林爽

[摘要]數(shù)學課堂應注重引導學生從低水平認知向高水平認知轉(zhuǎn)變，其中，創(chuàng)設探究活動，讓學生用分析和探究的方式去獲得結(jié)論是有效途徑之一。以“美麗的正多面體”教學為例，創(chuàng)設活動讓學生經(jīng)歷探究的全過程，并通過反思與提煉，提升學生的研究意識，促進學生高階思維水平的發(fā)展。

[關鍵詞]正多面體;正多邊形;探究;想象;驗證

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）14-0055-03

【教前思考】

“美麗的正多面體”屬于數(shù)學拓展性內(nèi)容，選自《小學數(shù)學文化讀本》五年級下冊。原教材呈現(xiàn)的主要環(huán)節(jié)是讓學生在認識了正多面體的概念之后，有順序地數(shù)一數(shù)正多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)，然后通過觀察發(fā)現(xiàn)“正多面體的面數(shù)+頂點數(shù)=棱數(shù)+2”的規(guī)律，即歐拉定理，以及正六面體和正八面體、正十二面體和正二十面體之間面數(shù)與頂點數(shù)互換的規(guī)律。教者對教材內(nèi)容進行了改編，將教學的重點放在探究有多少種正多面體上，通過巧妙的環(huán)節(jié)設計和啟發(fā)、引導，讓學生猜想、操作、發(fā)現(xiàn)關鍵點、驗證、反思等，置身于探究的全過程，在拼搭中發(fā)現(xiàn)奧秘，在反思中提煉方法，讓探究成為整節(jié)課的核心，而將歐拉定理的發(fā)現(xiàn)放在課末，讓學生課后自主探究，豐富學生對正多面體的數(shù)學特性的認知。

【教學目標】

1.通過觀察、動手搭一搭等活動，認識正多面體，感知正多面體的特征。

2.經(jīng)歷提出猜想、操作討論、推理論證等過程，得出只有5種正多面體的結(jié)論，提高推理能力、思維能力，發(fā)展空間觀念和研究意識。

3.感知正多面體形狀的美麗和奇妙的數(shù)學特性，感受數(shù)學之美，并在探索驗證的過程中培養(yǎng)不斷鉆研的探索精神。

【教學重難點】探究一共有多少種正多面體。

【教學準備】課件;正三邊形、正四邊形、正五邊形、正六邊形磁力片學具若干。

【教學過程】

一、回顧舊知，做好知識鋪墊

出示：磁力片學具上的正多邊形。

師：平面有正多邊形，在三維立體空間則有正多_面體。今天我們就來認識美麗的正多面體。

【教學意圖：引導學生回憶各正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，及正多邊形隨著邊數(shù)的增多內(nèi)角逐漸增大的特征，為后續(xù)探究正多面體的個數(shù)做好鋪墊?！?/p>

二、操作實踐，經(jīng)歷探究過程

1.認識正多面體

①直接出示正多面體的概念，學生根據(jù)概念嘗試搭出正多面體。（學生大多能分別用正三邊形、正四邊形和正五邊形磁力片搭出正四面體、正六面體和正十二面體，以及一些非正多面體）

②判斷搭出的各種立體圖形是否是正多面體，在辨析中明確正多面體的特征：每個面都是相同的正多邊形;每個頂點所接的面數(shù)相同。

【教學意圖：根據(jù)給出的概念搭正多面體，并辨析搭出的是否是正多面體，使學生初步感知到正多面體的特征，為搭正多面體埋下伏筆?！?/p>

2.探究一共有多少種正多面體

①猜想：像這樣的正多面體能搭出多少種？說說理由。

（學生容易認為每種正多邊形都能搭成正多面體，正多邊形有無數(shù)種，從而認為正多面體也有無數(shù)種）

引發(fā)認知沖突：早在2400多年前，古希臘的哲學家柏拉圖在其著作中提出“正多面體只有5種”。

【教學意圖：學生通過類比推理很容易認為能搭出無數(shù)種正多面體，個別學生在之前搭的活動中發(fā)現(xiàn)了正六邊形搭不起來，從而會認為只有3種正多面體，這時獲知正多面體有5種，強烈的認知沖突極大地激發(fā)了學生探究的欲望，學生自然而然會去思考為什么是5種正多面體?！?/p>

