陳秀華

（大田縣教師進修學校，福建 大田 366100）

建立數(shù)學模型是指學生能夠從現(xiàn)實生活情境中抽象出數(shù)學的問題（發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學問題）；經歷猜測、驗證，用數(shù)學符號表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系、圖形關系或變化規(guī)律，從而求出結果（分析、解決數(shù)學問題）；再將結果遷移運用到新的實際問題中解決相類似的問題的過程。學生在建立數(shù)學模型，求解運用數(shù)學模型的過程中，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力以及分析和解決問題的能力得到良好的培養(yǎng)；能更透徹地理解數(shù)學知識，更準確地把握數(shù)學知識本質，從中體會到數(shù)學學習的思維方式，感悟數(shù)學思想方法，促進數(shù)學思維能力的提升。［1］建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模能力培育的過程。那么，怎樣在小學數(shù)學課堂教學中培育數(shù)學建模能力呢？

一、鋪墊模型：將生活問題轉化成數(shù)學問題

一切數(shù)學的概念、原理、規(guī)律、定律都能夠在生活中找到原型。生活原型是建構數(shù)學模型的源頭活水。在教學過程中，適當?shù)匾牒线m的生活事例，可以讓學生體驗到數(shù)學問題起源于真實世界，而不是來源于課本；可以有效地消除學生對學習抽象性極強的數(shù)學知識產生的恐懼。［2］因此，教師應根據(jù)數(shù)學知識結構特點精心地選用現(xiàn)實情境，結合學生的認知結構特點，找準學生的認知最近發(fā)展區(qū)，將數(shù)學問題巧妙地蘊藏在創(chuàng)設的現(xiàn)實情境中，引導學生在現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，將生活問題轉化成數(shù)學問題，引發(fā)學生進一步思考。

如“植樹問題”一課，教師首先出示一組圖片（如圖1），請學生看圖，并說一說“有幾枚釘子幾幅畫”。

圖1

學生發(fā)現(xiàn)了顯而易見的規(guī)律：有3 枚釘子3 幅畫。引發(fā)學生進一步思考：幾枚釘子10 幅畫？30 枚釘子幾幅畫？釘子和畫之間有什么關系？總結出釘子的枚數(shù)和畫的張數(shù)一樣多的規(guī)律。

接著，教師出示第二組圖片（如圖2），請學生看圖，并說一說發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？想提什么數(shù)學問題？

圖2

學生通過仔細觀察，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：2 枚釘子1 幅畫，3 枚釘子2 幅畫，4 枚釘子3 幅畫。提出問題：幾枚釘子8 幅畫？15 枚釘子幾幅圖？100 枚釘子幾幅圖？引導學生進一步思考：釘子和畫之間有什么關系？最后總結出釘子的枚數(shù)總是比畫的張數(shù)多1 的規(guī)律。

創(chuàng)設這樣的現(xiàn)實情境，符合學生的認知起點，因此能夠激活學生“植樹問題”的生活經驗，并從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，激發(fā)學生的數(shù)學思考。生活中，用釘子固定畫時，有時釘子和畫的數(shù)量相同，有時釘子和畫的數(shù)量不同。從而提出問題：釘子的數(shù)量和畫的數(shù)量之間有什么關系呢？激發(fā)學生進一步探究的意愿，同時讓學生體會到要探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，需要仔細觀察、認真思考、深入分析，才能解決問題。

二、建構模型：經歷數(shù)學建模的全過程

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》在第一、二學段的“學段目標”中對“建立數(shù)學模型”的教學目標定位于“在教學中初步、適當?shù)貪B透模型思想”。因此，在教學中應根據(jù)小學階段數(shù)學知識的特點和學生的認知水平，選擇合適的建模點，借助典型的例子，引導學生充分經歷從“境”到“?！钡某橄筮^程，大力培養(yǎng)學生“提出猜想——驗證猜想”的科學精神，［3］在運用模型解決相關問題的過程中，體會數(shù)學模型的價值，感受數(shù)學模型的魅力，提升數(shù)學建模的能力。

數(shù)學建模過程大致要經歷以下幾個步驟：創(chuàng)設情境，提出問題——提出猜想，驗證猜想——應用模型，解決問題。如“乘法分配律”的教學。首先教師出示三個問題（如圖3）。讓學生認真讀題，審清題意，獨立解決問題。然后提出新的問題：每個問題能用幾種方法解決？不同方法之間有什么關系？

圖3

在學生獨立解決問題、自主比較異同的基礎上，小組討論、全班交流。解決第一個問題有兩種方法：方法一，（78＋56）×50=134×50=6700（元）；方法二，78×50＋56×50=3900＋2800=6700（元）。解決第二個問題的兩種方法是：方法一，（12＋18）×20=30×20=600（平方米）；方法二，12×20＋18×20=240＋360=600（平方米）。第三個問題的兩種解決方法是：方法一，（4＋3）×6=7×6=42（個）；方法二，4×6＋3×6=24＋18=42（個）。學生通過結合具體情境交流討論、分析比較，總結出三個問題解決的思路一樣，都有兩種解決問題的方法，分別是先算和再算積或者是先算積再算和。進一步分析理解三個問題都可以用這樣的兩種方法計算的原因是其中包含有相同的因數(shù)。用兩種方法解決了同一個問題，因此得到了三組等式：（78＋56）×50=78×50＋56×50，（12＋18）×20=12×20＋18×20，（4＋3）×6=4×6＋3×6。讓學生觀察這三組等式，理解等式的含義，提出猜想：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把這兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加。

