王 雪

(武漢交通職業(yè)學院，湖北 武漢 430065)

數(shù)學建模是利用數(shù)學方法、數(shù)學知識解決專業(yè)和實際生活中問題的一門學科[1]。它廣泛應用于多門汽車類專業(yè)核心課程重難點內容的教學中，如裝配順序優(yōu)化、運輸規(guī)劃與優(yōu)化、車輛大修與更新方案的制定等。但是，數(shù)學建模教學中還存在一些問題，如教學內容與汽車專業(yè)實際結合不夠緊密，模型求解步驟有點多，部分數(shù)學軟件高職學生掌握有些許困難等，導致學生不能靈活應用建模思想和方法解決專業(yè)和實際生活問題，影響了汽車專業(yè)教學質量。因此，數(shù)學建模教學要緊密聯(lián)系專業(yè)實際，靈活運用經典數(shù)學模型和計算機技術解決專業(yè)問題，積極服務專業(yè)教學。

汽車裝配順序優(yōu)化是“汽車制造工藝基礎”課程中的重點和難點內容，也是汽車類專業(yè)學生必須掌握的一項基本技能。目前，針對這一問題的研究主要有：王誠[2]通過分析裝配線上顏色、配置、動力等工藝要求，建立了滿足20個約束條件的LP模型，利用Matlab軟件求解，該算法要求學生有較強的理解能力和編程能力；于倩[3]采用啟發(fā)式算法對生產計劃和裝配線上顏色進行組合優(yōu)化和分層交叉分析設計；陳衛(wèi)忠[4]使用先考慮顏色較特殊的藍色，再考慮數(shù)量多的黑色、白色，最后考慮可間隔數(shù)量多的金色等進行手動排序。于倩和陳衛(wèi)忠均手動完成了一日的裝配順序優(yōu)化，這兩種算法要求學生有較強的歸納概括能力和邏輯思維能力。通過教學實踐和研究，發(fā)現(xiàn)上述算法更適合高職院校建模競賽的賽前培訓，若適當降低裝配工藝要求，可進一步優(yōu)化模型建立、求解和應用。本文采取把裝配順序優(yōu)化轉化為經典的TSP模型，利于高職學生理解掌握；利用無需編程基礎的lingo軟件求解模型，且模型便于推廣應用，有益于培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力，并讓學生深刻體會數(shù)學建模廣泛的應用價值。因此，本文建模方法更適合高職汽車類專業(yè)數(shù)學建模課堂教學。

下面結合汽車類專業(yè)裝配順序優(yōu)化實例，從問題分析、模型建立、模型求解、模型解釋及檢驗、模型使用條件等方面，詳細闡述數(shù)學建模方法和計算機技術在汽車類專業(yè)中的應用。

1 專業(yè)實例

某汽車公司生產多種顏色的汽車，有黑、白、黃、紅、藍、銀、金、棕、灰9種；公司每天可裝配各種顏色的汽車共460輛，每天生產各種顏色車輛的具體數(shù)量由市場需求和銷售情況決定。該企業(yè)制定了2019年9月17日的生產計劃，各種顏色及數(shù)量如表1所示。

表1 各種顏色的汽車及數(shù)量

車輛裝配流程：汽車裝配分兩步，第一步是總裝線作業(yè)，第二步是噴涂線作業(yè)，噴涂線有C1、C2兩條線，要求C1線安排奇數(shù)，C2線安排偶數(shù)。

總裝線上對顏色要求：1.黑色汽車必須連排；白色汽車可連排，也可和藍或棕色汽車間隔排列。2.藍色汽車必須與白色汽車間隔排列；顏色為黃或紅的汽車必須與顏色為銀、灰、棕、金中的一種顏色的汽車間隔排列。3.灰色或銀色汽車可以連排，也可和黃、紅、金中的一種顏色的汽車間隔排列；金色汽車要與黃色或紅色汽車間隔排列；如果無法滿足，也可以與顏色為灰、棕、銀中的一種顏色的汽車間隔排列。4.棕色汽車可連排，也可與黃、紅、金、白中的一種顏色的汽車間隔排列。5.關于其他顏色，遵循“不允許即禁止”的原則。

