黃喜嬌,肖祥春

(1.安陽學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽 455000；2.廈門理工學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361024)

1952年,Duffin等[1]在研究非調(diào)和 Fourier級數(shù)時提出了Hilbert空間中的框架概念，并對框架的性質(zhì)做了初步研究.目前，框架理論已被廣泛應(yīng)用于信號處理[2]、數(shù)據(jù)量化[3]、圖像處理[4]等領(lǐng)域.2006年，Sun[5]提出了g-框架的概念，并對g-框架的性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到許多重要結(jié)論.隨后，g-框架、無冗g-框架、g-Riesz框架、g-框架序列、g-Besselian框架等逐步被許多學(xué)者研究，并且取得了重要的研究成果[5-12].

論文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有界線性算子L的不同性質(zhì)進(jìn)一步刻畫了g-Besselian框架，且根據(jù)文中的結(jié)果可以證明其他文獻(xiàn)中的定理.

設(shè)U和V是兩個復(fù)Hilbert空間，其內(nèi)積為〈·， ·〉，范數(shù)為‖·‖，{Vj}j∈J是V的閉子空間序列，其中J是整數(shù)集Z的子集，L(U,Vj)表示從U到Vj的所有有界線性算子的集合，L(U)表示從U到U的有界線性算子的全體.線性空間l2({Vj}j∈J)定義如下

其內(nèi)積為

則l2({Vj}j∈J)為一個復(fù)Hilbert空間.

1 定義與引理

定義1[5]設(shè)Λj∈L(U,Vj),j∈J，則稱序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，如果存在正數(shù)A,B>0，使得

滿足上述不等式的A,B分別稱為g-框架的下界和上界.如果只有右邊的不等式成立，則稱序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列.

引理1[13]設(shè){Λj}j∈J∈L(U,Vj)，且對任意j∈J,dimVj<+∞，{ejk}k∈Kj是Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則下列兩個敘述等價：

(1){Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架.

(2){Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，且dimkerQ<+∞，其中線性算子

引理2[14]設(shè)U，V為Hilbert空間，有界線性算子T:U→V具有閉值域T(U)，則存在唯一的有界線性算子T+:V→U，滿足

NT+=T(U)⊥，T+(V)=NT⊥，TT+f=f，?f∈T(U).

引理3[15]設(shè)Λj∈L(U,Vj),j∈J, 則序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列且界為B,當(dāng)且僅當(dāng)可定義線性算子Q：l2({Vj}j∈J)→U為

引理4[15]設(shè)Λj∈L(U,Vj),j∈J,則序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架當(dāng)且僅當(dāng)可定義線性算子Q：l2({Vj}j∈J)→U為

且Q為有界滿的，框架界為‖Q+‖-2和‖Q‖2，這里Q+為Q的偽逆算子.

引理5[16]設(shè)X,Y為Banach空間，T:X→Y，U:Y→X均為有界線性算子，若T和U滿足TU=I并且dimkerT<+∞，其中I是Y中的恒等算子，則

X=kerT⊕U(Y)，

dimkerT=dimkerU*.

引理7[9]設(shè)序列{Λj∈L(U,Vj):j∈J}是U關(guān)于{Vj:j∈J}的g-框架，框架界為A,B,且{Γj∈L(U,Vj):j∈J}是U關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列，若線性算子L[9]是滿的，則{Γj:j∈J}是U關(guān)于{Vj:j∈J}的g-框架.

2 主要結(jié)果及證明

文獻(xiàn)[10]中通過舉例說明，當(dāng){Λj}j∈J∈L(U,Vj)為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架，且{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列時，線性算子L是滿的，則不能推出{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架.但是，如果L是可逆的有界線性算子，則上述結(jié)論成立，即得定理1.

定理1設(shè){Λj}j∈J∈L(U,Vj)，且對任意的j∈J，dimVj<+∞.假設(shè)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架，序列{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，若線性算子L是可逆的，則{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架.

證明由于序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架，根據(jù)g-Besselian框架的定義知{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，根據(jù)引理4可定義有界線性算子為

且由引理1知dimKerP<+∞，再根據(jù)引理7知{Γj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架.

要證{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架，根據(jù)引理1，下面只需證明dimKerQ<+∞.

設(shè)任意的f∈U，經(jīng)計算知P的共軛線性算子

P*:U→l2({Vj}j∈J)，P*f={Λjf}j∈J∈l2({Vj}j∈J)，

又序列{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，根據(jù)引理3可定義有界線性算子

所以，對任意f∈U，有

即L=QP*.因?yàn)長是可逆的有界線性算子，所以由L=QP*，可得I=L-1QP*.由于

(L-1QP*)*=P(L-1Q)*，

所以

P(L-1Q)*=I*=I.

根據(jù)引理5，得dimkerP=dimker(L-1Q)，因?yàn)長是可逆的有界線性算子，所以dimkerQ=dimkerP<+∞.又因?yàn)閧Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g框架，再根據(jù)引理1知{Γj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架.

注1令Λjf=〈f,fj〉，Vj=C,j∈J，由文獻(xiàn)[11]中的定理2.1和定理2.2可知，{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架當(dāng)且僅當(dāng){fj}j∈J為U的Besselian框架，再根據(jù)引理6可得文獻(xiàn)[15]中的定理4.3.

推論設(shè)序列{Λj∈L(U,Vj):j∈J}為U關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Besselian框架，{Γj∈L(U,Vj):j∈J}為U關(guān)于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列，若{Γj:j∈J}為{Λj:j∈J}的交錯對偶框架，則L=I.

證明由交錯對偶框架的定義及文獻(xiàn)[8]中有界線性算子L的定義，知L=I.

證明設(shè)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架，由g-Besselian框架的定義知，{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架且dimkerP<+∞，其中有界線性算子

P：l2({Vj}j∈J)→U，

且

根據(jù)g-框架的定義可以得到，對任意f∈U,有

故有

即框架上界為B‖T‖2.

另一方面，因?yàn)門∈L(U)是一個滿的算子，根據(jù)引理2，則對任意f∈U,有TT+f=f，所以，有

‖T+‖-1‖f‖≤‖Tf‖，

所以，{ΛjT}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，根據(jù)引理4可定義有界線性算子為

因?yàn)?/p>

所以,有

Q({gj}j∈J)=T*P({gj}j∈J)，

即Q=T*P.

若a∈kerQ，則Q(a)=0，即T*P(a)=0，因?yàn)門是滿的，所以T*是單的，故P(a)=0，即a∈kerP，kerQ?kerP.

若a∈kerP，則P(a)=0，T*P(a)=0，即Q(a)=0，a∈kerQ，所以kerP?kerQ，kerQ=kerP.

注2令Λjf=〈f,fj〉，Vj=C,j∈J.由文獻(xiàn)[11]中的定理2.1和定理2.2可知，{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian框架當(dāng)且僅當(dāng){fj}j∈J為U的Besselian框架.由引理6知，在Hilbert空間中，{fj}j∈J為U的Besselian框架與{fj}j∈J為U的擬Riesz基二者是等價的，所以由{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Besselian，可以推出{fj}j∈J為U的擬Riesz基.故由定理1可以得到文獻(xiàn)[16]中的定理1.