鄭祥旦

[摘要]基于數(shù)據(jù)分析觀念，呈現(xiàn)平均數(shù)的統(tǒng)計學“味道”的教學，就是要把每個數(shù)據(jù)看成是抽樣得到的獨立樣本，對統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，得出的數(shù)據(jù)誤差有正有負，在正負抵消為零時得到平均數(shù)的概念理解和算法理解，以促進學生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

[關(guān)鍵詞]平均數(shù)的教學;基于數(shù)據(jù)分析;統(tǒng)計學

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）14-0019-02

平均數(shù)是一個重要的統(tǒng)計量。目前，小學數(shù)學關(guān)于平均數(shù)的教學已經(jīng)從簡單的應(yīng)用題發(fā)展到系統(tǒng)的統(tǒng)計初步知識，即啟發(fā)學生去想到“移多補少”，將“和”按人數(shù)“平均”，以平均數(shù)來代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，體會平均數(shù)具有假設(shè)性的特征，從而比較淺顯地揭示平均數(shù)的統(tǒng)計意義。隨之而來的問題是，很多教師過早地給出平均數(shù)的統(tǒng)計意義，甚至出現(xiàn)抽象的“虛擬數(shù)”概念，超出了學生接受和理解的范圍，失去了統(tǒng)計學的“味道”。因此，有必要運用“數(shù)據(jù)分析觀念”去重新審視平均數(shù)的教學。

一、教材分析

小學的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)，也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商。算術(shù)平均數(shù)常用于表示統(tǒng)計對象的一般水平，它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個統(tǒng)計量，用平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的情況，有直觀、簡明的特點。

人教版四年級下冊的教材設(shè)置了兩道例題。例1是先直接求平均數(shù)，再用統(tǒng)計圖表示每人收集到礦泉水瓶的數(shù)量，通過觀察得出平均每人收集了13個，然后用算式表示平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，歸納求平均數(shù)的一般方法，得到平均數(shù)的含義。教學時，學生根據(jù)生活經(jīng)驗進行“移多補少”，從平均數(shù)應(yīng)用題進行遷移，往往缺少數(shù)據(jù)分析過程。例2是比較兩組個數(shù)不同的數(shù)據(jù)，通過問題“哪個隊的成績好”，使學生感受用總數(shù)表示各隊成績的比較方法不公平，得出應(yīng)用平均數(shù)區(qū)別這兩組數(shù)據(jù)的總體情況。教學若從例1到例2，學生一般不會再用“求總數(shù)”的方法來比較，而是直接遷移求平均數(shù)的方法。因此，可反其道而行之，用例2的踢毽比賽為素材導入新課，再教學例1認知平均數(shù)，而后又返回到例2來拓展學生對平均數(shù)的理解，這樣的教學反而能收到良好的教學效果。

二、教學過程及相應(yīng)評析

平均數(shù)教學關(guān)鍵之一是發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念，使他們愿意用平均來刻畫數(shù)據(jù)。因此，本課的教學目標可確定為：通過解讀圖表進行簡單的數(shù)據(jù)分析，學會求平均數(shù)的算法，體會平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

1.利用學生踢毽比賽的情況，在獨立樣本的比較中引入新課

教師先出示踢毽比賽的主題圖（例2），讓學生猜一猜男生隊和女生隊哪個成績好，然后模擬比賽場景，依次給出每一對同學的比賽成績并記錄于統(tǒng)計表中（表1），并順次征詢勝負情況，讓學生用自己的語言解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡單的判斷后進行交流。

在出示第5個男生踢毽的成績后，有學生認為，男生隊的個數(shù)多，成績好。有學生認為，兩個隊的人數(shù)不同，這樣比賽不公平。于是，學生根據(jù)課前的預(yù)習成果，提出要計算每隊的平均成績。這時，教師可板書課題，然后出示例1。

【評析：教學統(tǒng)計意義上的平均數(shù)，必須考慮到樣本的隨機性，每個數(shù)據(jù)都可看成獨立的樣本，是通過抽樣得到的，而且每次抽樣是獨立進行的，每次抽樣過程在本質(zhì)上是一樣的。教師要發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念，就必須在特定的情境中促使學生想到用平均數(shù)，愿意用平均數(shù)來解決問題?！?/p>

2.利用收集飲料瓶的情況，在誤差的學習中掌握平均數(shù)的知識

（1）數(shù)據(jù)分析，移多補少，概念理解

教師出示環(huán)保小組收集飲料瓶個數(shù)情況的統(tǒng)計圖（例1），引導學生找出數(shù)據(jù)的一些簡單特征：小亮收集11個是最少的，小明收集15個是最多的，小紅比小蘭收集的多2個，等等。

進一步挖掘數(shù)據(jù)的深度特征：小明送2個給小亮，兩人收集的個數(shù)同樣多;小紅送1個給小蘭，兩人收集的個數(shù)也同樣多。送完之后，4人收集的個數(shù)都是13個。換一種說法，小明比13個多2個，而小亮比13個少2個;小紅比13個多1個，而小蘭比13個少1個。多的送給少的，多與少互相抵消了，還得到一個新的表示同樣多的數(shù)，13成為這4個數(shù)的代表。

