吉鑫浩，汪成文,2，陳帥，張震陽

(1.太原理工大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，山西太原，030024；2.浙江大學(xué)流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江杭州，310058)

電液伺服系統(tǒng)具有功重比高的優(yōu)點，能在有限的空間里輸出更大的力或力矩，被廣泛應(yīng)用于挖掘機[1]、隧道掘進機[2]、工業(yè)機器人[3]和電液負載模擬器[4-6]等。然而，在實際應(yīng)用中，電液伺服系統(tǒng)經(jīng)常受到非匹配干擾力如摩擦力、隨機外負載干擾力等的作用，對系統(tǒng)的控制精度有重要影響。因非匹配干擾與系統(tǒng)輸入不在同一個狀態(tài)方程中，通過控制系統(tǒng)輸入無法直接處理非匹配干擾，所以，如何抑制非匹配干擾的問題一直是工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究熱點與難點。目前，一些控制方法已經(jīng)被用于處理非匹配干擾問題。WANG等[6]針對負載模擬器力矩跟蹤系統(tǒng)，通過反步法實現(xiàn)了對系統(tǒng)中非匹配的多余力與摩擦力的補償，有效抑制了非匹配干擾力對系統(tǒng)的影響。石勝利等[7]設(shè)計了一種基于干擾觀測器的反步位置跟蹤控制器，實現(xiàn)了對外部擾動的實時補償，并解決了傳統(tǒng)反步控制中存在的計算膨脹問題。李浩等[8]提出一種反步非奇異快速終端滑?？刂品椒?，即先通過反步法有效抑制了系統(tǒng)中非匹配干擾的影響，在反步法最后一步構(gòu)造快速終端滑模消除匹配干擾力對系統(tǒng)的影響，該方法對匹配與非匹配干擾都具有一定的魯棒性。CHOI[9]使用LMI(linear matrix inequality)方法設(shè)計了線性滑模面，使得滑模對一類特殊的非匹配擾動具有不變性。YANG等[10]設(shè)計了連續(xù)終端滑?？刂破?，并利用有限時間干擾觀測器估計非匹配干擾，實現(xiàn)了估計誤差在有限時間內(nèi)收斂，有效抑制了非匹配干擾。WANG 等[11]利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了對存在未知外部常值干擾和參數(shù)不確定性的系統(tǒng)的漸進跟蹤。鄭劍飛等[12-13]提出一種高階終端滑模控制方法，有效抑制了系統(tǒng)中的匹配與非匹配干擾，并且提高了收斂速度和跟蹤精度，消除了控制“抖振”。CAO等[14]設(shè)計了一種積分滑模，通過高精度的切換增益使系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模，該方法有效地抑制了系統(tǒng)中的非匹配干擾，但易導(dǎo)致滑?？刂浦械摹岸墩瘛眴栴}。蒲明等[15]針對高階非線性系統(tǒng)，利用高階滑模微分器作為間接干擾觀測器，估計系統(tǒng)中的非匹配復(fù)合干擾，然后設(shè)計遞階Terminal滑?？刂破?，理論上能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)跟蹤誤差任意小。GUAN等[16-17]使用自適應(yīng)滑?？刂品椒▽崿F(xiàn)了對閥控系統(tǒng)與泵控系統(tǒng)的控制，即利用反步自適應(yīng)方法處理參數(shù)不確定性，并通過滑?？刂品椒ㄌ幚矸床阶赃m應(yīng)的誤差與外界干擾力，但該控制方法針對的參數(shù)不確定性與外界干擾都是匹配的。反步法是一種常用的非線性設(shè)計方法，其思想是依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計系統(tǒng)各狀態(tài)的虛擬控制器，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制。使用反步法能有效補償系統(tǒng)中的非匹配干擾，但其依賴于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，而滑?？刂茖ο到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型精度不敏感，可完全消除匹配干擾對系統(tǒng)的影響，但難以處理非匹配干擾。針對反步法依賴于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型與滑模控制難以處理非匹配干擾的研究現(xiàn)狀，本文作者提出一種滑模反步控制方法，通過設(shè)計一種新的光滑連續(xù)一階可導(dǎo)的滑模控制律，解決滑模控制方法與反步控制方法之間的設(shè)計沖突，為滑模與反步法的結(jié)合提供理論依據(jù)；然后，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判定方法證明算法的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性；最后，以閥控電液位置伺服系統(tǒng)為研究對象，對算法進行聯(lián)合仿真，驗證控制策略對未知數(shù)學(xué)模型的非匹配干擾與控制輸出“抖振”的抑制效果，并與PID控制器、反步控制器進行比較。