學生舉例驗證猜想。先寫出等式，再說明等式成立的理由。交流學生的驗證方法，出現(xiàn)五種典型方法。有的學生從等式意義角度說明等式成立的理由，比如：（14＋16）×25=14×25＋16×25，左邊表示30個25，右邊表示14 個25 加上16 個25 也是30 個25，所以兩邊相等，等式成立。有的學生用等式編一個數(shù)學小故事說明等式成立的理由，比如：水果店運來14 箱蘋果和16 箱梨，每箱重25 千克。這些水果一共重多少千克？（○+△）×□=○×□+△×□這是用簡單的圖形符號表示。有的用畫圖的方法表示。有的用字母式表示：（a+b）×c=a×c+b×c。教師有層次地呈現(xiàn)這些典型方法，讓學生在交流中尋找與自己相似的方法，在積極地討論中，不斷自我否定、自我補充完善，從而抽象出乘法分配律的數(shù)學模型。最后，引導學生應用乘法分配律模型解決一些生活中的實際問題，體會數(shù)學模型的價值。整個過程，學生經歷了建立數(shù)學模型的過程，培養(yǎng)了數(shù)學建模能力。

三、遷移模型：應用數(shù)學模型解決實際問題

數(shù)學建模的本質包括建立模型和求解模型。建立模型是指從現(xiàn)實情境或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學形式符號建立數(shù)學模型，這個過程是現(xiàn)實情境數(shù)學化的過程。求解模型是應用數(shù)學模型解決問題的過程，學生在應用所建立的模型解決實際問題的過程中，能感受到數(shù)學模型的價值，激發(fā)建立數(shù)學模型的興趣，樹立建立數(shù)學模型的信心，發(fā)展數(shù)學建模能力。

四年級學生在學習完“線段、射線、直線”之后，研究了數(shù)線段的數(shù)學問題。如：在數(shù)圖4 中有幾條線段時，先數(shù)基本線段有3 條，再數(shù)由相鄰兩條線段組成的比較長的線段有2 條，最后數(shù)由三條基本線段組成的最長的線段有1 條，1+2+3=6（條），所以一共有6條線段。再要求學生數(shù)一數(shù)圖5 中有幾個角，圖6 中有幾個三角形。發(fā)現(xiàn)數(shù)角和數(shù)三角形的方法和數(shù)線段一樣。認識到數(shù)角、數(shù)三角形和數(shù)線段是具有相同結構的數(shù)學問題，都是屬于數(shù)線段模型。然后設計應用練習：5 個參加講故事比賽的同學站成一排，每個人要握一次手，一共需要握幾次？研究這個問題時要畫圖，把5 個同學看成線段上的5 個端點，一共需要握1+2+3+4=10（次）。有6 支足球隊，要進行單循環(huán)比賽，一共要賽幾場？要把6 支足球隊看成線段上的6 個端點，一共需要賽1+2+3+4+5=15（場）。

圖4

圖5

圖6

比如：學習完“植樹問題”可以設計這樣的變式練習：（1）在全長900 米的馬路兩邊裝路燈，每隔30米裝一盞，一共要裝多少盞？這道題的變式屬于條件性擴展。沒有明確指出實際裝路燈的情況（兩端都裝，兩端都不裝，還是只裝一端），因此學生需要進行分類思考，根據(jù)自己所假設的裝燈情況進行解答，還要注意“路的兩邊”這個擴展性條件不能忽視。（2）爺爺上樓，從一層到二層用了2 分鐘，照這樣計算，爺爺從一層回到五層樓的家要用幾分鐘？這道題的變式屬于可逆性變換。解答這道題首先應找到對應關系，即爺爺從一層回到五層樓所用時間相當于路長（這是需要求的問題），走一層樓所用的時間是間隔，要走幾層樓梯是段數(shù)。這道題用來讓學生深入辨別“植樹問題”，其中的對應關系不容易找到，因此要引導學生用畫圖的方法直觀地表示出題意，從而找到對應關系，然后再用植樹問題的模型解決問題，感受數(shù)學模型的價值。

四、結語

數(shù)學建模能力的培育需要一個長期的循環(huán)往復的過程，并非一蹴而就。在教學中，要堅持引導學生經歷從現(xiàn)實問題情境或具體生活實例中抽象出數(shù)學問題，提出自己的猜想，調用自己的知識經驗去驗證猜想，用數(shù)學語言表達數(shù)量關系和變化規(guī)律，形成數(shù)學模型，然后解構數(shù)學模型的過程。學生只有經歷了模型建構和解構的過程，數(shù)學建模能力才能得到有效發(fā)展。教材中關于數(shù)學模型建構的內容很豐富，如：單價×數(shù)量=總價的價格模型、速度×時間=路程的路程模型、雞兔同籠問題模型、相遇問題模型，還有一些運算定律和基本的數(shù)量關系模型等等。教學時，要做到深入挖掘，適時滲透，讓學生感覺到數(shù)學模型無處不在；要從低年級開始逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學模型意識，實現(xiàn)前鋪墊，后照應，引導學生逐漸體會研究模型、建立模型、應用模型是數(shù)學學習的本質，逐步培育學生的數(shù)學建模能力，提升學生的數(shù)學思考力，發(fā)展學生的理性精神。