王麗，蔡鎖寧

(1. 陜西工業(yè)職業(yè)技術學院,陜西 咸陽 712000； 2. 陜汽集團商用車有限公司，陜西 寶雞 722405)

0 引言

四元數(shù)代數(shù)理論是表示有限轉動的最簡明方法，因而四元數(shù)在剛體定點轉動和球面機構的運動學、動力學及其控制問題的研究中得到了廣泛的應用。KIUMARSI B[1]針對存在輸入約束的確定性非線性離散時間跟蹤控制問題，提出了一種部分無模型自適應最優(yōu)控制方法。XIAO G[2]構造了由誤差系統(tǒng)動力學和期望軌跡動力學組成的增廣系統(tǒng),研究了一類完全未知動態(tài)仿射非線性連續(xù)時間系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤控制問題。KONG Xianwen[3]以四元數(shù)代數(shù)和幾何分析方法給出了歐拉參數(shù)表示的并聯(lián)機構運動學方程及可操作模式。趙金剛[4]針對運動規(guī)劃的非完整性問題，引入效用函數(shù),實現(xiàn)了非完整運動規(guī)劃的最優(yōu)控制。彭海軍[5]利用多體動力學建立系統(tǒng)的動力學方程，通過引入對目標軌跡跟蹤及瞬時最優(yōu)性能指標，獲得最優(yōu)控制量。屈秋霞[6]針對非線性連續(xù)系統(tǒng)難以跟蹤時變軌跡的問題,通過系統(tǒng)變換將其轉化為非線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。賈意弦[7]采用四元數(shù)描述剛體姿態(tài)運動，避免了歐拉角存在的奇異性。史革盟[8]用四元數(shù)表示構件的有限轉動，得到四元數(shù)形式的運動方程。李保坤[9]以單位四元數(shù)描述剛體的姿態(tài),導出Stewart機構處于給定位置時的姿態(tài)奇異表達式。程世利[10]采用四元數(shù)表示旋轉變換，得到并聯(lián)機構四元數(shù)形式的基本方程和奇異方程。本文將四元數(shù)代數(shù)理論用于剛體的姿態(tài)定位控制，通過不動點穩(wěn)定性分析得到解軌線在狀態(tài)空間的變化趨勢及收斂域，建立大范圍漸近穩(wěn)定控制的條件，從微分幾何的角度，分析剛體定位過程解軌線的幾何約束，構造最短路徑控制的目標泛函，實現(xiàn)了剛體的快速定位。

1 剛體有限轉動運動學方程

根據剛體無限小旋轉變換[11]，得式(1):

(1)

式中：ξ為四元數(shù)Λ矢量方向的單位矢量；Δθ、ω分別為剛體的無限小轉角和角速度。

由上式可得剛體有限轉動運動方程：

(2)

按四元數(shù)乘積展開上式，得到四元數(shù)分量形式的一階線性微分方程組：

(3)

2 空間定位問題的運動學穩(wěn)定控制

2.1 運動學漸近穩(wěn)定控制的條件

空間定位問題就是改變剛體的角速度ωE，使得與其固連的坐標系E與參考坐標系I方向一致。

(4)

為了滿足式(4)給出的快速定位條件，就要求式(3)中的后3個關于λi(i=1,2,3)的微分方程具有李雅普諾夫意義下全局漸近穩(wěn)定的動態(tài)特性。取李雅普諾夫函數(shù)

對時間t求導，并代入式(3)中的關系

(5)

ωi=-kiλ0λii=1,2,3

(6)

式中ki為角速度修正系數(shù)。當ki>0時，

(7)

符合全局漸近穩(wěn)定條件，式(3)后3個狀態(tài)方程能從任意初始狀態(tài)收斂到原點。

2.2 狀態(tài)空間不動點穩(wěn)定性分析

將式(6)代入式(3)可得狀態(tài)方程：

(8)

根據非線性微分方程理論，狀態(tài)方程解分量λi(t),(i=0,1,2,3)都是時間的單調增函數(shù)或單調減函數(shù)，由于四元數(shù)Λ范數(shù)恒等于1，其分量函數(shù)λi(t)為有界函數(shù)，|λi(t)|≤1，因而從任意初始狀態(tài)出發(fā)的解軌線都將趨近并終止于某個不動點。

1)ki>0,?i=1,2,3

(9)

狀態(tài)方程的解軌線都將趨近并穩(wěn)定到第2類不動點[1,0,0,0]T或[-1,0,0,0]T。

2)ki<0,?i=1,2,3

(10)