1 系統(tǒng)描述

1.1 閥控電液位置伺服系統(tǒng)組成

閥控電液位置伺服系統(tǒng)構(gòu)成如圖1所示。閥控電液位置伺服系統(tǒng)通過控制伺服閥的閥芯位移來實現(xiàn)對液壓缸活塞位置的控制。

1.2 閥控電液位置伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

對稱液壓缸的動態(tài)可以被描述為

式中：m為負載的質(zhì)量；xp為液壓缸活塞的位移；PL=P1-P2，為負載壓力；P1為液壓缸左腔壓力；P2為液壓缸右腔壓力；A為液壓缸活塞的有效面積；ff為摩擦力；f為隨機外負載力與未建模非匹配干擾力的合力。

流量連續(xù)性方程推導(dǎo)過程基于以下假設(shè)：

1)使用的伺服閥是匹配對稱的理想零開口閥；

2)滑閥與液壓缸的外泄不計；

3)供油壓力恒定；

4)系統(tǒng)的總壓縮容積在系統(tǒng)運行過程中不變。

基于以上假設(shè)可得系統(tǒng)的流量連續(xù)性方程[18]為

圖1 閥控電液位置伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of valve-controlled electrohydraulic position servo system

式中：QL為負載流量；Ct為系統(tǒng)總的內(nèi)泄漏系數(shù)；βe為油液體積彈性模量；Vt為系統(tǒng)的總壓縮容積。

負載流量與閥芯位移之間的關(guān)系[18]為

式中：Cd為伺服閥的流量系數(shù)；ω為伺服閥的面積梯度；xv為閥芯位移；Ps為供油壓力；ρ為油液密度。

因伺服閥的動態(tài)特性參數(shù)值遠高于所研究系統(tǒng)的動態(tài)特性參數(shù)值，所以，伺服閥的動態(tài)被忽略，有

式中：kxv為伺服閥的增益；u為控制輸出。

sgn(x)定義了一個不連續(xù)的符號函數(shù)：

選取活塞位移xp、線速度xp以及負載壓力PL為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即x=[x1，x2，x3]=[xp，xp，PL]。結(jié)合式(1)～(5)可得系統(tǒng)的動態(tài)方程為

式中：F=ff+f，為摩擦力與隨機外負載力、未建模的非匹配干擾力的合力；θ1=4βeA Vt；。

在動態(tài)方程(6)中，F(xiàn)為未知數(shù)學(xué)模型的非匹配干擾，對系統(tǒng)的位置跟蹤精度有重要的影響，本文的目的是給定一個參考的位置軌跡xd，設(shè)計滑模反步控制律去生成一個控制輸出u，有效抑制F對系統(tǒng)的影響，使得系統(tǒng)輸出y=x1以較高的精度跟蹤參考軌跡xd。

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性證明

將滑模控制理論與反步遞推控制器設(shè)計方法相結(jié)合設(shè)計滑模反步控制器，并證明控制算法的穩(wěn)定性以及最大跟蹤誤差的收斂性?？刂破鞯脑O(shè)計過程基于以下假設(shè)：

1)參考位置軌跡3階可導(dǎo)；

2)|F|max有界；

3)參數(shù)βe與Ct在系統(tǒng)運行過程中不變。

在式(6)所示的動態(tài)方程組中，F(xiàn)位于第2個方程式中，為非匹配干擾，通常的做法是采用反步法來補償F的影響，但F的數(shù)學(xué)模型未知，傳統(tǒng)反步法達不到預(yù)期效果。考慮前2個方程式，若將第2 個方程式中的x3看作虛擬控制輸出，則F相對于x3為匹配干擾，因此采用滑?？刂品椒ǖ玫降睦硐離3可完全消除F對系統(tǒng)的影響。x3的虛擬控制器的設(shè)計采用滑模設(shè)計方法，設(shè)計過程如下。

定義xd為參考位置軌跡，定義位置跟蹤誤差e1為

定義滑模函數(shù)S為

式中：λ為正常數(shù)。

S對于時間的導(dǎo)數(shù)為

若將式(9)中的x3看作滑模控制輸出，則等效的負載壓力x3eq可設(shè)計為

由等效負載壓力x3eq可設(shè)計對于x3的虛擬控制量x3d即期望的負載壓力，因后續(xù)設(shè)計要求x3d對時間連續(xù)可導(dǎo)，而傳統(tǒng)的滑?？刂坡梢蚴褂梅柡瘮?shù)，使得x3d在S=0 時對時間的導(dǎo)數(shù)不存在，為保證x3d對時間連續(xù)可導(dǎo)，本文提出一種新的光滑連續(xù)一階可導(dǎo)的滑?？刂坡?。

