張麗霞 武傳躍

摘? 要：“證據(jù)推理”是一種“有根有據(jù)”的推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“證據(jù)”進(jìn)行證據(jù)推理。要豐富學(xué)生的證據(jù)內(nèi)容、素材，拓寬學(xué)生的論證形式，開(kāi)展豐富多彩的論證活動(dòng)。通過(guò)證據(jù)推理，培養(yǎng)學(xué)生的證據(jù)意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);證據(jù)推理;求證意識(shí);核心素養(yǎng)

從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一門(mén)理性的科學(xué)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地培育學(xué)生的邏輯思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的理性品質(zhì)。這其中，“證據(jù)推理”扮演著重要的作用。所謂“證據(jù)推理”，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中根據(jù)數(shù)學(xué)的概念、法則、規(guī)律等進(jìn)行抽象、概括、演繹等，進(jìn)而形成的一種推理。證據(jù)推理講究“推而有據(jù)”“推而有理”。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證據(jù)推理，有助于學(xué)生形成“求證意識(shí)”，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、追溯：讓“證據(jù)推理”在數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)中萌芽

基于“證據(jù)”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念最早出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代的醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。當(dāng)時(shí)的循證醫(yī)學(xué)旨在通過(guò)科技手段采納最優(yōu)可得證據(jù)，用于最終臨床和政策決策?；谧C據(jù)理論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅僅是某一具體的學(xué)習(xí)方式、方法，而是為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題運(yùn)用證據(jù)來(lái)呈現(xiàn)、說(shuō)明學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)并證明學(xué)習(xí)活動(dòng)的總稱。證據(jù)推理能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維相互碰撞，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考從膚淺走向深刻，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解從狹隘走向廣闊。

比如，教學(xué)“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)），在對(duì)平行四邊形的面積進(jìn)行猜想時(shí)，有學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形的面積等于底乘高”，也有學(xué)生根據(jù)平行四邊形可以推拉成長(zhǎng)方形，并且長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，平行四邊形的底相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的斜邊相當(dāng)于長(zhǎng)方形的高，因而猜想平行四邊形的面積等于底乘斜邊。面對(duì)學(xué)生的不同猜想，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（注：一是“數(shù)方格的方法”，二是“剪拼移的方法”），絕大部分猜想“平行四邊形的面積等于底乘斜邊”的學(xué)生都“改弦易轍”，認(rèn)為“平行四邊形的面積等于底乘高”，但仍有一位學(xué)生固執(zhí)己見(jiàn)，堅(jiān)持認(rèn)為“平行四邊形的面積可以用底乘斜邊進(jìn)行計(jì)算”。筆者本想武斷地讓學(xué)生坐下，但轉(zhuǎn)念一想，何不聽(tīng)聽(tīng)他的意見(jiàn)？為此，筆者讓學(xué)生陳述己見(jiàn)。只見(jiàn)這位學(xué)生振振有詞，“老師，我認(rèn)為可以用底乘斜邊來(lái)計(jì)算，只不過(guò)長(zhǎng)方形在推拉成平行四邊形的過(guò)程中，斜邊會(huì)發(fā)生不同的傾斜。我想，傾斜的角度不同，底乘斜邊所打的折扣也就不同！”多么精彩的發(fā)言，學(xué)生的證據(jù)是筆者始料未及的。的確，如果我們站到更高的視角來(lái)審視長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的面積，不就是一個(gè)夾角的問(wèn)題嗎？這個(gè)問(wèn)題在初中三角函數(shù)中將會(huì)迎刃而解。對(duì)于學(xué)生而言，長(zhǎng)方形的面積就是一個(gè)打了折扣的平行四邊形的面積，是一個(gè)了不起的證據(jù)推理，是學(xué)生的一個(gè)創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要善于傾聽(tīng)學(xué)生的發(fā)言，只要學(xué)生言之有據(jù)、言之有理，都應(yīng)當(dāng)給予充分地肯定。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培育學(xué)生證據(jù)意識(shí)，只要有證據(jù)，就應(yīng)當(dāng)據(jù)理力爭(zhēng)，而不應(yīng)當(dāng)從師（教師）、從眾（大眾）、從本（教材）。只有培育學(xué)生證據(jù)意識(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才不會(huì)淪落為一種隨意性的學(xué)習(xí)，學(xué)生的自主思考、自主探究才能成為一種可能。