狀態(tài)方程的解軌線都將趨近并穩(wěn)定到第1類不動點[0,λ1,λ2,λ3]T。

3 剛體定位問題最短路徑控制

在如上漸進控制中，收斂速度取決于修正系數(shù)ki的取值大小，這會導致定位過程僅是一種可達路徑并非最短路徑。將狀態(tài)方程的解軌線看作狀態(tài)空間的參數(shù)曲線

r(t)=[λ0(t),λ3(t),λ3(t),λ3(t)]T

(11)

(12)

定位軌線最短路徑即是沿超球面上過這兩點所在的大圓的劣弧到達目標點M。超球面上各點向徑具有固定長度:

解軌線切向量始終與向徑正交。將式(3)的定位過程解軌線弧長取為性能指標泛函

(13)

式中t0、tf分別為初始和末態(tài)時刻。末態(tài)時刻tf不確定，末態(tài)固定λ(tf)=[1,0,0,0]T；L為拉格朗日函數(shù)。

引入狀態(tài)約束的拉格朗日乘子η(t)，將被控系統(tǒng)狀態(tài)方程式(3)和性能指標泛函結合成輔助泛函

式中H為哈密頓標量函數(shù)。

H[λ(t),ω(t),ηT(t),t]=L[λ(t),ω(t),t]+ηT(t)f[λ,ω，t]

將J對所有變量tf、λ、ω、η進行變分：

δJ={H[λ(t),ω(t),ηT(t),t]}t=ffδtf+

根據泛函極值的必要條件δJ=0可得:

1) 規(guī)范方程及邊界條件

(14)

(15)

(16)

2) 極值條件

(17)

從中求得控制量

ω(t)=-|ω(t)|FTη(t)

(18)

代入規(guī)范方程式(14)和式(15)得最短路徑控制的狀態(tài)方程:

(19)

(20)

定位過程的弧長只與解軌線的路徑有關，因而角速度|ω(t)|可以取任意正實數(shù)。

4 應用實例

假設初始時刻與剛體固連的動坐標系對參考坐標系的偏差四元數(shù)

Λ(t0)=[0.36,-0.30,0.48,-0.73]T

取角速度修正系數(shù)k1=4.0,k2=6.0,k3=8.0，求解剛體運動微分方程式(8)，得到偏差四元數(shù)的解軌線變化趨勢，如圖1所示。

圖1 偏差四元數(shù)的解軌跡

偏差四元數(shù)的分量以近似于指數(shù)函數(shù)的速度趨近目標值，在控制作用2s后，偏差縮小到10-6的范圍之內。為了驗證不動點的穩(wěn)定性，取狀態(tài)空間某個半徑0<|r(t)|<1超球面上的點作為初始偏差，求解剛體狀態(tài)空間方程式(8)的解軌線，給出了解軌線在λ0-λ1平面上的投影。當ki>0,?i=1,2,3，對于所有初始偏差λ0<0解軌線都趨近并穩(wěn)定到第2類不動點[-1,0,0,0]T，對于所有λ0>0解軌線都趨近并穩(wěn)定到第2類不動點[1,0,0,0]T，它們是穩(wěn)定的不動點，如圖2所示。當ki<0, ?i=1,2,3，所有解軌線都趨近并穩(wěn)定到第1類不動點[0,λ1,λ2,λ3]T，如圖3所示。

圖2 狀態(tài)空間穩(wěn)定的第2類不動點

圖3 狀態(tài)空間穩(wěn)定的第1類不動點

對剛體按式(19)和式(20)的規(guī)范方程及其邊界條件式(16)進行最優(yōu)控制，得到偏差四元數(shù)的解軌線，如圖4所示。

圖4 最優(yōu)控制下偏差四元數(shù)的解軌線

5 結語

1) 利用四元數(shù)分量表示純轉動剛體定位偏差，并作為被控制量實現(xiàn)對剛體有限轉動進行大范圍漸進穩(wěn)定的控制。

2) 對狀態(tài)方程不動點的穩(wěn)定性分析，得到剛體定位過程中狀態(tài)方程的解軌線在不動點鄰域的變化趨勢，導出剛體趨近并定位到目標姿態(tài)的收斂條件。結果表明，定位過程被控制量以指數(shù)函數(shù)的速度趨近目標值。

3) 結合剛體定位和姿態(tài)控制問題的一般特點，從微分幾何的角度，分析了定位過程解軌線滿足的幾何約束，構造出量化最短路徑控制的目標泛函，導出最優(yōu)控制應該滿足的狀態(tài)方程、邊界條件和極值條件，進而將剛體定位最優(yōu)控制問題處理為一階非線性微分方程的兩點邊值問題。