劉 晨，李丙春，王文龍，張宗虎

(喀什大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,新疆 喀什 844006)

圖像分割[1]是計算機視覺的基礎(chǔ)，是圖像目標識別、檢測和分析等后續(xù)處理的第一步，同時也是圖像處理中的難題.基于曲線演化理論和水平集方法的幾何活動輪廓(geometric active contour，簡稱GAC)模型[2-5]廣泛應(yīng)用于邊緣檢、圖像分割等領(lǐng)域.在平面圖像分割中，其將2維演化曲線表達為高一維的3維連續(xù)函數(shù)的零水平集，水平集函數(shù)定義為演化曲線的符號距離函數(shù)，能夠較好地處理曲線拓撲結(jié)構(gòu)的變化.但傳統(tǒng)的GAC模型在曲線演化迭代過程中需要重新初始化，難以檢測出弱邊緣輪廓，容易受到噪聲的干擾.

GAC模型有基于變分水平集方法的演化方程和以偏微分方程(partial differential equation,簡稱PDE)驅(qū)動的水平集方法的演化方程[6-7]，論文所研究模型屬于后者.近年來，出現(xiàn)了較多基于PDE的GAC水平集方法的改進方法.文獻[8]提出利用氣球力和梯度向量場混合作用改進GAC模型，并且利用半隱式方案加性算子分裂算法對新模型進行加速運算.文獻[9]定義一種新的符號壓力函數(shù)，利用具有圖像增強能力的局部區(qū)域信息，從而取代GAC模型的邊界停止函數(shù)，并且使用選擇性二進制和高斯濾波水平集方法，取代水平集函數(shù)的重新初始化.文獻[10]采用基于區(qū)域信息的水平集方法，結(jié)合GAC模型和Chan-Vese模型提出一種新的活動輪廓模型，提高圖像分割的精確性.

傳統(tǒng)的GAC水平集方法的圖像分割，水平集函數(shù)必須周期性地重新初始化使水平集函數(shù)保持為一個符號距離函數(shù).論文在原先能量泛函模型中引入一個約束能量，解決了水平集函數(shù)在演化過程中需重新初始化的問題.但引入的約束能量是基于變分水平集方法的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動的水平集方法，會出現(xiàn)錯誤的分割結(jié)果，論文在此基礎(chǔ)上在引入反應(yīng)擴散方程，將水平集方程的求解劃分為兩部分來解決上述問題.傳統(tǒng)的GAC模型水平集方程中停止函數(shù)直接基于圖像梯度信息，論文提出一種新的邊緣檢測算子，應(yīng)用到邊緣停止函數(shù)中，對邊緣停止函數(shù)給予重新定義.

1 GAC模型

設(shè)零水平集函數(shù)φ(x,t)，其中x表示平面位置，t為時間參數(shù).定義封閉曲線C(t)，C(t)={x|φ(C(t),t)=0}，因為φ(C(t),t)=0，兩邊對時間t進行求導(dǎo)得到方程

(1)

初始水平集函數(shù)為φ0(x)=φ(x,t=0)， 則GAC模型的水平集函數(shù)演化方程為

(2)

2 論文模型

2.1 無需重新初始化GAC模型

在傳統(tǒng)的水平集方法中，為了確保活動輪廓模型的穩(wěn)定性，防止水平集函數(shù)在靠近邊緣時候過于平坦或者過于陡峭，初始水平集函數(shù)通常將曲線生成符號距離函數(shù)，并且在曲線演化迭代過程中必須周期性地重新初始化，使得水平集函數(shù)重新變成帶符號的距離函數(shù)，如果水平集函數(shù)發(fā)生退化，將導(dǎo)致數(shù)值計算的迭代過程趨向不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致錯誤的分割結(jié)果.重新初始化的計算量大，分割速度慢.重新初始化工作[11-12]可以求解PDE方程得

(3)

文獻[13]提出一種符號距離懲罰能量函數(shù)為

(4)

此能量泛函只與水平集函數(shù)φ有關(guān)，使得在演化過程水平集分割模型中的約束水平集函數(shù)保持為一個符號距離函數(shù)，從而曲線在演化過程中不用反復(fù)對水平集函數(shù)進行重新初始化.其梯度下降流為

(5)

論文將符號距離懲罰能量函數(shù)結(jié)合GAC模型，得到相應(yīng)的梯度下降流為

(6)

這種符號距離懲罰能量函數(shù)是基于變分水平集方法提出來的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動的水平集方法中，不能有效地正確分割圖像.將公式(6)改寫成

(7)

可以用圖1中左邊所示的圖來說明這個問題.圖中紅色箭頭表示水平集方程中的推力函數(shù)F，藍色箭頭表示規(guī)則化推力函數(shù)Fw.在零水平集到達目標邊緣時，水平集推力函數(shù)F接近于0，當Fw等于0時，水平集曲線停留在目標邊緣.而有些時候，當水平集推力函數(shù)F等于0、Fw不一定等于0時，零水平集會繼續(xù)演化，從而導(dǎo)致錯誤的分割.

