丁洪

[摘要]解讀確定位置專題知識(shí)的內(nèi)涵和教學(xué)要求，提出確定位置的數(shù)學(xué)化教學(xué)路徑，即橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化結(jié)伴而行，并凸顯情景的服務(wù)、過程的完整、方法的對(duì)比和思想的滲透，以有序建構(gòu)物體的位置模型，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

[關(guān)鍵詞]確定位置;內(nèi)涵;要求;數(shù)學(xué)化;教學(xué)路徑

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）14-0004-03

確定位置屬于“圖形與幾何”板塊，主要學(xué)習(xí)“運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置”。教學(xué)時(shí)，必須思考和解決“為什么要確定位置？怎樣確定位置？用什么方式引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)確定位置的方法？不同確定位置模型之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？”“不同學(xué)段的內(nèi)容安排和要求側(cè)重是什么？”“確定位置教學(xué)的增值點(diǎn)在哪里？”等問題。只有把這些問題弄清楚、想通透，才不至于囿于一隅、安于一課，也才能避免“教得了”卻“帶不走”的尷尬。

一、“確定位置”的內(nèi)涵解讀

1.生活中的確定位置

人們一直在探索和認(rèn)識(shí)世界，試圖精準(zhǔn)記錄物體的位置，使其更好地服務(wù)社會(huì)生活。一是地物定位，主要依靠大地上的特殊標(biāo)志物，如高山、河流、峽谷和燈塔等，確定方法原始，確定范圍較小，而且誤差較大。二是天文定位，主要利用宇宙中的日月星辰，如夜空中的北極星定位，確定方法相對(duì)科學(xué)，確定范圍變大，但極易受到自然條件限制。三是工具定位，像指南針、六分儀、精確計(jì)時(shí)儀等，是簡(jiǎn)單工具的使用;像無(wú)線電、衛(wèi)星導(dǎo)航、綜合衛(wèi)星導(dǎo)航等，屬于現(xiàn)代工具，能精準(zhǔn)定位海、陸、空中的任意對(duì)象，基本實(shí)現(xiàn)“無(wú)死角、全覆蓋”。顯然，生活中的確定位置源于實(shí)際需要，是人類探究、刻畫和記錄世界的產(chǎn)物。

2.數(shù)學(xué)中的確定位置

數(shù)學(xué)中的確定位置屬于規(guī)定性知識(shí)，其本質(zhì)屬性是人的發(fā)明創(chuàng)造。確定位置一般遵循兩個(gè)創(chuàng)造原則，一是刻畫對(duì)象的數(shù)要盡量簡(jiǎn)單，做到參照物的選擇與具體情景需求統(tǒng)一;二是描述方式要簡(jiǎn)約明了，做到數(shù)學(xué)約定與實(shí)際表達(dá)內(nèi)在吻合。當(dāng)創(chuàng)造原則指導(dǎo)具體實(shí)踐時(shí)，不同維度、不同模型和不同情境的確定位置就應(yīng)運(yùn)而生。首先，從空間維度看，同種類型的位置確定，在不同維度中，前后知識(shí)存在內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)螺旋上升趨勢(shì)，如“線段中點(diǎn)的位置”在一維空間，而“數(shù)對(duì)確定位置”則在二維空間，這里的“數(shù)對(duì)”其實(shí)就是兩個(gè)維度上“線段中點(diǎn)的位置”的有機(jī)整合;不同類型的位置確定，在相同維度中，考慮的關(guān)鍵要素的數(shù)量相同，如所有在二維空間的位置確定，都要鎖定兩個(gè)關(guān)鍵信息，才能精準(zhǔn)定位物體的位置。其次，從模型建構(gòu)看，直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系是兩種基本模型，模型內(nèi)部要素的先后順序根據(jù)實(shí)際需要約定，如用“距離+距離”的方式描述位置，約定“先列后行”;用“方向+距離”的方式描述位置，約定“先方向后距離”;用“角度+角度”的方式描述位置，約定“先經(jīng)度后緯度”等，這樣處理讓確定位置的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，方便表達(dá)和交流。最后，從情境適用看，兩種模型都在研究確定對(duì)象與參照物之間的位置關(guān)系，但是就小學(xué)生的理解水平而言，直角坐標(biāo)系（只出現(xiàn)第一象限）側(cè)重“點(diǎn)與整體”之間的位置關(guān)系，極坐標(biāo)系側(cè)重“點(diǎn)與點(diǎn)”之間的位置關(guān)系。到了第三學(xué)段，又統(tǒng)整為“用數(shù)對(duì)確定位置”，這里的“數(shù)對(duì)”已經(jīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)具體模型的超越，充分體現(xiàn)二維空間確定位置的數(shù)學(xué)本質(zhì)。顯然，數(shù)學(xué)中的確定位置融合“實(shí)際生活需要”和“簡(jiǎn)潔表達(dá)需要”，凸顯數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)和符號(hào)表示等數(shù)學(xué)思想，既服務(wù)于數(shù)學(xué)的有序建構(gòu)，也服務(wù)于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

