馮小庭，王航，史駿

(西安鐵路職業(yè)技術學院，陜西 西安 710026)

0 引言

在復雜物理場中的薄板振動分析可以指導很多實際問題。例如在熱場、流場中做旋轉(zhuǎn)運動的透平機械，其葉輪的振動可以簡化為旋轉(zhuǎn)運動薄板的振動。有大量的文獻涉及導電物體的磁彈性振動分析，其中不乏作軸向運動薄板的磁彈性振動研究，亦有大量的學者研究了作旋轉(zhuǎn)運動梁、板的振動分析。文獻[1-9]分別對非線性振動特性、動力失穩(wěn)特性、振動位移響板臨界失穩(wěn)荷載的影響做了深入研究，柔性薄板在磁場中的磁彈性振動分析已有豐富資料。作揮舞旋轉(zhuǎn)運動的導電薄板的磁彈性分析尚不多見。導電材質(zhì)的磁彈性分析有著現(xiàn)實的意義。

本文基于薄板理論，建立了旋轉(zhuǎn)柔性薄板在橫向磁場環(huán)境下的振動運動方程。應用Maxwell電磁定律得出導電薄板的電磁本構(gòu)關系，使用Hamilton原理推導出在磁場中旋轉(zhuǎn)運動薄板的動力學方程，并使用Galerkin法對方程進行離散，進一步研究揮舞旋轉(zhuǎn)運動和磁場協(xié)同作用下薄板振動的特性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 系統(tǒng)動能和勢能

導電薄板在磁場中做旋轉(zhuǎn)運動的模型，如圖1所示。其中，慣性坐標系Oxyz，中心剛體的附體坐標系為O1x1y1z1，柔性薄板的附體坐標系為O2x2y2z2。x2軸、y2軸分別沿薄板的長、寬方向。中心剛體的半徑為R，繞y1軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，板長為a，寬度為b，板厚為h。彈性模量為E，泊松比為μ，密度為ρ。薄板繞剛體中心軸線做旋轉(zhuǎn)運動的角位移是θ。建立動力學方程時不計重力。

圖1 系統(tǒng)模型示意圖

薄板上任意一點P0(x,0,0)變形后的位置是P，其在浮動坐標系O2x2y2z2下的變形矢量為u=[u,v,w]T。在附體坐標系O2x2y2z2下的矢徑為P點，在附體坐標系O1x1y1z1下的矢徑為

r=(R+x+u)i+(y+v)j+(w)k

(1)

P點在慣性坐標系Oxyz下的矢徑為

(2)

r關于時間求導，得P點的速度矢量

(3)

則系統(tǒng)的動能為

(4)

根據(jù)薄板理論，薄板橫向變形引起軸向的縮短，得：

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(5)

計算系統(tǒng)勢能時，忽略面內(nèi)拉伸引起的變形以及中面變形，故系統(tǒng)勢能僅是彎曲變形的應變能，即：

(6)

1.2 電磁力和電磁力矩

薄板內(nèi)部的介質(zhì)滿足Maxwell電磁本構(gòu)關系：

D=ε0E；B=μ0H；J=σ(E+V×B)；f=J×B

(7)

其中:V是旋轉(zhuǎn)運動薄板各點的速度矢量;磁感應矢量為B(Bx,By,Bz)；電位移矢量為D(Ex,Ey,Ez)；電場強度矢量為E(Ex,Ey,Ez)；磁場強度矢量為H(Hx,Hy,Hz)；電流密度矢量為J(Jx,Jy,Jz)；ε0為真空介電常數(shù)；μ0為真空磁導率；σ為電導率；忽略擾動電場e。

設導電薄板在橫向磁場中運動，即磁感應強度矢量為B(0,0,Bz)。此時單位面積所受電磁力和電磁力矩：

(8)

外力虛功為：

(9)

1.3 動力學方程

將式(4)、式(6)、式(9)代入式(10)。根據(jù)Hamilton變分原理

(10)

其中t0、t1為任意兩個固定時刻。

(11)