當|S|≥ξ，x3d被設(shè)計為

當|S|＜ξ，x3d被設(shè)計為

式中：|F|max用于消除摩擦力與隨機外負載力、未建模非匹配干擾力對系統(tǒng)的影響；б為一個大于零的常數(shù)，可適當加快S的收斂速度；ξ為一足夠小的正數(shù)。

式(11)和(12)中，在|S|＜ξ的范圍內(nèi)用光滑連續(xù)的函數(shù)代替符號函數(shù)，既保證滑?？刂坡蓌3d對時間連續(xù)可導(dǎo)，滿足算法推導(dǎo)的條件，同時也使得x3d光滑連續(xù)，抑制了滑模控制的抖動。此外，本文提出的新的滑?？刂坡蛇€有利于算法穩(wěn)定性證明與跟蹤誤差收斂性的定量分析。

由式(11)可得當|S|≥ξ，x3d對時間的導(dǎo)數(shù)為

由式(12)可得當|S|＜ξ，x3d對時間的導(dǎo)數(shù)為

定義x3與x3d之間的誤差e3為

定義李雅普諾夫函數(shù)V1為

則V1對時間的導(dǎo)數(shù)為

剩余的任務(wù)是通過反步設(shè)計方法由x3d推導(dǎo)出真正的控制輸出u，并證明控制算法的穩(wěn)定性。由式(3)與式(4)可知，真正的控制輸出u由負載壓力與負載流量共同決定，所以，首先由x3d推導(dǎo)出期望的負載流量QLd。由式(2)可得：

式中：β=4βeVt。

定義李雅普諾夫函數(shù)V為

當|S|≥ξ，V對時間導(dǎo)數(shù)為

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，令

式中：k為一個正常數(shù)。

則可得期望的負載流量QLd為

然后，由期望的負載流量QLd與負載壓力x3來導(dǎo)出真正的控制輸出u。由式(3)與式(4)可知導(dǎo)出u的主要困難是確定參數(shù)Cd與ω，這些參數(shù)與伺服閥的結(jié)構(gòu)有關(guān)，往往無法獲得精確值。

伺服閥額定流量Qr的計算公式為

式中：umax為伺服閥的最大控制輸入；Δpdrop為伺服閥額定壓降。

由式(3)，(4)和(23)可得控制器實際的控制輸出為

最后，證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性。當|S|≥ξ，期望的負載流量QLd可保證式(25)恒成立，且只在ei(i=1,3)=0 時等號成立，所以系統(tǒng)收斂。

當|S|＜ξ，V對時間導(dǎo)數(shù)為

此時，QLd雖然不能保證式(25)恒成立，但由式(8)可知，其引起的最大位置跟蹤誤差e1( )t為

式中：t0為系統(tǒng)第一次到達|S|=ξ的時刻；τ為積分變量。

因λ＞0，e1(t0)為一有限常數(shù)，則當時間趨于無窮時，可得最大位置跟蹤誤差為

從頻域的角度對誤差的收斂性進行分析，也可以得到相同的結(jié)論，對式(27)作拉氏變換得：

式中：s為拉普拉斯算子；E1(s)為e1(t)的拉氏變換。

由終值定理可得，當時間趨于無窮時系統(tǒng)最大位置跟蹤誤差為

由式(28)與式(30)可知，理論上可通過選擇合適的ξ和λ使得系統(tǒng)最大位置跟蹤誤差任意小。所以，采用本文中的滑模反步控制策略可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性。

綜上，閥控電液位置伺服系統(tǒng)的滑模反步控制器設(shè)計與穩(wěn)定性、跟蹤誤差的收斂的理論證明已經(jīng)完成，控制器計算過程圖如圖2所示。

3 仿真研究

為驗證滑模反步控制器對未知非匹配干擾與控制輸出抖振的抑制效果，對算法進行仿真研究。仿真研究在基于AMESim 和Matlab/Simulink 的聯(lián)合仿真平臺上進行。聯(lián)合仿真模型如圖3所示。閥控電液位置伺服系統(tǒng)模型在AMESim 中搭建，仿真過程中算法在Matlab/Simulink 中計算。仿真模型中考慮了內(nèi)泄、摩擦力、外負載力等對系統(tǒng)的影響，其中摩擦力、外負載力為未知非匹配干擾。

