梁貧

【摘 要】本文以直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)為支點(diǎn)，解讀數(shù)形結(jié)合與解題能力的關(guān)系，論述利用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略：激發(fā)興趣、喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的關(guān)注;多元途徑、聚焦問題以提高解題能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解題能力 數(shù)形結(jié)合

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》（下文簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”，換言之，高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的關(guān)鍵在于“數(shù)”“形”兩類要素及相互關(guān)系上。借助數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以有效地構(gòu)建“數(shù)”和“形”的內(nèi)在聯(lián)系，而且能便捷地建立解決數(shù)學(xué)問題的直觀模型，從而降低問題理解難度、獲取問題解決方法。值得注意的是，解題能力不能等同于解題技巧，《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》在高中數(shù)學(xué)考核的命題原則中指出：“注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，融入數(shù)學(xué)文化?！庇绕湓诟咧袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，如果混淆解題能力和解題技巧的概念，那么容易將數(shù)形結(jié)合思想退化成數(shù)形結(jié)合工具。

一、以直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)為支點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合與解題能力的關(guān)系解讀

結(jié)合高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，但大多數(shù)情況下，又被視為一種具體方法。換言之，數(shù)形結(jié)合的理論性、實(shí)踐性特征是高度融合的。這就要求教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)解題能力培養(yǎng)過程中，合理把握數(shù)形結(jié)合理論價(jià)值、實(shí)踐價(jià)值的平衡性，避免學(xué)生將其視為一種狹隘的解題工具?！稊?shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段”，同時(shí)又指出，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)，數(shù)形結(jié)合是一種必然的渠道。以“形”的具象化功能，將“數(shù)”的關(guān)系表達(dá)出來，反之，利用“數(shù)”的抽象化功能，將“形”的關(guān)系進(jìn)行概括、簡(jiǎn)化。據(jù)此可將直觀想象核心素養(yǎng)作為一個(gè)支點(diǎn)，形成“數(shù)形結(jié)合（起點(diǎn)）→直觀想象（支點(diǎn)）→解題能力（終點(diǎn)）”的邏輯思維模型。這樣，在以數(shù)形結(jié)合作為起點(diǎn)向直觀想象這一支點(diǎn)的發(fā)展過程中，就能有效地保證數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想的價(jià)值;并在進(jìn)一步向解題能力這一終點(diǎn)發(fā)展的過程中，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)方法的作用。

二、以課堂教學(xué)模式為前提，利用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略

（一）激發(fā)興趣、喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的關(guān)注

立足我國(guó)學(xué)校教育視閾之下，數(shù)學(xué)課程中采取數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行解題是一種常態(tài)。高中生可以持續(xù)初中階段數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用規(guī)律，自主進(jìn)行探索。但對(duì)于老師來說，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要注意結(jié)合教材知識(shí)點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)豐富情境來激發(fā)學(xué)生興趣，進(jìn)一步喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的關(guān)注。

1.現(xiàn)實(shí)生活情境。根據(jù)認(rèn)知情境理論，知識(shí)并非“事實(shí)與規(guī)則的集合”，而是人與環(huán)境之間的“動(dòng)態(tài)建構(gòu)與組織”，學(xué)習(xí)者（個(gè)體）為與外界達(dá)成相對(duì)協(xié)調(diào)的交互狀態(tài)，就必須不斷調(diào)整自己的適應(yīng)力。從這一點(diǎn)出發(fā)，借助生活情境能夠更好地提高學(xué)生解題能力。例如，在高中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)過程中，可以通過列舉“彩票中獎(jiǎng)號(hào)碼”“選舉投票預(yù)測(cè)”等生活中存在的事物，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想加以解決。當(dāng)然，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式下，生活情境的概念需要狹義化，以便將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于解題能力培養(yǎng)的過程中?？山柚顨庀⑶榫齿o助開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行交流、探討。例如，教師可以利用生活中的電源開關(guān)中的“開”和“閉”代表數(shù)學(xué)邏輯中的“且”和“或”，并畫出相應(yīng)的圖進(jìn)行展示，以便活到更好地理解數(shù)學(xué)中“且”和“或”的概念。