二、追問(wèn)：讓學(xué)生的“證據(jù)推理”在數(shù)學(xué)的嚴(yán)密論證中生長(zhǎng)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)邏輯化的過(guò)程。邏輯化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要追問(wèn)數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”，更要追問(wèn)數(shù)學(xué)知識(shí)“為什么”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生以“證據(jù)”為起點(diǎn)，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為歸宿，在證據(jù)與目標(biāo)之間規(guī)劃路徑，從而引導(dǎo)學(xué)生找到適切的學(xué)習(xí)方式，這是一個(gè)證據(jù)指引的過(guò)程。它能助推學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

比如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)），基于對(duì)“三角形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，許多學(xué)生在探究（如“撕角法”“量角法”“折角法”等）遭遇失敗后，紛紛轉(zhuǎn)向?qū)⒍噙呅无D(zhuǎn)變?yōu)槿舾蓚€(gè)三角形。但是，不同的學(xué)生，對(duì)多邊形的分割不同，從而導(dǎo)致了學(xué)生的證據(jù)推理也不同。作為教師，要在學(xué)生每一個(gè)推理節(jié)點(diǎn)處善于追問(wèn)，從而將學(xué)生的證據(jù)推理引向深入。比如，有學(xué)生從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將多邊形分割成若干個(gè)三角形，就不存在多出內(nèi)角的現(xiàn)象。這時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考多邊形的邊數(shù)與所分成的三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并且追問(wèn)“為什么會(huì)存在著這樣的關(guān)系”。如有學(xué)生認(rèn)為，一個(gè)頂點(diǎn)與其他的對(duì)邊都構(gòu)成了三角形，但與兩條鄰邊卻不能構(gòu)成三角形，因而將多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)要比多邊形的邊數(shù)少兩個(gè);有學(xué)生認(rèn)為，一個(gè)頂點(diǎn)與兩邊的四條邊只能構(gòu)成兩個(gè)三角形，與其他的任意一條邊都能構(gòu)成一個(gè)三角形，所以將多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)要比多邊形的邊數(shù)少兩個(gè)，等等。有學(xué)生從多個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將多邊形分成若干個(gè)三角形。據(jù)此，筆者就引導(dǎo)學(xué)生思考：在將多邊形分成若干個(gè)三角形的過(guò)程中有沒(méi)有多出角，多出了哪幾個(gè)角，一共多出了多少度，所以多邊形的內(nèi)角和是多少度，等等。通過(guò)不斷地追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生探究多邊形的內(nèi)角和，探究多邊形的內(nèi)角和與所分成的三角形的內(nèi)角和之間的關(guān)系，等等。這里，教師不僅引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證據(jù)類比，而且引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證據(jù)跟蹤，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)在證據(jù)推理中生長(zhǎng)。

著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說(shuō)：“最優(yōu)價(jià)值的知識(shí)是方法的知識(shí)。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生明確證據(jù)的重要性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)證據(jù)判斷自己的數(shù)學(xué)推理是否可行、是否正確、是否能達(dá)成論證目標(biāo)。在學(xué)生進(jìn)行論證的過(guò)程中，教師不僅僅要適度介入、適恰點(diǎn)撥，而且要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適度反思、調(diào)整，以期讓學(xué)生的證據(jù)推理朝向預(yù)設(shè)的目標(biāo)邁進(jìn)。