②提出研究問題，思考研究方法。

師：為什么只有5種正多面體？還有哪2種正多面體？……一邊搭一邊思考，正六邊形為什么搭不成正多面體？搭不搭得成與什么有關？

③探究一：哪些正多邊形能搭成正多面體？

生1：拿2個正六邊形拼在一起后，第3個就放不進去了，要想放進去只有鋪平的時候。

師：用數(shù)學的語言來說，就是3個正六邊形拼在一起，一個頂點所接的角度之和已經(jīng)是360度，搭不成立體的圖形。

④發(fā)現(xiàn)關鍵點，縮小范圍。

師：由此可以推論，還有哪些正多邊形也肯定搭不成正多面體？為什么？

生2：正七邊形、正八邊形……角度越大，越搭不成正多面體。

師：為什么之前用正五邊形、正四邊形、正三邊形卻可以？

生3：用3個正五邊形、正四邊形或正三邊形拼在一起時，它們頂角的角度之和小于360度，還有空隙，就有空間能拉成一個立體的角。

（學生照樣子擺一擺、拉一拉，看是否都能拉成一個立體的角）

【教學意圖：用正六邊形磁力片嘗試搭正多面體的過程是學生積累經(jīng)驗的過程。教師的追問能引導學生關注到能不能搭成正多面體與一個頂點所接角度之和有關，從而縮小問題的范圍?！?/p>

⑤探究二：還有哪兩種正多面體？

師：一個頂點所接角度之和小于360°才有可能搭得成。經(jīng)過之前的操作證明，它們確實能搭成正多面體，那還有兩種呢？

生4：一個頂點所接的三角形還可以是4個或5個，因為加上三角形之后一個頂點所接的角度之和也沒超過360度。

師：這樣的推理有道理嗎？那一個頂點多接一個四邊形或五邊形可以嗎？為什么？

生5：不可以，那樣一個頂點所接的角度之和會等于或超過360度。

⑥驗證。

師：根據(jù)我們的推理，發(fā)現(xiàn)只有這樣的另外2種可能，它們真的能搭出正多面體嗎？試一試！

【教學意圖：“還有哪兩種正多面體？”的問題產(chǎn)生是水到渠成，而不是教師授意的。探究進一步深入，學生在獨立思考后小組交流討論，結(jié)合之前發(fā)現(xiàn)的關鍵點，分享初步的推理思路，促進更多學生的實質(zhì)性參與?！?/p>

3.回顧探究過程

師：讓我們理一理，怎么從最初猜想會有無數(shù)種正多面體，到得出只有5種正多面體的？

【教學意圖：通過回顧探究的整個歷程，讓學生在_反思中提煉解決問題過程中的關鍵步驟，幫助學生建構(gòu)研究一個數(shù)學問題的基本模型，并將這一模型運用到后續(xù)的探索研究之中?！?/p>

三、拓展延伸，激發(fā)探究熱情

師：稀有而美麗的正多面體因為它豐富的數(shù)學特性吸引了很多數(shù)學家的研究。你們猜，數(shù)學家還會研究什么？

研究問題一：歐拉定理——多面體面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)之間的關系

研究問題二：對偶關系——不同的正多面體之間的關系

師：把正多面體每個面的中心點相連，會得到什么圖形？

師：課后研究完成后，掃一掃作業(yè)單上的二維碼，聽聽微課，發(fā)現(xiàn)更多正多面體的奧秘。

【教學意圖：后續(xù)的作業(yè)設計旨在讓學生經(jīng)歷猜想、想象、操作、驗證等過程，用探究的方式去研究數(shù)學問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并在此過程中感受到正多面體豐富的數(shù)學特性，感受到探究的樂趣，感受到數(shù)學之美?！?/p>