3.教育中的確定位置

教育不但要“教知識(shí)”，而且要“育人品”;教育是有目的的執(zhí)行，也有情懷的擔(dān)當(dāng);教育不僅傳承文明，更要發(fā)展創(chuàng)造。因此，教什么？怎么教？教到什么程度？等，是我們必須直面和厘清的問題。下面將從兩個(gè)“點(diǎn)”進(jìn)行梳理：一是通過具體的靜態(tài)文本，能教給學(xué)生哪些必要的動(dòng)態(tài)技能，教則清晰到位（在平面內(nèi)確定位置需要考慮原點(diǎn)（觀測(cè)點(diǎn)）、方向和單位，用有序數(shù)對(duì)的形式確定的是唯一的點(diǎn);反過來(lái)，一個(gè)點(diǎn)也只需要有序數(shù)對(duì)就能唯一確定，點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)），使學(xué)生能靈活運(yùn)用，有針對(duì)性地解決一些相關(guān)問題，這是教育的保值點(diǎn);二是經(jīng)歷知識(shí)的生長(zhǎng)過程，能孕育哪些必要的思想品格，育則指向明確（在平面內(nèi)確定位置需要鎖定兩個(gè)關(guān)鍵信息，還需要約定數(shù)學(xué)的表達(dá)方式，創(chuàng)造的外形可以因需而定，內(nèi)在的本質(zhì)卻是相同的），并能內(nèi)化遷移，使知識(shí)之間有效銜接，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供智慧思考的路徑和澎湃人生的精神，實(shí)現(xiàn)“教是為了更好地學(xué)”，這是教育的增值點(diǎn)。顯然，教育中確定位置需要“保值”與“增值”的有機(jī)融合、互相促進(jìn)和辯證統(tǒng)一。

二、“確定位置”的內(nèi)容要求

小學(xué)階段的教學(xué)有其自身的特殊性，怎樣的編排才能深入淺出地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)平面坐標(biāo)雛形？怎樣的架構(gòu)能恰到好處，助推學(xué)生空間觀念的發(fā)展？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》都做了具體回應(yīng)和詳細(xì)安排，參見下表。

蘇教版教材就從三個(gè)層次落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，即平面內(nèi)“點(diǎn)在線中的位置”、“點(diǎn)在面中的位置”和“點(diǎn)與點(diǎn)的位置”。其中，一年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)位置”，以確定“練習(xí)本與數(shù)學(xué)書的相對(duì)位置”為例，運(yùn)用“前后、左右、上下”簡(jiǎn)單描述“點(diǎn)與點(diǎn)的位置”;學(xué)完序數(shù)之后，結(jié)合“第幾個(gè)”，以“確定隊(duì)伍中某個(gè)人的位置”為例，來(lái)精準(zhǔn)定位“點(diǎn)在線中的位置”。二年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)方向”，以確定“觀測(cè)點(diǎn)的不同方向內(nèi)的物體”為例，運(yùn)用“東、南、西、北，東南、東北、西南、西北”，來(lái)模糊定位“點(diǎn)與點(diǎn)的位置”;四年級(jí)下冊(cè)“確定位置”，以確定“教室內(nèi)小軍的位置”為例，運(yùn)用“第幾列”和“第幾行”縱橫交錯(cuò)產(chǎn)生的數(shù)對(duì)，精準(zhǔn)定位“點(diǎn)在面中的位置”，是在二維空間中思考，滲透的是平面直角坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型;六年級(jí)下冊(cè)“確定位置”，以確定“燈塔在輪船的具體位置”為例，運(yùn)用“方向”和“距離”，精準(zhǔn)定位“點(diǎn)與點(diǎn)的位置”，也是在二維空間中思考，但滲透的是平面極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型。顯然，教材的編排凸顯了內(nèi)容的生活化與數(shù)學(xué)化、記錄的模糊性與精確性、思維的層次性與連續(xù)性的有機(jī)整合、辯證統(tǒng)一和有序發(fā)展。

