(xué)中，均可以很好地滲透。

“四則運算意義”的概括，滲透了數(shù)學(xué)抽象的思想。以加法為例（如圖6），學(xué)生有“加法算式”與“加法應(yīng)用”兩個層次的認(rèn)識，從加法的定義“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算”分析，從“加法算式”進(jìn)行抽象概括更加合理，具體的學(xué)習(xí)序列為“加法計算(三至五題)?線段圖演示算式各部分的關(guān)系?概括加法的意義”。在上述思路中，加法意義的抽象對象是具體的加法運算，并結(jié)合線段圖進(jìn)行幾何直觀，學(xué)生能直觀地感受到加法運算過程中“合并”的過程。

概括出加法的意義后，再讓學(xué)生依據(jù)具體的算式如“20+30=50”編應(yīng)用問題，學(xué)生能從實際例子中發(fā)現(xiàn)加法應(yīng)用問題三類不同的現(xiàn)實結(jié)構(gòu)及聯(lián)系。這一個過程，把“20+30=50”看成了一個加法的模型，通過列舉實例，使抽象的加法模型與具體的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建起聯(lián)系。

減法的意義又應(yīng)該如何概括呢？從減法的定義可以看出，它是由加法運算改編成減法運算之后進(jìn)行概括的。因此，教師可以選擇其中的一道加法題改編出兩道減法題，然后提問：那么減法又是怎樣的一種運算呢？從“減法是加法的逆運算”這個視角，用數(shù)學(xué)推理的方法概括減法的意義和加、減法的關(guān)系。

總之，達(dá)成“四基”需要“三線并進(jìn)”，明線是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程，暗線是基本思想方法的滲透，連接明暗兩線的是通過不斷“活動”“回顧”“總結(jié)”而獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

三、生長——從“類”的角度提升問題解決的能力

《課標(biāo)（2011年版）》把“問題解決”由“三能（提出問題、理解問題和解決問題）”細(xì)化為“四能（發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題）”。為達(dá)成目標(biāo)，在一些單元中還專門編制了“問題解決”的內(nèi)容，本單元新增的“租船問題”就是其中的一個例子?！皢栴}解決”能力的培養(yǎng)，需要一個長期的過程，因此把這些分散在各個單元中的、形式各異的“問題解決”的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)分類，以發(fā)現(xiàn)同類“問題解決”的共同處，完善與形成相對統(tǒng)一的問題解決的策略，有利于循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生“問題解決”的能力。

（一）尋找租船問題的同類

依據(jù)難易程度與解決問題的思路，筆者把教材中的問題解決分成三類。第一類是基于規(guī)范的數(shù)量關(guān)系的問題解決，如一年級上冊第46 頁和47 頁的加法和減法的應(yīng)用問題，主要是運算意義在現(xiàn)實生活中的直接應(yīng)用，等同于《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》時期的“應(yīng)用題”；第二類是基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的問題解決，如本單元的“租船問題”，需要聯(lián)系實際，按照一定的策略逐步嘗試解決；第三類是非數(shù)量關(guān)系的問題解決，如一年級上冊第36頁的“看誰搭得又高又穩(wěn)”，讓學(xué)生用若干個球、圓柱、長方體與正方體搭一個立體圖形，其目的是通過操作活動，感知這些立體圖形的特征。

限于文章篇幅，下面以“租船問題”為例進(jìn)一步分析第二類問題解決的特點。要解決“怎樣租船最省錢”，一般要經(jīng)歷如下步驟：一判——租哪一種船省錢？二算——都租這類船要多少錢？三調(diào)——怎樣調(diào)整可以更省錢？四選——比較選擇其中最省錢的方案。一般的租船問題，依據(jù)這四個步驟都可以解決。