噴涂線上對于顏色要求：顏色相同的汽車應盡可能連續(xù)噴涂，不同顏色之間切換次數(shù)越少越好，黑色與其他顏色之間的切換成本很高，最好不切換。

問題：根據上述要求結合所給的數(shù)據，請你替該企業(yè)制定符合上述裝配要求，并且生產成本較低的裝配順序。

2 問題分析

生產成本主要包括裝配成本、噴涂所需材料費用和顏色切換費用。噴涂所需材料費用是固定的，所以生產成本高低的關鍵因素是裝配成本和顏色切換費用。下面采用化整為零、各個擊破以及積零為整的數(shù)學思想，詳細分析以下三種成本與裝配線上顏色要求之間的關系。

2.1 顏色切換費用分析

噴涂線上對于顏色的要求是同種顏色的汽車應盡量連續(xù)噴涂作業(yè)，盡量減少噴涂線上不同顏色之間的切換次數(shù)，尤其是黑色與其他顏色之間的切換成本很高。因此，要降低顏色切換費用就要使顏色切換次數(shù)盡可能少，尤其是黑色與其他顏色的切換次數(shù)盡可能少。此處采用含糊化明朗、復雜化簡單的化歸數(shù)學方法，作出如下數(shù)學假設：假設黑色與其他顏色的切換費用為9.5；其他顏色只要求能不切換盡量不切換，并沒有指出其他顏色間的切換費用有明顯區(qū)別，且間接告知其他顏色間切換費用遠遠小于黑色與其他顏色間的切換費用，因此設其他顏色間的切換費用均為0.5。9.5和0.5并不是顏色切換的真實費用，只是表示黑色與其他顏色間切換費用遠遠高于其他顏色間的切換費用。

2.2 裝配成本分析

裝配成本主要考慮總裝線上對顏色的要求。采用化繁為簡及分類概括的數(shù)學思想，根據總裝線上對顏色要求把汽車分為7類：1.按“白藍白”的順序排列的汽車，記為L類車；2.剩余的白色車看成一類，記為白車；3.因為黃色車和紅色車滿足條件相同，記為S類車；4.銀色和灰色車滿足條件相同，記為R類車；5.其他同種顏色車看成一類，分別記為黑車、棕車、金車。即把9種顏色的汽車分為7類：L類、S類、R類、白車、黑車、棕車、金車。再利用抽象化具體、含糊化明朗的化歸數(shù)學方法，把總裝線上對顏色要求滿足的強烈程度分為“必須”“可以”“無法滿足亦可以”“禁止”四個等級。經分析知，按照“必須”等級的排序是裝配成本最少的排序，按照“禁止”等級進行排序，裝配成本高的無法承受，因此，顏色要求滿足的程度越弱，裝配成本會越高。為了簡化計算，按照“必須”“可以”“無法滿足亦可以”“禁止”四個等級，假設裝配成本分別為0、0.5、2.5、98.5。此處裝配成本不是實際的裝配成本，是根據解決問題的需要，利用數(shù)學方法做的合理假設。

2.3 生產成本分析

生產成本主要受顏色切換費用和裝配成本影響，因此，降低生產成本轉化為降低顏色切換費用與裝配成本之和。根據TSP數(shù)學模型[5]，可以把生產成本最低問題轉化為7類車之間的旅行商(TSP)問題。具體轉化方法為：把7類汽車看作7個城市，每兩個城市間的距離[6]定義為這兩類車相鄰時所需顏色切換費用與裝配成本之和，求出游歷這7個城市一遍所走的最短距離及游歷路線，則游歷路線就是7類車的最優(yōu)裝配順序。然后，再對必須間隔排列的顏色根據生產計劃中的數(shù)據進行間隔排列，制定出滿足裝配要求且生產成本最低的裝配順序。

3 模型建立

3.1 定義各類車間的距離

根據問題分析中的顏色切換費用和裝配成本假設，定義各類汽車間的距離：1.黑車與其他顏色之間切換成本較高，定義黑車與其他類車間距離為10；2.白色汽車可以連續(xù)排列，也可以和藍或棕車間隔排列，定義白車與棕車間距離為1，與L類車間距離為0.5；3.定義L類車與其他類車間距離同白車與其他類車間距離；4.S類車必須與R類、棕車、金車間隔排列，定義S類車與R類、棕車、金車間距離為0.5；5.定義R類車與金車間距離為3；6.定義金車與棕車間距離為3；7.同類車間距離為0，其他類車間距離為99。7類車間的距離如表2所示。

