劉永剛

【摘?要】教師可以以“問(wèn)題串”的形式指導(dǎo)學(xué)生借助三角函數(shù)定義及圓的對(duì)稱(chēng)性得出π+α，π-α及-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，采用獨(dú)立探究和小組討論相結(jié)合的方式得出結(jié)論。滲透特殊到一般，類(lèi)比以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，力求發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】銳角;單位圓;誘導(dǎo)公式

【教學(xué)片段1】提出問(wèn)題?引發(fā)思考

問(wèn)題1：利用三角函數(shù)的定義計(jì)算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函數(shù)值，觀察它們相應(yīng)的同名三角函數(shù)值之間存在什么關(guān)系？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果？

追問(wèn)：對(duì)任意角α，π+α的三角函數(shù)值也會(huì)滿(mǎn)足“tan值相等，cos值和sin值互為相反數(shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義，計(jì)算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函數(shù)值并觀察它們相應(yīng)三角函數(shù)值之間的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生思考其本質(zhì)進(jìn)而推廣到對(duì)于任意角α，π+α的終邊必定與其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)角與單位圓的交點(diǎn)必定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而總結(jié)概括出公式二：對(duì)于任意角α，都有sin（π+α）=-sin α，cos（π+α）=-cos α，tan（π+α）=tan α。

這個(gè)過(guò)程中學(xué)生不難看出π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但推廣到任意角α和π+α，有些學(xué)生就可能看不出來(lái)，教師可通過(guò)回顧角的定義引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖幫助學(xué)生理解，以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

誘導(dǎo)公式本質(zhì)是圓的對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)表示，教師教學(xué)過(guò)程中應(yīng)讓學(xué)生感受到這一本質(zhì)，突顯出圓的對(duì)稱(chēng)性在解決問(wèn)題中的重要作用，從而使學(xué)生深刻理解公式，并且能夠有效地發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)，同時(shí)為探究后續(xù)誘導(dǎo)公式提供了方向和思維基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段2】總結(jié)反思?合作探究

教師和學(xué)生一起回顧總結(jié)誘導(dǎo)公式二的推導(dǎo)所經(jīng)歷的思維過(guò)程，首先研究角的代數(shù)關(guān)系，再研究角的終邊的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，進(jìn)而得出角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，最后得出函數(shù)關(guān)系。

問(wèn)題2：類(lèi)比公式二，思考角α與角-α（α為任意角）終邊的關(guān)系，并探究它們對(duì)應(yīng)的同名三角函數(shù)的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比公式二的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)畫(huà)圖借助角的旋轉(zhuǎn)定義得出角α與角-α終邊必定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)角與單位圓的交點(diǎn)必定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而得出公式三：sin（-α）=-sin α，cos（-α）=cos α，tan（-α）=-tan α。

任意角α與-α的終邊的位置關(guān)系比較簡(jiǎn)單，推導(dǎo)出公式三并不難，過(guò)程中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用數(shù)形結(jié)合和類(lèi)比的思想來(lái)解決問(wèn)題，養(yǎng)成及時(shí)回顧總結(jié)，及時(shí)反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)片段3】 類(lèi)比探究?獨(dú)立推導(dǎo)

問(wèn)題3：類(lèi)比公式二和三，思考角α與角π-α（α為任意角）終邊的關(guān)系，并探究它們對(duì)應(yīng)的同名三角函數(shù)的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

角α與角π-α終邊的位置關(guān)系對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，教師引導(dǎo)學(xué)生由角-α與角π-α終邊的位置關(guān)系突破，進(jìn)而總結(jié)概括出公式四：sin（π-α）=sin α，cos（π-α）=-cos α，tan（π-α）=-tan α。

公式四的推導(dǎo)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽上臺(tái)展示.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)關(guān)鍵在于學(xué)生能夠自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)和提升獨(dú)立探究問(wèn)題的意識(shí)和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，而這種獨(dú)立性意識(shí)和能力是靠學(xué)生在實(shí)踐操作中不斷摸索、感悟和積累的。

通過(guò)問(wèn)題串的形式，學(xué)生在教師的引領(lǐng)下推導(dǎo)出公式二，師生及時(shí)總結(jié)概括，學(xué)生合作探究推導(dǎo)出公式三，學(xué)生類(lèi)比公式二、三推導(dǎo)過(guò)程，獨(dú)立完成公式四的推導(dǎo)。新課講授過(guò)程讓學(xué)生從具體角的三角函數(shù)值猜想公式，再結(jié)合圖形利用圓的對(duì)稱(chēng)性對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。學(xué)生的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷從特殊到抽象，由感性到理性、由圖形特征到文字語(yǔ)言表述再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述的過(guò)程，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)得到逐步提升。

【教學(xué)片段4】公式應(yīng)用 鞏固新知

課堂測(cè)試：1.利用公式求下列三角函數(shù)值：

（1）cos 225°;（2）sin8π3;（3）sin-116π3;（4）tan（-2040°）。

2?；?jiǎn)cos（180°+α）sin（α+360°）

tan（-α-180°）cos（-180°-α）。

3。（1）已知sinπ3+α=-12，求sinα-π3的值.

（2）已知cosπ6+α=33，求cos7π+α6的值.

引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算公式和運(yùn)算方向，計(jì)算并判斷問(wèn)題結(jié)果等環(huán)節(jié)。然后教師引導(dǎo)總結(jié)反思計(jì)算和化簡(jiǎn)的過(guò)程，概括運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)的一般步驟：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。通過(guò)這個(gè)過(guò)程逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

本課教學(xué)過(guò)程是從具體到抽象，再由抽象到具體，重點(diǎn)研究了終邊分別關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到了三組三角公式，并通過(guò)例題的研究學(xué)習(xí)，將抽象的公式應(yīng)用于具體的問(wèn)題中，同時(shí)又總結(jié)出了化簡(jiǎn)計(jì)算任意角三角函數(shù)的一般步驟。整節(jié)課始終力求發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃邵華，何嬌.形之完美表達(dá)數(shù)之完美表現(xiàn)——對(duì)誘導(dǎo)公式教學(xué)的深入思考和分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（09）：50～51，55.

[2]劉海燕.注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)理性精神——對(duì)“三角誘導(dǎo)公式”課的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)之友，2019（05）：42～44.

[3]閆振仁.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（08）：5～8.

[4]王丹峰.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)探析——以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，33（03）：197～198，203.