2.數(shù)學(xué)文化情境。《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”。但大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中被邊緣化，尤其在解題能力培養(yǎng)過程中，數(shù)學(xué)文化的價(jià)值很少被重視。事實(shí)上，數(shù)學(xué)雖然是自然學(xué)科，是理性的，但它仍然有獨(dú)特的人文性特質(zhì)。例如，從“形”來看，數(shù)學(xué)“形”的審美價(jià)值，具有和諧美、對(duì)稱美;從“數(shù)”的角度看，具有抽象美、簡(jiǎn)潔美。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境，有利于學(xué)生貫通數(shù)形結(jié)合的原理。例如，在函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行表達(dá)式變形，能夠形成與之對(duì)應(yīng)的曲線圖形，能夠讓學(xué)生深刻感知數(shù)學(xué)魅力。

3.游戲、故事情境。解題能力的培養(yǎng)是循序漸進(jìn)、久久為功的，同樣，喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)注，不可一蹴而就?？紤]到高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容資源、時(shí)間、工具等條件限制，我們往往無法開展大規(guī)模的實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)。因此我們可通過游戲、故事情境創(chuàng)設(shè)等，沖淡高中數(shù)學(xué)的枯燥乏味之感，不斷維持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）多元途徑、聚焦問題以提高解題能力

1.從“文本概念”到“數(shù)形概念”的解題能力培養(yǎng)。概念是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本構(gòu)成要素，也是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的基礎(chǔ)講解對(duì)象。從教材內(nèi)容組織形式出發(fā)，概念大多以文本形式呈現(xiàn)，具有高度概括性、抽象性、符號(hào)性的特征。對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)此有較高的理解難度。如果將概念直接作用于解題能力培養(yǎng)，那么很難發(fā)揮概念作為知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)價(jià)值。因此，可借助數(shù)形結(jié)合思想來闡釋數(shù)學(xué)概念，提高其在解題過程中的應(yīng)用效率和效果。

以高中數(shù)學(xué)中“橢圓”概念為例，教材中給出的定義為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2 距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡”。顯而易見，在這種文本概念的描述形式下，學(xué)生很難產(chǎn)生直觀想象的畫面。我們知道，文本概念是純粹的數(shù)量關(guān)系，軌跡是“點(diǎn)的集合”，也就是動(dòng)態(tài)的點(diǎn)累積形成的圖形。如果引入數(shù)形結(jié)合思想，那么就可以將橢圓概念進(jìn)一步形象化。教師可通過指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下實(shí)踐獲得體驗(yàn)：首先，取一張白紙，按照文本概念的要求，在任意位置上標(biāo)注兩個(gè)點(diǎn) F1、F2，然后再確定一個(gè)“常量”，可以用一段大于|F1F2|的細(xì)線代替。將細(xì)線的兩端固定在 F1 和 F2 上，繃緊細(xì)線形成一個(gè)非等邊三角形（必要條件）。然后讓學(xué)生在細(xì)線上固定筆尖、以繃緊狀態(tài)運(yùn)動(dòng)，觀察閉合后的圖形狀態(tài)，即得到橢圓圖形。這個(gè)過程直觀地完成了從“文本概念”到“數(shù)形概念”的轉(zhuǎn)化。

理解數(shù)學(xué)概念是解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的前提，在上例中，如果學(xué)生能透徹地理解橢圓概念，那么學(xué)生將能更好地理解接下來要學(xué)習(xí)的雙曲線、拋物線概念。事實(shí)上，“文本概念”到“數(shù)形概念”轉(zhuǎn)化的過程并不復(fù)雜，如上例通過動(dòng)手操作畫橢圓，就是一種從概念的“數(shù)”形式向“形”形式進(jìn)行的一種數(shù)開結(jié)合思想，它能極大地減輕理解負(fù)擔(dān)，并在轉(zhuǎn)化過程中，使學(xué)生更清晰地理解橢圓的幾何意義，P={M||MF1|+|MF2|=2a} 內(nèi)涵。