仿真模型的主要參數(shù)如表1所示。仿真的采樣間隔設(shè)置為0.001 s。

所選參考位置信號為：xd=0.05sin(2πt)。外部干擾力信號在0 s 時加入，系統(tǒng)中的摩擦力與所加干擾力在算法設(shè)計過程中作為有界未知干擾力，在0 s所加外部干擾力信號為：x1=2 000sin(2πt)。加入此干擾力是為了驗證控制器對未知非匹配干擾的抑制作用。

PID控制器因結(jié)構(gòu)簡單且具有較強的適應(yīng)性與魯棒性，被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中；反步控制器常被用于處理非匹配干擾。為驗證滑模反步控制器對未知非匹配干擾的抑制效果，將滑模反步控制器與PID控制器、反步控制器進行對比研究?？刂破鲄?shù)選擇3 個控制器各自表現(xiàn)較好的參數(shù)值。其中PID 控制器參數(shù)KP=3 000，KI=1 500，KD=0；反步控制器參數(shù)選擇為k1=200，k2=600，k3=300；滑模反步控制器的參數(shù)選擇為λ=300，ξ=0.3，σ=800，k=350。

圖2 控制器計算過程圖Fig.2 Diagram of controller computing process

圖3 聯(lián)合仿真模型Fig.3 Co-simulation model

表1 仿真模型參數(shù)Table 1 Parameters of simulation model

3個控制器的控制結(jié)果對比與控制輸出對比分別如圖4～6所示。

圖4 不同控制器跟蹤結(jié)果對比圖Fig.4 Comparison of simulation results of different controllers

由圖4和圖5可見：在考慮了摩擦力、外負載干擾力等未知非匹配干擾情況下，在整個控制過程中滑模反步控制器對未知非匹配干擾的抑制效果最好，反步控制器次之，PID控制器最差。由圖6 可見：滑模反步控制輸出穩(wěn)定后不存在抖動現(xiàn)象，這是由于采用本文提出的新的光滑連續(xù)的滑模控制律，可有效地抑制控制輸出的抖動。

圖5 不同控制器跟蹤誤差對比圖Fig.5 Error comparison of different controllers

圖6 不同控制器控制輸出對比圖Fig.6 Contrast of control output of different controllers

為定量分析3個控制器的控制效果以及確保對比環(huán)境的公平性，定義以下3個參數(shù)：

式中：e(i)為第i次采樣時的跟蹤誤差；N為記錄的跟蹤誤差數(shù)據(jù)個數(shù)；u(i)為第i次采樣時的控制輸出值；IAPE為最大的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差絕對值，IAPE越大控制效果越差；IMSE為穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均方值，IMSE越大控制效果越差；IMSC為控制輸出均方值，可以反映控制器輸出信號的強度。

計算得到所定義的各控制器指標如表2所示。

表2 控制器評價指標Table 2 Parameters of controller evaluation

由表2可知滑模反步控制器的IAPE與IMSE明顯比PID 控制器與反步控制器的小，且IMSC為三者之中的最小值，說明在控制器輸出強度較小的情況下，滑模反步控制器的控制效果明顯優(yōu)于PID與反步控制器的控制效果。這是因為PID控制器是利用輸入與輸出的偏差進行控制的，只考慮了系統(tǒng)輸入與輸出對系統(tǒng)的影響，因此，計算的IAPE與IMSE最大，控制效果最差；反步控制器通過設(shè)置虛擬控制器，使得系統(tǒng)的狀態(tài)都達到期望值，考慮了系統(tǒng)中的各個狀態(tài)，因而具有更好的控制效果，但在未知系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的情況下，其控制效果并不理想；滑模反步控制器融合了滑模控制與反步控制的優(yōu)點，在未知系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的情況下，依然具有良好的控制效果。

4 結(jié)論

1)滑模反步控制算法能夠有效抑制系統(tǒng)中的未知非匹配干擾，其控制效果相比PID控制器與反步控制器分別提高了87.7%和66.4%。

2)本文提出的新的光滑連續(xù)滑?？刂坡刹粌H為滑?？刂婆c反步法的結(jié)合提供理論依據(jù)，而且也有效地抑制了滑?？刂浦写嬖诘妮敵龆墩駟栴}。

3)通過Lyapunov 理論證明了該算法的穩(wěn)定性與跟蹤誤差的收斂性。理論上，該算法能夠?qū)崿F(xiàn)跟蹤誤差任意小。