圖1 水平集方程演化推力函數(shù)

為了解決上述問題，將反應(yīng)擴散方程理論應(yīng)用到公式中，得到新的水平集演化方程為

φt=εΔφ+ε-1L(φ),

(8)

從而將水平集方程的求解劃分為擴散部分εΔφ和反應(yīng)部分ε-1L(φ).根據(jù)反應(yīng)擴散理論研究可知，第一步求解反應(yīng)方程部分φn+1/2=φn+t1L(φn)，第二步求解擴散方程部分φn+1=φn+1/2+t2φn+1/2.這里忽略ε這一小的正常數(shù)，因為在具體的求解過程中可以將參數(shù)ε整合進時間參數(shù)t1和t2，在具體數(shù)值計算中t1和t2都很小，從而得到t1ε-1→t1，t2ε→t2.

可以通過圖1右圖來說明這個問題.圖中紅色箭頭、藍色箭頭分別表示水平集方程推力函數(shù)F和規(guī)則化推力函數(shù)Fw.論文將反應(yīng)擴散方程應(yīng)用到上述無需重新初始化的GAC模型中.新的模型分為兩步：第一步求解反應(yīng)方程部分，但是其懲罰函數(shù)是基于變分方程理論提出的，直接應(yīng)用于偏微分方程并不完全適合；第二步求解擴散方程，修正規(guī)則化推力Fw與推力函數(shù)F的方向不一致問題，如圖中綠色箭頭所示.從而新的水平集演化方程為

(9)

2.2 新的邊緣停止函數(shù)

GAC水平集模型其邊緣停止函數(shù)是基于圖像梯度信息的，難以分割圖像不同區(qū)域間模糊的弱邊緣和灰度漸進圖像目標，并且易受到噪聲的影響，抗噪聲能力弱.根據(jù)文獻[14]可知，二階導(dǎo)數(shù)能夠有效地區(qū)別邊緣和漸變區(qū)域.定義

并且提出了一種差分曲率的邊緣檢測算子，表示為D=||uηη|-|uξξ||，其中|*|表示絕對值運算.經(jīng)過試驗，提出一種新的邊緣檢測算子，應(yīng)用到邊緣停止函數(shù)g中.參考uηη和uξξ定義

(10)

省略原先定義形式的歸一化操作，定義

(11)

從而提出一種新的邊緣檢測算子為

(12)

從圖2(a1)～(a3)可以看出，在無噪聲情況下，3種算子都能有效地檢測出漸變圖像的邊緣，相較于梯度算子和差分算子，論文定義的算子能很好地檢測出邊緣所在，不受圖像其他區(qū)域信號影響.如圖2(b1)～(b3)所示，在圖像受到較為輕微的噪聲影響下，論文定義算子幾乎不受噪聲影響，和無噪聲情況下的邊緣檢測效果一致，而梯度算子和差分算子只有在人工目視情況下可見，受到較為嚴重的噪聲影響.在圖像受到較為嚴重噪聲影響下各種邊緣加測算子比較如圖2(c1)～(c3)所示.論文定義算子依然可以檢測出圖像邊緣，而此時的梯度算子和差分算子在人工目視情況下圖像邊緣都已不可見.通過上述實驗，可知論文提出的邊緣檢測算子，能有效地檢測出圖像的邊緣，特別是在圖像受到噪聲的影響下，相較于傳統(tǒng)的邊緣檢測算子具有更好的魯棒性.論文將提出的邊緣檢測算子應(yīng)用到水平集模型中的停止函數(shù)，重新定義邊緣停止函數(shù)，表示為

(13)

圖2 無噪圖像和噪聲圖像及邊緣檢測比較

3 實驗結(jié)果

通過實驗驗證論文所提出模型的有效性.論文對比方法有:在原先基于偏微分方程驅(qū)動的GAC模型中直接加上基于變分水平集模型的懲罰能量,得到方法1;文獻[15]所提出的方法2.在第一個試驗中還將添加重新初始化的方法.論文模型參數(shù)選取為μ=0.01，υ=0.5，λ=0.8，t1=0.1，t2=0.001.方法1中的參數(shù)與論文模型中的參數(shù)選取一致,方法2中的參數(shù)取其默認參數(shù)，可參考文獻[15].