對(duì)于“確定位置”專題的學(xué)習(xí)要求，課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷圖形的位置確定過程”，幫助學(xué)生“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，建立相應(yīng)的位置模型，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

三、“確定位置”的數(shù)學(xué)化教學(xué)路徑

荷蘭著名教育家、數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為：“所謂數(shù)學(xué)化，就是人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織的過程?！憋@然，位置確定的數(shù)學(xué)化教學(xué)路徑，既有生活到數(shù)學(xué)的建模，也有數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的推理，還有數(shù)學(xué)特有的不斷抽象，但都指向數(shù)學(xué)本身，服務(wù)于學(xué)生發(fā)展，共同演繹現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)。

1.創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

情境是數(shù)學(xué)化教學(xué)的“調(diào)味劑”。適切的情境創(chuàng)設(shè)，不但能使課堂引入變得“親近、輕松和親切”，有效調(diào)用學(xué)生的主體經(jīng)驗(yàn)，而且能使枯燥冰冷的數(shù)學(xué)知識(shí)飽含“溫度、梯度和適度”，有針對(duì)性地引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

以“用數(shù)對(duì)確定位置”的教學(xué)為例。一是創(chuàng)設(shè)生活情境，典型的是運(yùn)用主題圖“小軍坐在哪里？”，可看作是直接式引入;而“怎樣找到電影票中的座位？”則通過調(diào)用觀影經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生感受到位置確定“有角度和有方法”，然后帶著體驗(yàn)和收獲再回到教室，可看作是間接式引人。二是創(chuàng)設(shè)游戲情境，設(shè)計(jì)“麥田打地鼠”“連連看”“排雷”等游戲，雖然玩法上有單一式和互動(dòng)式的區(qū)分，但都是通過玩游戲的方式，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和感受要想玩好游戲，必須考慮位置確定的具體性和簡(jiǎn)潔性。三是創(chuàng)設(shè)歷史情境，從“笛卡兒與小蜘蛛的故事”人手，設(shè)計(jì)“如何確定小蜘蛛的位置？”的問題情境，將位置確定從一維“數(shù)射線”的描述逐步引向二維“數(shù)射線”的建構(gòu)。顯然，情境的主題類型和外在形式可以不同，但情境的角色定位和內(nèi)在作用卻要指向明確，也就是說(shuō)，要立足學(xué)生實(shí)際且能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

2.過程經(jīng)歷，演繹知識(shí)的“再創(chuàng)造”

“再創(chuàng)造”是數(shù)學(xué)化教學(xué)的“路線圖”，是針對(duì)學(xué)生“囫圇吞棗”地獲得“精密數(shù)學(xué)”的異化現(xiàn)象而提出的現(xiàn)實(shí)策略，提倡學(xué)生像“專家一樣思考和體驗(yàn)”，完整經(jīng)歷知識(shí)的創(chuàng)造過程，把握問題的來(lái)龍去脈、外在表征和內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

以“用方向和距離確定位置”的教學(xué)為例。首先，創(chuàng)設(shè)因天氣惡劣影響船只航行的情境，使學(xué)生感受確定位置的緊迫性。接著，鎖定學(xué)生匯報(bào)中出現(xiàn)頻率最多的“東北方向”和“30千米”，發(fā)現(xiàn)距離30千米且在東北方向的點(diǎn)有許多，提出“不具體，怎么辦？”的問題;當(dāng)學(xué)生提出“1點(diǎn)鐘方向”和“量角器測(cè)量”等隱含角度之后，可直接動(dòng)態(tài)給出角度，記錄成“北偏東30。和“東偏北60°”，引發(fā)學(xué)生“不統(tǒng)一，怎么辦？”的思考，學(xué)生結(jié)合經(jīng)驗(yàn)和生活情境，選擇“南北”作為起點(diǎn)，此時(shí)可順勢(shì)指導(dǎo)學(xué)生將“四面八方”換個(gè)角度描述，如“東北”記錄為“北偏東”等。最后，將反思改造后的關(guān)鍵信息“北偏東30°方向”和“30千米”同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生嘗試組合信息，并提出“不規(guī)范，怎么辦？”的問題，學(xué)生結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和已有概念，就能得出“方向優(yōu)先”的數(shù)學(xué)意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。顯然，教學(xué)聚焦“人為規(guī)定”，放大創(chuàng)造過程，能助推學(xué)生感受知識(shí)的自然生長(zhǎng)和精神的內(nèi)在拔節(jié)。