表2 各類車間距離

3.2 建立模型

旅行商(TSP)問題是指一名推銷員準備前往若干城市推銷產品，然后回到他的出發(fā)地。為他設計一條最短的旅行路線(從駐地出發(fā)，經過每個城市恰好一次，最后返回駐地)。用圖論的術語說，就是在一個賦權完全圖中，找出一個有最小權的Hamilton 圈[7]。

設ωij是城市i與城市j間的距離(i類車與j類車間的距離，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7，分別表示黑、白、L、金、棕、S和R類車)。引入0-1變量，設

建立數(shù)學模型如下，

4 模型求解

用lingo軟件求解，編寫程序代碼如下：

SETS:

CITY / 1.. 7/: U;

LINK(CITY,CITY):D,X;

ENDSETS

DATA: !對7個城市間距離逐一賦值;

d=0 10 10 10 10 10 10

10 0 0.5 99 1 99 99

10 0.5 0 99 1 99 99

10 99 99 0 3 0.5 3

10 1 1 3 0 0.5 99

10 99 99 0.5 0.5 0 0.5

10 99 99 3 99 0.5 0;

ENDDATA

N=@SIZE(CITY);MIN=@SUM(LINK: d*X);

@FOR(CITY(K):@SUM(CITY(I)| I #NE# K: X(I,K))=1;

@SUM(CITY(J)| J #NE# K: X(K, J))=1;

@FOR(CITY(J)| J #GT# 1 #AND# J #NE# K: U(J) >=U(K) + X (K,J) -

(N - 2) * (1 - X(K, J)) +(N - 3) * X(J,K)));

@FOR(LINK: @BIN(X));

@FOR(CITY(K)| K #GT# 1:U(K) <=N - 1 - (N - 2) * X(1,K);

U(K) >=1 + (N - 2) * X(K,1));

點擊lingo窗口的solve按鈕，得出：x17=x21=x32=x45=x53=x64=x76=1，其他xij=0，i=1,2,…,7；j=1,2,…,7。

5 模型解釋及檢驗

由求解結果知，汽車裝配線上7類車的排序為：黑→R→S→金→棕→L→白→黑。根據顏色要求， S、金兩種顏色汽車必須間隔排列，黑車只能連續(xù)排列，其他類車可以連續(xù)也可以間隔排列。由此設計出如下三個排序步驟。

(1)先連排261輛黑車，按奇數(shù)排C1噴涂線，偶數(shù)排C2噴涂線。

(2)排R類、S類和金車，因為S類車、金車必須間隔排列，所以優(yōu)先滿足金車與S類車。S類車共有14輛，需要14輛金與R類車間隔。其中金車2輛，R類車22輛，所以剩下的10輛R類車連排，具體順序為：10輛灰連排→1黃→1灰→2黃→1銀→3黃→2銀→4黃→3銀→5黃→4銀→1紅→5銀→2紅→6銀→3紅→7銀→4紅→8銀→5紅→9銀→6紅→10銀→7紅→11銀→8紅→1金→9紅→2金。

3.接著排棕車、L類和白車：1棕→1白→2棕→2白→3棕→3白→4棕→4白→5棕→5白→6棕→6白→1藍→7白→2藍→8白→3藍→9白→4藍→10白→5藍→140輛白連排。

至此，460輛車全部排完。上面排序完全符合總裝線上對顏色的要求，按照奇數(shù)在C1噴涂線，偶數(shù)在C2噴涂線上的噴涂要求，噴涂線上不同顏色共切換10次：黑色與灰色切換2次；黃色與紅色、黃色與灰色、銀色與灰色、紅色與棕色、銀色與金色、金色與白色、棕色與藍色、藍色與白色各切換1次。這是在滿足總裝線上對顏色復雜要求的條件下，噴涂線上黑色與其他顏色及其他顏色間切換次數(shù)最少，使得生產成本最低的裝配順序。

6 模型推廣及應用

6.1 優(yōu)化每日汽車裝配順序

模型不僅能方便優(yōu)化專業(yè)實例中企業(yè)2019年9月17日的汽車裝配順序，還可以優(yōu)化每日的汽車裝配順序。如果噴涂線和總裝線上對顏色要求不改變，只有顧客對各種不同顏色的汽車需求數(shù)量和企業(yè)的裝配數(shù)量發(fā)生變化。這些數(shù)據的變化不會影響模型解釋中7類汽車按照黑→R→S→金→棕→L→白→黑的排序，對所有車輛排序時只需在模型解釋及檢驗環(huán)節(jié)的三個排序步驟中手動調整個別數(shù)據即可完成汽車企業(yè)每天汽車裝配順序的制定。如果噴涂線和總裝線上對顏色要求發(fā)生改變，只需按照顏色要求重新劃分汽車類別并定義各類車間的距離，然后更新模型求解中距離數(shù)據，求出各類車的最優(yōu)排序，再按照模型解釋中的步驟便可完新成新要求下的汽車裝配順序優(yōu)化。