歸納概念的含義：數(shù)學上，把這種數(shù)的代表13稱之為平均數(shù)。也就是說，13是這4個數(shù)的平均數(shù)。也可以說，平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)平均水平的代表。

（2）尋找觀測數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)的關(guān)系，理解算法

教師通過問題“13是這4個數(shù)的代表，那么怎樣用算式表示13與這4個數(shù)的關(guān)系？”引導學生理解數(shù)據(jù)間的相等關(guān)系，即13x4=14+12+11+15;進一步推算，把平均數(shù)當作未知數(shù)，就得到（14+12+11+15）÷4=13;歸納算法，得出求幾個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，就是“和÷幾=平均數(shù)”。

學生可能會疑惑：平均數(shù)與平均分有什么關(guān)聯(lián)？對此，教師可引導學生回顧平均分的過程，如把52個瓶子平均分4份，每份是幾個，即每次拿出4個，一個一個地分;或者一次拿出40個，十個十個地分，直到分完為止。與此不同，求平均數(shù)只要把多的“勻”給少的就可以。小結(jié)：平均數(shù)與平均分雖是一個字之差，但它們的意思大不相同。

【評析：平均數(shù)的教學，重要的不是讓學生掌握計算模式“平均數(shù)=瓶子總數(shù)÷人數(shù)”，而是讓學生在分析數(shù)據(jù)中感悟平均數(shù)的價值，產(chǎn)生需要用平均數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)的意愿。平均數(shù)的概念與算法相生相伴，算法的表達是出于對數(shù)據(jù)誤差的理解，而不是出于對平均分的拓展。倘若教學直奔求平均數(shù)而去，學生就只學會“移多補少”“計算方法”這些單純的數(shù)字計算，而使平均數(shù)失去統(tǒng)計學的“味道”，那就不是統(tǒng)計初步知識的教學?！?/p>

3.遭遇統(tǒng)計需要，體會平均數(shù)的意義和價值

如何讓學生在學習后能想到用平均數(shù)，可讓學生回到例2的求平均數(shù)的問題。

（1）移多補少

再次觀察兩組數(shù)據(jù)，學生能快速地發(fā)現(xiàn)女生隊的平均數(shù)是19個，“移多補少”即可。

（2）算式表達

男生隊的數(shù)據(jù)復(fù)雜，難以用“移多補少”快速找出平均數(shù)，可以把平均數(shù)當作未知數(shù)，列算式（19+15+16+20+15）÷5=17。

（3）統(tǒng)計理解

平均數(shù)需要從“算法”“概念”“統(tǒng)計”這三個角度來理解。

教師提問：“現(xiàn)在，女生隊來了第5個同學——李麗紅，她可能踢毽多少個？”學生根據(jù)前4個同學的平均數(shù)，猜測她可能踢毽19個。

教師滿臉遺憾地說：“因為第5個同學李麗紅表現(xiàn)不佳，導致女生隊失敗。你們能計算李麗紅的成績嗎？”學生根據(jù)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，列出算式18+20+19+19+（）=16x5，得出李麗紅可能踢毽4個。教師追問：“她只可能踢4個嗎？”學生經(jīng)過思辨，得出她的成績可能是1～8中的一個。至此，為平均數(shù)是小數(shù)的教學打下伏筆。

【評析：概念理解和統(tǒng)計理解對于統(tǒng)計的教學是非常重要的。教學時，通過女生隊失敗的情形，學生深刻地體會到：①平均數(shù)可以用來作為推斷的重要依據(jù);②平均數(shù)反映的只是一般情況，但不排除特殊情況的出現(xiàn)。這樣，學生既體會了平均數(shù)的意義，又體會了數(shù)據(jù)的隨機性。】

三、教后反思

用比較兩組個數(shù)不同的數(shù)據(jù)導人平均數(shù)的教學，較早出現(xiàn)于吳正憲老師的課堂，她精湛的教學藝術(shù)，使學生從中感受到學習數(shù)學的快樂。我仿照吳老師的做法，以例2的踢毽比賽為導入新課的素材，一對一對地呈現(xiàn)兩組比賽的成績，學生的思緒就在一一對比和總數(shù)對比、可行與不可行之間搖擺，最終產(chǎn)生要比較平均數(shù)的需求。例1的教學，是把每個數(shù)據(jù)看成抽樣得到的獨立樣本，對統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，得出數(shù)據(jù)誤差有正有負，由正負抵消為零得到平均數(shù)的概念和算法，然后再理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。再次教學例2時，學生對學習對象有了更高的認知，可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特征，求女生隊的平均數(shù)時“移多補少”，求男生隊的平均數(shù)時列式計算，這是運用知識求解的本真。作為對知識的拓展，還可增加女生隊人數(shù)后讓學生求其平均數(shù)，使其體驗隨機現(xiàn)象。總之，這種基于數(shù)據(jù)分析的教學才真正體現(xiàn)了平均數(shù)的統(tǒng)計學“味道”。