葛 靜

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

0 引言

瘧疾是經(jīng)受感染的雌性按蚊叮咬或輸入帶瘧原蟲者的血液而感染瘧原蟲所引起在人群中傳播的蟲媒傳染病。雌性按蚊為了產(chǎn)卵的需要，它需要通過(guò)叮咬人類獲得血液.在獲得血的過(guò)程中，雌性按蚊可能獲得從感染人類向蚊子傳遞的寄生蟲，或者獲得從蚊子向易感的或者已經(jīng)感染的人群傳遞的寄生蟲.所以，瘧原蟲的寄生蟲有一個(gè)復(fù)雜的傳播過(guò)程，涉及到人和蚊子，是一種媒介傳染病.根據(jù)《 2018年世界瘧疾報(bào)告》，自2001年以來(lái)，大規(guī)模的瘧疾干預(yù)措施已幫助挽救了約700萬(wàn)人的生命。但是，估計(jì)仍有32億人處于危險(xiǎn)之中，僅2018年，全世界估計(jì)發(fā)生了2.28億瘧疾病例，有405 000人死亡，其中大多數(shù)是撒哈拉以南非洲5歲以下的兒童死亡。因此有必要采取有效的防控措施抑制瘧疾的流行，使得疾病的危害和損失降到最低.數(shù)學(xué)上對(duì)傳染病的研究主要通過(guò)建立反映傳染病動(dòng)力學(xué)特征的模型，并對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)進(jìn)行定性、定量分析來(lái)揭示疾病的發(fā)展過(guò)程、流行規(guī)律，從而預(yù)測(cè)其發(fā)展流行趨勢(shì)，尋求預(yù)防和控制的最優(yōu)策略.

最早用來(lái)進(jìn)行瘧疾研究的數(shù)學(xué)模型是Ross-MacDonald數(shù)學(xué)模型僅僅包含感染宿主人群和感染媒介蚊子之間的相互影響[1-4].近些年，在Ross-MacDonald的工作基礎(chǔ)上，越來(lái)越多的科研工作者考慮了不同的因素，構(gòu)建了多種形式的瘧疾模型,從不同角度探討疾病的動(dòng)力學(xué)性態(tài)[5-8].

在文[9]中，作者探討蚊帳和噴灑農(nóng)藥對(duì)瘧疾傳播的影響，研究了如下的瘧疾模型:

(1)

其中在t時(shí)刻處的人總量為Nh(t)，即Nh(t)=Sh(t)+Ih(t)+Rh(t).同樣，在t時(shí)刻處蚊子總量為Nm(t)，其被分為易感蚊子類Sm(t)和感染蚊子類Im(t)，即Nm(t)=Sm(t)+Im(t).模型(1)以及下文中所涉及的變量和系數(shù)的解釋參見表1.

表1 數(shù)學(xué)模型中變量和系數(shù)的生物學(xué)定義

1 模型的建立

本文忽略外在防蚊工具和藥物的影響，主要考慮垂直傳播的影響，研究如下瘧疾傳播系統(tǒng):

(2)

其中q表示病毒在蚊子中的垂直傳播率，rm表示成熟蚊子的再生率，先進(jìn)行無(wú)量綱化,設(shè)

假設(shè)成熟蚊子的再生率和新增率相同，即rm=λm.易知閉集:

D={(sh,ih,rh,sm,im)∈R5:0sh,ih,rh,sv,iv1,sh+ih+rh=1,sm+im=1},

是問(wèn)題(2)的正不變集.注意到sh+ih+rh=1，sv+iv=1，則模型(2)可以簡(jiǎn)化成如下形式:

(3)

其中α=bmαhm,γ=bmαmh.

利用下一代矩陣的方法[10]，可以計(jì)算出模型(3)的基本再生數(shù)R0為:

注：從基本再生數(shù)R0的表達(dá)式可知垂直傳播率越高，R0就越大，疾病傳播的風(fēng)險(xiǎn)越高.

2 穩(wěn)定性分析

易知系統(tǒng)(3)有無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)，先討論無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)是局部穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)是不穩(wěn)定的.

證明在E0=(1,0,0)處對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行線性化得相應(yīng)的線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為:

其相應(yīng)的特征方程為:

所以兩個(gè)特征根的實(shí)部Re(λ)<0，故由Routh-Hurwitz法則可知：當(dāng)R0<1時(shí)系統(tǒng)(3)在E0處是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的[11].

(4)

(5)

當(dāng)ε充分小時(shí)，為使式(5)成立，只要下式成立，

(6)

整理得:

(7)

K1=λh+2βh+γ，K2=γ+λh+αh，K3=α+λm(1-q)，

再以

作為初始值，通過(guò)以下迭代過(guò)程

再由單調(diào)有界定理得極限

存在，且滿足

(8)

因此由單調(diào)迭代動(dòng)力系統(tǒng)理論[12]可知，對(duì)于任意給定的初值(sh(0),ih(0),im(0))，如果(0，0，0)≤(sh(0),ih(0),im(0))≤(1,1,1)，則系統(tǒng)(3)的解(sh(t),ih(t),im(t))滿足

3 結(jié)論

通過(guò)建立一種具垂直傳播的瘧疾模型并進(jìn)行理論分析，得到如下結(jié)論：當(dāng)垂直傳播率足夠高使得基本再生數(shù)大于1時(shí)，瘧疾病毒仍將持續(xù)蔓延，導(dǎo)致地方病的出現(xiàn)；當(dāng)垂直傳播率較小且基本再生數(shù)小于1時(shí)，瘧疾病毒將逐漸消失，疾病得以控制.為此一些國(guó)家和地區(qū)(例如廣州)目前采取的方法是釋放攜帶沃爾巴克體的雄蚊，讓白紋伊蚊“絕育”，達(dá)到減少垂直傳播的概率，有利于降低瘧疾傳播的基本再生數(shù)，從而達(dá)到控制瘧疾病毒蔓延的目的.