6.2 優(yōu)化路線

2020年初，武漢市新冠肺炎爆發(fā)，醫(yī)療物資和生活物資嚴重短缺，配送車輛和工作人員也嚴重不足。如何把醫(yī)療物資從倉庫以最快的速度依次運往各大醫(yī)院，再回到倉庫開始新一輪的運送，醫(yī)療物資配送路線有數(shù)十種選擇，因此配送路線優(yōu)化至關重要。使用該建模方法，根據配送醫(yī)院構成的交通網絡圖，定義兩兩醫(yī)院間的距離為走過兩醫(yī)院所花的最短時間，再建立TSP模型可以解決急需醫(yī)療物資的配送路線優(yōu)化問題，為武漢市抗擊疫情提供強有力的支撐。隨著疫情進一步蔓延，武漢市實施了社區(qū)防控，市民生活物資配送成了社區(qū)工作的重要內容，社區(qū)工作人員如何以最快的速度完成市民生活物資的配送呢？該建模方法同樣可以完成封控社區(qū)市民生活物資配送路線優(yōu)化。當然，模型還可以解決景區(qū)游覽路線優(yōu)化、快遞配送路線優(yōu)化等問題。

7 模型評價

7.1 模型適用范圍

生產成本只考慮噴涂線上顏色切換費用和總裝線上裝配成本，沒有考慮其他不受顏色要求影響的成本。顏色切換費用是根據噴涂線上對顏色切換次數(shù)的要求假設的，是抽象的數(shù)據，不是實際的顏色切換費用；裝配成本假設也不是實際的裝配成本，是按顏色要求滿足等級而假設的。因此，本模型適合生產成本受顏色影響且無需計算出實際生產成本的汽車裝配順序優(yōu)化問題，如果生產成本還受其他因素如型號、配置、動力等影響，需要改進模型。

7.2 模型優(yōu)點

(1)采用分類法和抽象概括的數(shù)學思想方法把總裝線上對顏色要求滿足條件相同的車看為一類車，從而把460輛9種顏色汽車分為7類，把460輛車的排序問題簡化為7類車的排序問題，起到了化難為易、化繁為簡、突破難點的作用。

(2)采用化歸和假設的數(shù)學方法把噴涂線與總裝線對顏色要求的復雜限制條件分別與顏色切換費用和裝配成本聯(lián)系起來，分別對顏色切換費用和裝配成本做了合理的數(shù)學假設，進而定義相鄰兩類車間的距離為這兩類車相鄰時的生產成本，從而轉化為熟知的TSP問題，這種巧妙的轉化是文章建模方法的亮點。

(3)整個建模過程多次使用“化整為零、積零為整、化繁為簡、化難為易”的數(shù)學建模思想方法，采取了各個擊破、突破難點的建模策略，利于高職學生理解掌握，且便于推廣應用。

8 結語

本文結合高職汽車類專業(yè)課程中的汽車裝配順序優(yōu)化問題，采用“化整為零、積零為整、化繁為簡、化難為易”的數(shù)學思想和分類概括、分析、化歸等數(shù)學方法，把460輛待排序裝配車輛簡化為7類車排序，并根據裝配線上對顏色排序的復雜要求定義7類車間的距離為兩兩相鄰排序時的生產成本，從而把難點內容轉化為經典的TSP數(shù)學模型。把該研究應用到汽車類專業(yè)數(shù)學建模教學和專業(yè)實踐中，不但利于學生掌握汽車裝配順序優(yōu)化這一基本專業(yè)技能，還利于學生學會如何從紛繁復雜的、看起來毫無關系的問題中抽絲剝繭，分析它們之間的聯(lián)系，再利用數(shù)學建模思想方法和數(shù)學知識解決專業(yè)實際問題。這對學生分析問題、解決問題及創(chuàng)新能力的提升有很大幫助，也能讓學生體會到數(shù)學建模在學習、生活及日后工作中的廣泛應用。