四、板書設計

五、課后反思

1.巧用磁力片學具，豐富活動體驗

磁力片作為益智類玩具，在韓國、日本等國家的數(shù)學課堂上被廣泛使用，其最大的特點是能通過提拉，使平面圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榱Ⅲw圖形，也能輕而易舉地將立體圖形展開成平面圖形;另外，通過磁力片可建構(gòu)一個透視的中空形體，充分暴露點、線、面的特征。因此，筆者選用磁力片作為教學用具，使學生在小組合作拼搭的過程中，認識正多面體點、線、面的特征，發(fā)現(xiàn)能否搭成正多面體與選用的正多邊形的內(nèi)角度數(shù)有關?？梢?，巧妙借助學具的拼搭，能豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，使學生在操作嘗試中發(fā)現(xiàn)搭成正多面體的關鍵點。

2.巧設過程教學，激發(fā)高水平認知

數(shù)學課程標準指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶。動手實踐、自主探究與合作交流是學習數(shù)學的重要方式。”華東師范大學數(shù)學系鮑建生教授在《改進教學設計提高學生高層次數(shù)學思維能力》一文中也曾指出，數(shù)學教學目標分類的四層次架構(gòu)中，計算——操作性記憶水平、概念——概念性記憶水平屬于較低認知水平，而領會——說明性理解水平、分析——探究性理解水平則屬于較高認知水平。他在研究中發(fā)現(xiàn)，中國的學生在領會和分析這兩種高層次認知水平的能力表現(xiàn)上遠不如計算與概念等低層次認知。因此，在教學中，教師應在重視知識傳授和技能訓練的同時突出教學最本質(zhì)的目的——注重學生探究能力的培養(yǎng)，引導學生在親身經(jīng)歷和探究中自主建構(gòu)知識，獲得豐富的內(nèi)心真實體驗，從而逐步培養(yǎng)自主探究的能力。正是基于以上的思考，筆者設計了本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)：在學生通過類比推理，猜想會有無數(shù)種正多面體后，教師直接告知只有5種正多面體，從而引發(fā)認知沖突，那么“為什么只有5種正多面體？”“還有哪兩種正多面體？”等問題的提出也就水到渠成了。從猜想到操作，發(fā)現(xiàn)能不能搭成的關鍵點，再動手驗證，在整個探究與證明的過程中，教師適時追問：“為什么正六邊形搭不成正多面體，而正五邊形、正四邊形、正三邊形可以？除了搭成的3種正多面體，還有哪兩種正多面體？”在學生探究的關鍵處巧設問題框架，突破關鍵點，體現(xiàn)教師的主導性，逐步將學生的探究引向深處。采用探究——發(fā)現(xiàn)式的活動形式也是本節(jié)課的最大特點。

3.巧搭探究框架，提升研究意識

數(shù)學思維品質(zhì)是以深刻性為基礎的，而思維的深刻性是在不斷反思中實現(xiàn)的。在學生經(jīng)歷了“為什么只有5種正多面體”這樣一個探究過程之后，教師適時引導學生回顧、反思整個探究過程：從探究伊始如何產(chǎn)生問題意識，將探究目標怎樣科學地分解成若干個探究的問題和任務，并在探究過程中發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵點，最終通過操作來驗證結(jié)論。

除了對探究過程進行反思，筆者認為運用這樣的“探究支架”引導學生構(gòu)建探究框架，對于探究經(jīng)驗不甚豐富的小學生來說也是十分有必要的?！疤骄恐Ъ堋蹦馨烟骄咳蝿蘸瓦壿嬀€索合二為一，豐富學生的探究經(jīng)驗。最后教師在課末給出關于正多面體更多值得研究的奧秘，將能引導學生將這樣的模式加以運用，從而提升研究意識。

（責編：金鈴）