三、追求：讓學(xué)生的“證據(jù)推理”在鮮活的數(shù)學(xué)里發(fā)育

在證據(jù)的視野下，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀等交互在一起的。它們共同組成了學(xué)生進(jìn)行證據(jù)推理的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)證據(jù)推理在鮮活的數(shù)學(xué)里發(fā)育、成長(zhǎng)。在群體的證據(jù)推理過(guò)程中，不同的學(xué)生還能彼此相互啟發(fā)，從而突破個(gè)體的認(rèn)知局限，形成學(xué)生積極、主動(dòng)地進(jìn)行證據(jù)推理學(xué)習(xí)的樣態(tài)?；谧C據(jù)的數(shù)學(xué)推理，不是一種固化的模式，而是讓師生、生生共同領(lǐng)略數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美、邏輯之美、統(tǒng)一之美。

教學(xué)“和與積的奇偶性”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)），通常教法是：教師讓學(xué)生舉一些例子，從特殊到一般，簡(jiǎn)單地得出結(jié)論。這樣的“不完全歸納”教學(xué)，不能讓學(xué)生“心服口服”。筆者在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體性作用，引導(dǎo)學(xué)生群策群力、眾籌眾謀，要求學(xué)生的分析有理有據(jù)。于是，有學(xué)生用字母來(lái)表示奇數(shù)和偶數(shù)，讓推理彰顯出無(wú)懈可擊的力量。如“奇數(shù)+奇數(shù)，即2a-1+2a+1=4a，4a含有質(zhì)因數(shù)2，一定是偶數(shù)?！薄捌鏀?shù)+偶數(shù)，即2a+1+2a+2=4a+3，4a是偶數(shù)，所以4a+3是奇數(shù)。”有學(xué)生數(shù)形結(jié)合，“1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7+…+99=502?！蓖ㄟ^(guò)這樣的推理，學(xué)生得出結(jié)論，即“偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和是奇數(shù)”。有學(xué)生用質(zhì)因數(shù)的知識(shí)進(jìn)行推理，如“奇數(shù)乘偶數(shù)，偶數(shù)乘偶數(shù)，因數(shù)中只要有偶數(shù)，也就是說(shuō)只要有一個(gè)因數(shù)中含有質(zhì)因數(shù)2，積中就含有質(zhì)因數(shù)2，因而若干個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，積就是偶數(shù)。”“只有當(dāng)所有的因數(shù)都是奇數(shù)時(shí)，積才是奇數(shù)。”等等。這樣的證據(jù)推理，活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。不僅如此，當(dāng)學(xué)生得出一個(gè)“和”或“積”的奇偶性之后，筆者總是讓學(xué)生從反面去舉例。有學(xué)生認(rèn)為，只要有一個(gè)反例不符合規(guī)律，結(jié)論就不能成立;而只有當(dāng)所有的正例都成立時(shí)，結(jié)論才會(huì)成立。據(jù)此，學(xué)生就想方設(shè)法地去“找反例”。這樣的教學(xué)，磨礪了學(xué)生的推理思維，培育了學(xué)生推理的證據(jù)意識(shí)、邏輯素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的推理，無(wú)論是合情推理還是演繹推理，都需要證據(jù)，都是“基于證據(jù)的推理”。這種證據(jù)內(nèi)容，既可以是學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、事實(shí)材料，也可以是學(xué)生已有知識(shí)判斷。換言之，證據(jù)推理中的“證據(jù)”，既可以是“直接證據(jù)”，也可以是“間接證據(jù)”。而運(yùn)用證據(jù)進(jìn)行推理的形式，不僅包括“證實(shí)”，也包括“證偽”。證據(jù)推理，不僅能讓學(xué)生掌握推理的方法，更為重要的是有助于發(fā)展學(xué)生的批判性思維，孕育學(xué)生終身受益的理性精神。

基于證據(jù)的推理教學(xué)，打開(kāi)了數(shù)學(xué)教學(xué)的另一扇窗。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷地豐富學(xué)生的論證方式，強(qiáng)化學(xué)生的證據(jù)意識(shí)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證據(jù)推理，開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，直抵學(xué)生的主體意識(shí)、關(guān)鍵能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)洋溢著人性光輝，彌漫著思辨之美，充滿著創(chuàng)造精神！