實驗1針對含有較多復(fù)雜邊緣的多目標圖像進行試驗，如圖3(a)所示.圖3(a)中的紅色方框表示初始水平集函數(shù)的零水平集,圖3 (b)～(e)分別對應(yīng)重新初始化方法、方法1,2和論文方法的分割結(jié)果.從分割結(jié)果來看，重新初始化方法分割結(jié)果錯誤，并且耗時.在后面的實驗比較中，將不再參與方法的比較.方法1最終的零水平集位置離圖像真正邊緣還有一定距離，并且在兩處邊緣中間位置產(chǎn)生了額外的假邊緣，如圖3(c)所示，說明方法1的分割效果不理想.方法2和論文提出的模型都可以較好地得到分割結(jié)果.

圖3 原始圖像及不同方法下的分割比較

實驗2針對弱邊緣圖像及其受到噪聲影響的情況.圖4(1)為無噪聲圖像，圖4(2)是添加低噪聲水平(噪聲標準差為8的高斯噪聲)的噪聲圖像，圖4(3)是添加高噪聲水平(噪聲標準差為16的高斯噪聲)的噪聲圖像.圖4(a)～(c)是對無噪聲圖像圖4(1)的分割比較.從圖中可以看出：方法1出現(xiàn)了錯誤的零水平集，也就是錯誤的邊緣，如圖4(a)所示；方法2能較好地得到分割結(jié)果，但是在弱邊緣處分割結(jié)果有點瑕疵，如圖4(b)右邊細胞上方弱邊緣處；而論文方法能得到比較好的分割結(jié)果，如圖4(c)所示；在低噪聲和高噪聲影響下，方法1都出現(xiàn)了錯誤的分割結(jié)果，如圖4(a)，(d)，(g)所示；方法2隨著噪聲水平的增加，分割結(jié)果錯誤率越來越大，不能有效地分割弱邊緣目標，如圖4(b)，(e)，(h)所示；而論文方法，不僅在無噪聲情況下正確得到弱邊緣目標的分割結(jié)果，在低噪聲和高噪聲水平的影響下，也能得到較為正確的分割結(jié)果，幾乎不受噪聲的影響，如圖4(c)，(f)，(i)所示.

圖4 原始圖像、噪聲圖像及不同方法下的分割結(jié)果

論文采用Jaccard相似系數(shù)(Jaccard coefficient,簡稱JC)和骰子相似系數(shù)(dice similarity coefficient,簡稱DSC)[16]對分割結(jié)果進行評價，分別定義為

(14)

其中：N(R)表示區(qū)域R內(nèi)像素點的個數(shù);R1,R2分別表示基準目標區(qū)域和分割得到的目標區(qū)域;JC，DSC的取值范圍為[0,1]，取值越大說明該分割方法的分割結(jié)果越精確.

實驗3是針對不同模型下圖3(a)、圖4(1)～(3)無噪聲和不同強度高斯噪聲污染圖像的分割精度做定量分析，結(jié)果如表1,2所示.從JC和DSC兩個量化指標結(jié)果可以看出，在無噪聲環(huán)境下，論文模型分割結(jié)果高于重新初始化方法、方法1，2.在不同強度高斯噪聲環(huán)境下，論文模型和無噪聲環(huán)境下分割結(jié)果數(shù)據(jù)大致相同，而方法1，2隨著噪聲水平的增加分割精度隨之下降.從量化指標的數(shù)據(jù)結(jié)果分析可以得出論文模型的有效性和適應(yīng)性.

表1 圖3(a)不同模型實驗結(jié)果的JC與DSC比較

表2 圖4(a)，(b)，(c)不同模型實驗結(jié)果的JC與DSC比較

4 結(jié)束語

論文針對基于偏微分方程驅(qū)動的GAC模型，提出一種新的水平集圖像分割方法.引入一個約束能量，解決了水平集函數(shù)在演化過程中需重新初始化的問題.但引入的約束能量是基于變分水平集方法的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動的水平集方法，會出現(xiàn)錯誤的分割結(jié)果.論文在此基礎(chǔ)上引入反應(yīng)擴散方程，將水平集方程的求解劃分為兩部分，解決了此問題.并且提出一種新的邊緣檢測算子，重新定義邊緣停止函數(shù).實驗結(jié)果表明，論文提出方法對弱邊緣及其受噪聲影響圖像分割更具魯棒性，得到較好的分割結(jié)果.