大尺度濕大氣原始方程組對黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性

2020-07-17 14:27李遠飛

吉林大學學報（理學版） 2020年4期

李遠飛

(廣東財經(jīng)大學華商學院數(shù)據(jù)科學學院, 廣州 511300)

為建立以數(shù)學物理方法為基礎的數(shù)值天氣預報, 文獻[1]引入了大氣原始方程組和海洋原始方程組, 其模型包括帶科氏力的流體力學方程組、熱動力學方程和狀態(tài)方程等. 由于該方程組較復雜, 因此人們對其進行了簡化. 例如： Lions等[2]通過引入黏性參數(shù), 重新建立了干大氣原始方程模型; 文獻[3-4]建立了海洋原始方程組; 文獻[5]引入了耦合大氣-海洋模型. 在利用大氣、海洋原始方程組研究數(shù)值天氣預報時, 首先需考慮這些方程組是否具有適定性[6-15]. 例如, Guo等[6-7]利用精細的能量估計得到了干大氣原始方程組光滑解的整體存在性以及濕大氣原始方程組的整體適定性[8].

目前, 關于原始方程組的穩(wěn)定性研究也得到關注：文獻[16]考慮了柱形區(qū)域上帶振蕩隨機力的大尺度海洋三維原始方程組的連續(xù)依賴性, 證明了解對黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性；文獻[17]利用方程微分不等式技巧和能量估計的方法, 證明了大尺度海洋大氣動力學三維黏性原始方程的解連續(xù)依賴于邊界參數(shù). 基于此, 本文在模型中考慮水汽比的影響, 這種類型的方程稱為濕大氣原始方程組. 本文討論這類方程組的解對黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性, 通過解的先驗估計和能量估計得到主要結(jié)果.

1 預備知識

本文約定：M表示平面區(qū)域2上的一個有界光滑區(qū)域；Ω=M×(0,1)表示3的一個帶狀區(qū)域；Γ0∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=0};Γ1∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=1};Γs∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈?M, 0≤x3≤1};n表示Γs上的外單位法向量；表示Γs上的外單位法向?qū)?shù)；表示對z的偏導數(shù);此外, 本文還約定求導表示為

考慮定義在Ω×(0,∞)上的濕大氣原始方程組

其中:v=(v1,v2)表示水平速度場;w表示垂直速度;T表示溫度;q表示空氣中的水汽比;Φ表示壓力;μ1和μ2分別表示水平方向和垂直方向的黏性系數(shù);κ1和κ2分別表示水平方向和垂直方向的熱擴散系數(shù);ν1和ν2分別表示水平方向和垂直方向的水汽擴散系數(shù);Q1和Q2是已知函數(shù), 分別表示熱源和水汽源. 方程組(1)-(5)在Ω的邊界上滿足:

其中A,B是大于零的常數(shù). 此外, 方程組(1)-(5)有下列初始條件:

v(x,0)=v0(x),T(x,0)=T0(x),q(x,0)=q0(x), 在Ω×{0}上,

(9)

其中v0(x),T0(x),q0(x)是非負的連續(xù)函數(shù).

由方程(3), 可得