殷建兵

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，抽象、推理與建模能力是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)學(xué)力，其他能力都是它們的派生物，數(shù)學(xué)抽象最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。所謂“抽象”，是指從具體事物之中舍棄非本質(zhì)屬性而抽取本質(zhì)屬性的過(guò)程、方法。在數(shù)學(xué)抽象之中，表象是基礎(chǔ)，概括是方式，語(yǔ)言是載體。通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，可以讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象力的根基

表象是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，沒(méi)有表象，學(xué)生的抽象性過(guò)程學(xué)習(xí)就無(wú)法發(fā)生?？梢赃@樣說(shuō)，表象是學(xué)生抽象力的源頭活水。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)對(duì)素材、具體事物等的感性認(rèn)知，能積累表象認(rèn)識(shí)。有了表象認(rèn)識(shí)，學(xué)生就可以自覺(jué)地進(jìn)行比較，從而區(qū)分本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，進(jìn)而有效地進(jìn)行抽象概括。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、辨析、分類、比較等，從而抓取一類事物的共同的、本質(zhì)的特征。

比如教學(xué)《三角形的高》時(shí)，僅僅依靠教師機(jī)械的、枯燥的說(shuō)教是無(wú)濟(jì)于事的。教學(xué)中，教師必須提供給學(xué)生不同的三角形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形的不同的底邊畫高。通過(guò)對(duì)同一個(gè)三角形的三條邊畫高，通過(guò)對(duì)三角形擺放位置發(fā)生變化時(shí)、其高的方向變化這一現(xiàn)象的觀察，通過(guò)對(duì)不同類型的三角形畫高等豐富的活動(dòng)，學(xué)生就積累了豐富的“三角形的高”的表象認(rèn)識(shí)，這些表象支撐著學(xué)生的“三角形的高”的觀念。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角形的高與三角形的類型、三角形的大小、三角形的擺放位置、三角形的擺放方向等因素都是不相關(guān)的。這樣的認(rèn)知，為學(xué)生概括三角形的本質(zhì)特征奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

表象是學(xué)生從外在的感性認(rèn)知過(guò)渡到理性認(rèn)知的一個(gè)橋梁、紐帶。在發(fā)展學(xué)生抽象力的過(guò)程中，表象是必經(jīng)的一個(gè)階段，發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。教學(xué)中，教師可以通過(guò)觀察、操作等活動(dòng)，借助多媒體技術(shù)等手段，通過(guò)表象認(rèn)識(shí)的積累、豐富、提煉，啟迪、拓展學(xué)生的抽象思路。

二、 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象力的方式

如果說(shuō)，表象是學(xué)生抽象力發(fā)展的基礎(chǔ)，那么，概括就是學(xué)生抽象力發(fā)展的一種方式。概括的過(guò)程就是一個(gè)數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的過(guò)程。只有經(jīng)過(guò)了概括，抽象才有可能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較，摒棄冗余的屬性，對(duì)共同的本質(zhì)的屬性進(jìn)行提煉。要去異求同、去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，將本質(zhì)屬性從相關(guān)屬性中進(jìn)行抽離、概括、提煉，進(jìn)而有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。

仍以上述內(nèi)容的教學(xué)為例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較同一三角形的高的相同點(diǎn)，比較不同類型三角形高的相同點(diǎn)。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，三角形的高不一定是豎直向下的，三角形的高與三角形的底總是相互垂直的，三角形的高總是經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，到達(dá)這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊，等等。如此，學(xué)生就能有效地進(jìn)行概括：從三角形的頂點(diǎn)到底邊的垂直線段就是三角形的高，從三角形的頂點(diǎn)到底邊的距離就是三角形的高，等等。在數(shù)學(xué)概括的過(guò)程中，教師要注意積極引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生，要注重概括的層次性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力拾級(jí)而上。有時(shí)候，一個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性的揭示，是經(jīng)歷了二次提煉、概括乃至多次提煉、概括之后完成的。這個(gè)概括的過(guò)程，也就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行深度加工的過(guò)程，是一種深度活動(dòng)的過(guò)程，也是學(xué)生深度思考的過(guò)程。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體事物充分感知、形成表象認(rèn)識(shí)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)概括。只有這樣，才能讓學(xué)生的感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知層面，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。如果教師不及時(shí)對(duì)學(xué)生的表象認(rèn)識(shí)進(jìn)行梳理、提煉、概括，學(xué)生就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的、零碎的外部現(xiàn)象上，就不能形成對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知。

三、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象力的載體

很多學(xué)生由于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)把握不準(zhǔn)，對(duì)核心要素認(rèn)識(shí)不清楚，而出現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的不全面、不完整、不準(zhǔn)確、不清晰等現(xiàn)象。在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉、概括的過(guò)程中，離不開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象力的重要載體。在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象力的過(guò)程中，教師要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的引導(dǎo)、規(guī)范。尤其是，要讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行概括、抽象。符號(hào)化、數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的靈魂。

在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形的高的數(shù)學(xué)本質(zhì)之后，教師就要著力引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化、邏輯化地表達(dá)。比如，有學(xué)生將“三角形的高”表達(dá)為“從三角形的頂點(diǎn)到底邊的垂直距離”。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到表達(dá)中的語(yǔ)病錯(cuò)誤，因?yàn)榫嚯x唯一，不存在垂直與不垂直的距離，因而引導(dǎo)學(xué)生將“三角形的高”概括表達(dá)為“從三角形的頂點(diǎn)到底邊的距離”或者“從三角形的頂點(diǎn)到底邊垂直線段的長(zhǎng)度”，等等。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化、抽象化地表達(dá)，更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)包括數(shù)學(xué)實(shí)物層面的表達(dá)、半符號(hào)層面的表達(dá)以及符號(hào)層面的表達(dá)。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成都離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的引領(lǐng)，能有效地發(fā)展學(xué)生的抽象理解能力，建構(gòu)學(xué)生自己的數(shù)學(xué)理解，從而有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)金余小學(xué)）