3.縱橫對(duì)比，建構(gòu)模型的結(jié)構(gòu)特征

對(duì)比是數(shù)學(xué)化教學(xué)的“好助手”。巧妙的對(duì)比，能夠引發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與和深度思考，尤其是凸顯特殊與特殊、特殊與一般的對(duì)比思考，更有助于學(xué)生空間觀念的階段式達(dá)成和有序性發(fā)展。

首先看橫向?qū)Ρ?，如為什么在?duì)伍中，相同的位置可以用“從左往右第3個(gè)”和“從右往左第4個(gè)”不同的方式描述？對(duì)比體會(huì)觀測(cè)的方向;為什么數(shù)對(duì)（1，5）和（5，1）的數(shù)字相同，表示的位置卻不同？對(duì)比內(nèi)化數(shù)對(duì)的結(jié)構(gòu);“燈塔1在輪船的北偏東30～方向30千米處”，而“輪船在燈塔1的南偏西30°方向30千米處”，同樣的兩個(gè)點(diǎn)，位置描述為什么不一樣？對(duì)比體驗(yàn)位置的相對(duì)。接著看縱向?qū)Ρ?，如為什么學(xué)習(xí)了數(shù)對(duì)確定位置，還要學(xué)習(xí)用方向和距離確定位置，兩者之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？比相同點(diǎn)，要鎖定兩個(gè)關(guān)鍵信息才能完整表達(dá)，而且要約定數(shù)學(xué)表達(dá)方式才能統(tǒng)一表征;再比不同點(diǎn)，關(guān)鍵信息的內(nèi)容有差異，前者鎖定的是列和行，后者關(guān)注的是方向和距離，模型適用的情境不一樣，前者側(cè)重“點(diǎn)與整體”的位置描述，后者適合“點(diǎn)與點(diǎn)”的位置記錄。顯然，縱橫對(duì)比凸顯了模型外在特征的差異性和內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一致性。

4.滲透思想，內(nèi)化關(guān)鍵的能力品質(zhì)

思想是數(shù)學(xué)化教學(xué)的“生命線”。相對(duì)于明線的方法技能，暗線的數(shù)學(xué)思想更具魅力，更容易遷移，對(duì)學(xué)生終身發(fā)展來(lái)說(shuō)，也更具特定的意義和作用。

首先，從生活到數(shù)學(xué)需要抽象，如“用數(shù)對(duì)確定位置”經(jīng)歷“實(shí)物圖一點(diǎn)子圖一坐標(biāo)圖”的抽象;從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)也需要抽象，如將“4列3行”“4↑3→”“4、3”等抽象為（4，3），是對(duì)抽象的“再抽象”。接著，從點(diǎn)到面需要?dú)w納推理，如逐步出示“南偏東”“80°”“50千米”等條件，在“猜神秘島位置”的游戲中，歸納推理出“面一線一點(diǎn)”的路徑;從面到點(diǎn)需要演繹推理，如確定位置路徑的具體運(yùn)用;從面（點(diǎn)）到面（點(diǎn)）需要類比推理，如“用數(shù)對(duì)確定位置”有觀測(cè)點(diǎn)、方向和距離，類比推理出影響“用方向和距離確定位置”的可能因素。最后，從生活世界到數(shù)學(xué)研究需要模型建構(gòu)，如“用數(shù)對(duì)確定位置”抽象建構(gòu)成“距離+距離”，“用方向和距離確定位置”抽象建構(gòu)成“方向+距離”等;從數(shù)學(xué)世界回歸生活需要“變模運(yùn)用”，如“棋盤中的棋子位置”“公交車上的乘客位置”“地圖上兩地的位置”等。顯然，通過抽象，外部世界進(jìn)入了數(shù)學(xué);通過推理，促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，而模型思想建構(gòu)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系橋梁。

數(shù)學(xué)化教學(xué)路徑注重橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化結(jié)伴而行、因需側(cè)重，凸顯情境的服務(wù)、過程的完整、方法的對(duì)比和思想的滲透。這樣，外在生動(dòng)與內(nèi)在深刻相映生輝，實(shí)現(xiàn)為未知而教;知識(shí)技能與核心素養(yǎng)融合共生，實(shí)現(xiàn)為未來(lái)而學(xué)。

（責(zé)編金鈴）