2.“經(jīng)典例題”與“經(jīng)典錯(cuò)誤”的解題能力培養(yǎng)。顧名思義，解題能力面向的是“題”，數(shù)形結(jié)合思想作用對(duì)象也應(yīng)放在“題”本身。高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中接觸的題型，以經(jīng)典例題和經(jīng)典錯(cuò)題兩類為主，其中，經(jīng)典例題又和概念、定理、模型等存在密切的關(guān)系，甚至直接源自某一知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。學(xué)生通過掌握經(jīng)典例題的解法思維、技巧，可在同類型解題過程中做到事半功倍。以經(jīng)典錯(cuò)題為基礎(chǔ)的解題能力培養(yǎng)，本質(zhì)上是一種糾錯(cuò)、避錯(cuò)素養(yǎng)培養(yǎng)，旨在發(fā)揮“引以為戒”的作用。數(shù)形結(jié)合思想方法在應(yīng)用過程中，對(duì)這兩種題型需要進(jìn)行區(qū)分對(duì)待。相對(duì)而言，通過經(jīng)典錯(cuò)題提升學(xué)生解題能力，既可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，又可以有效規(guī)避常見錯(cuò)誤，更適合在課堂教學(xué)模式下應(yīng)用。

例如，變量 x 和 y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值是。

A.2? ? B.3? ? C.4? ? D.5

學(xué)生容易受到慣性思維的影響，在利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，根據(jù)題目簡(jiǎn)單地畫出圖形，然后得出答案。在上面問題中，最常見的錯(cuò)誤是選擇答案“A.2”，其理由見下圖 1。

但是稍微觀察就不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過 C（2，0）時(shí)，明顯不符合 y≥1 的要求。如圖 2 所示，需要將 C 排除在可行域之外，正確答案應(yīng)該為“B.3”。以上題目的“經(jīng)典錯(cuò)誤”在于，在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合過程中沒有充分地將“數(shù)”和“形”的條件進(jìn)行匹配。

3.“數(shù)形轉(zhuǎn)化”向“數(shù)形結(jié)合”轉(zhuǎn)換的解題能力培養(yǎng)。鑒于高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容抽象、關(guān)聯(lián)度高的特征，所謂解題能力，本質(zhì)上是學(xué)生面對(duì)題目時(shí)的分析能力、歸納能力、推理能力、計(jì)算能力等一系列綜合能力，它的形成是一個(gè)從量變到質(zhì)變的積累過程。同樣，數(shù)形結(jié)合思想下的解題能力培養(yǎng)，需要經(jīng)過一定的學(xué)習(xí)過程。整體上可歸納為數(shù)形轉(zhuǎn)化向數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換，其中，數(shù)形轉(zhuǎn)化是一個(gè)相互逆轉(zhuǎn)的過程。教師要讓學(xué)生充分理解，由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化是“抽象—具象”的過程，重點(diǎn)在于降低理解難度、形成直觀體驗(yàn);而“由形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化則是“具象—抽象”的過程，其價(jià)值在于整合問題已知條件、形成解題步驟、獲取正確答案。建立在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力訓(xùn)練，可與具體知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，注重功在平時(shí)。例如，在講解圓錐曲線類問題時(shí)，要善于運(yùn)用圖形表達(dá)形式來闡釋性質(zhì);在學(xué)習(xí)“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”時(shí)，要善于運(yùn)用向量、平行、相交等符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，讓學(xué)生在熟練掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化之后，再謀求解決問題過程中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用，這樣方能循序漸進(jìn)地提高解題能力。

高中階段數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展過程，可運(yùn)用的解題思想、方法很多。本文主要從“直觀想象”這一核心素養(yǎng)切入，倡導(dǎo)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。在具體策略方面，可從兩個(gè)方面同時(shí)展開。其一是喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的關(guān)注，唯有意識(shí)上形成重視，才能在行動(dòng)上落實(shí)。其二是聚焦問題本身提高解題能力，無論是面向概念、定理，還是經(jīng)典例題、錯(cuò)題，以數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力，都要落實(shí)在具體問題層面上。

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【作者簡(jiǎn)介】梁 貧（1977— ），女，漢族，籍貫廣西興業(yè)，中學(xué)一級(jí)教師，現(xiàn)就職于玉林市興業(yè)縣第二中學(xué)，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）