2 振動分析

采用Galerkin法離散，設橫向振動的解為

(12)

將式(12)帶入變分方程式(11)中，由于廣義坐標是相互獨立的，故δqij的系數(shù)項分別為0。則振動方程整理為

(13)

其中廣義坐標向量為：Q={q11,q12,…,q1N,…,qM1,qM2,…,qMN}T。將系統(tǒng)的振動方程整理為

(14)

其中：廣義質(zhì)量矩陣

廣義坐標一次導的系數(shù)矩陣

坐標的一次項系數(shù)矩陣

廣義坐標的零次項系數(shù)矩陣

3 數(shù)值計算

磁感應強度為Bz=0.1T，薄板揮舞運動角速度Ω=10rad·s-1，時長為2s，薄板長為2m，寬2m，厚0.1m，中心剛體的半徑R=0.2m，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，密度為7800kg·m-3，M=5,N=5。中心剛體運動角速度為

(15)

式中:Ω為穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)角速度；T是旋轉(zhuǎn)加速運動的時間，取為2s。

圖2是在磁場中作揮舞運動的薄板不同階振動模態(tài)。其中，圖2(a)是m=1,n=1階振動模態(tài)，相比于其他階振動模態(tài)，其橫向位移比較大，這說明(1,1)階振動是實際振動的主要成分。

圖2 1 s時振動模態(tài)

圖3所示是不同時刻的橫向變形位移圖，可知作揮舞運動薄板在遠離旋轉(zhuǎn)中心的邊緣處變形量最大，需要關注邊緣處的疲勞強度。

當薄板繞y軸揮舞運動的角速度幅值不變且為20rad/s時，橫向磁感應強度的取值依次為[0 T,0.1 T,0.2 T,0.3 T,0.4 T]時，x=a時的最大變形如圖4所示。可知，發(fā)生最大變形時，邊緣的變形曲線都是關于中心對稱的，最大變形發(fā)生在坐標為(2,0)、(2,2)的角點處。不同的磁感應強度所對應的最大變形位移為[1.69×10-10,4.29×10-9,1.72×10-8,3.86×10-8,6.87×10-8]，單位為m。可知沒有橫行磁場時，變形量最小。隨著磁感應強度增大，薄板的振動幅值變大。

圖3 不同時刻的橫向變形位移

圖4 x=a處的變形曲線(變形最大的時候)

當橫向磁感應強度為定值0.1T時，薄板繞y軸揮舞運動的角速度幅值變化值取為[0,10,20,30,50]，單位為rad·s-1，不同的磁感應強度所對應的最大變形位移為[0,4.29×10-9,1.29×10-8,2.15×10-8]，單位是m?？芍恍D(zhuǎn)時，薄板沒有變形。隨著角速度增大，薄板的振動幅值變大(圖5)。

圖5 轉(zhuǎn)速和最大變形量的關系

薄板的長寬之比變化時，角速度幅值為10rad/s時，橫向磁感應強度取值0.1T，長寬比，即b/a=[0.1,0.2,0.5,0.7,1.0]。其最大變形如圖6所示。不同的長寬比所對應的最大變形位移為[3.28×10-13,5.28×10-12,2.18×10-10,8.95×10-10,4.29×10-9]，單位是m。可知，隨著長寬比增大，薄板的最大振動幅值變大。

圖6 板長和最大變形量的關系

4 結(jié)語

利用Hamilton變分原理，建立了在磁場中運動的薄板系統(tǒng)動力學方程。研究了該系統(tǒng)的振動特性。經(jīng)過分析，得出如下結(jié)論:1) 推導了橫向磁場中旋轉(zhuǎn)運動薄板的非線性磁彈性振動方程。2) 薄板的振動以1階振動為主。3) 薄板的振動幅值隨著外界橫向磁感應強度的增大而增大，隨著旋轉(zhuǎn)運動角速度的增大而增大，隨著長寬比的增大而增大。4) 本文建立動力學方程的過程，可應用于其他在磁場中作旋轉(zhuǎn)運動的厚板、層合板等。