租船問題信息量大，需要進(jìn)行規(guī)范的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎疾趴梢酝瓿伞Ｈ绻捌跊]有類似的問題解決策略的訓(xùn)練，后期沒有進(jìn)一步的鞏固，只是獨立地進(jìn)行教學(xué)，其教學(xué)效果可想而知。因此，筆者尋找到與租船問題同樣類型的例題（如表1），試圖通過對這些例題的分析比較，設(shè)計大致相同的教學(xué)思路，以利于問題解決策略的遷移。

表1 人教版教材中與租船問題同類型例題

續(xù)表

（二）經(jīng)歷問題解決的全程

通過分析發(fā)現(xiàn)，解決問題例題普遍信息量較大，教師可以讓學(xué)生根據(jù)信息提出不同層次的多個問題，學(xué)生提問的數(shù)量與質(zhì)量可以反映其“發(fā)現(xiàn)和提出問題”的水平?；谶@樣的思考，逐步形成了經(jīng)歷問題解決全程的教學(xué)設(shè)計思路。

1.依據(jù)信息，提出問題

教師只出示例題中的信息，讓學(xué)生依據(jù)信息提出不同的問題，然后交流匯報，形成問題群。如租船問題中有“租小船每人（至少）多少元？”“都租大船，一共要多少元？”“怎樣租用錢最少？”等等。

為了讓提出的問題更具開放性，教師可以刪去一些信息，讓學(xué)生根據(jù)理解添加合適的信息后再提出問題。如五年級上冊的“分段計費問題”，刪去“總里程”這一個信息，只出示收費標(biāo)準(zhǔn)［3km以內(nèi)7元；超過 3km，每千米 1.5 元（不足 1km 按 1km 計算）］，讓學(xué)生依據(jù)自己的理解添加信息，形成更加開放的互補的問題群。

2.梳理問題，體會價值

引導(dǎo)學(xué)生對提出的問題進(jìn)行梳理，尋找問題的異同，體會問題的不同作用與價值。如“租船問題”中的問題群可以分成如下幾個層次。

第一層次：（1）租大船每人（至少）多少元？（2）租小船每人（至少）多少元？

第二層次：（3）都租大船，一共要多少元？（4）都租小船，一共要多少元？

第三層次：（5）怎樣租用錢最少？

通過梳理分層，又可以發(fā)現(xiàn)新的問題，如從第一層次的兩個問題中還可以提出新的問題：租哪一種船每人付的錢少？最后進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)第三層次中的問題更有價值，是真正的租船問題。

3.尋找聯(lián)系，形成思路

尋找問題之間的聯(lián)系是分析問題、形成解決問題思路的重要策略。如“租船問題”中，第一、二層次的問題經(jīng)過串聯(lián)就成為解決第三層次問題的思路，同時，刪去一些與之無關(guān)的問題（如只租小船需要多少元），形成問題串。

表1 中其他的五個教學(xué)內(nèi)容均按以上教學(xué)策略，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出不同的問題并對提出的問題進(jìn)行分析與梳理，形成問題串，進(jìn)而得出問題解決的思路。

（三）不斷變式讓策略一般化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個循序漸進(jìn)、不斷完善的過程。以上基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的問題解決，例題提供的往往是較為典型的結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上，通過改變情境或信息，讓解決問題的思路變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，解決問題的策略變得更加豐富。

如“租船問題”的練習(xí)中，出現(xiàn)“租車問題”“運煤問題”等，情境變了，但思路沒有變化，從而把“租船問題”轉(zhuǎn)化成“租船類問題”。進(jìn)一步改變其中的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)不一定坐滿（或裝滿）才是最省錢的情況，從而感受完整思考的重要性。再進(jìn)一步變式，發(fā)現(xiàn)“租船類問題”實際上與假設(shè)法的思路一致，從而體會策略的一般化。

總之，隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容也在不斷地進(jìn)行增刪或調(diào)整。教師要增強學(xué)科敏感性，認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程理念，把新課程理念落實到新回歸的內(nèi)容之中，對新增加的內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)造性的理解、分析與設(shè)計，發(fā)揮其數(shù)學(xué)的生長力。