賈 凱 軍

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

周期邊值問題是常微分方程的經(jīng)典問題之一, 關(guān)于其正解的存在性研究已引起廣泛關(guān)注. 近年來, 運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理、 不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和臨界點(diǎn)理論等工具研究二階微分方程周期邊值問題, 已獲得了很多結(jié)果[1-11]. 特別地, Graef等[5]用Krasnoselskii’s不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了二階周期邊值問題:

(1)

文獻(xiàn)[5]在勢(shì)函數(shù)為常函數(shù)的情形下, 用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了問題(1)正解的存在性結(jié)果, 但未得到關(guān)于其正解集全局結(jié)構(gòu)的任何信息, 因此即使知道了多個(gè)解的存在性, 也無法說明這些解是否在一個(gè)連通分支上; 文獻(xiàn)[6]在勢(shì)函數(shù)為常函數(shù)的情形下用點(diǎn)分歧理論得到了問題(1)正解集的分歧行為, 而當(dāng)勢(shì)函數(shù)進(jìn)一步推廣為q(t)且變系數(shù)時(shí), 能否建立類似于文獻(xiàn)[6]的結(jié)果未知. 事實(shí)上, 這會(huì)給證明帶來新的困難, 目前對(duì)此類問題的研究尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 基于此, 本文用區(qū)間分歧理論與拓?fù)涠壤碚撗芯慷A周期邊值問題：

(2)

正解集的全局結(jié)構(gòu), 其中λ是一個(gè)正參數(shù).

本文總假設(shè):

(H1)q∈C([0,2π],[0,∞))且q(t)不恒為0, 存在兩個(gè)正常數(shù)q1,q2, 使得對(duì)任意的t∈[0,2π], 有q1≤q(t)≤q2;

(H2)g∈C([0,2π],[0,∞))且存在t0∈[0,2π], 使得g(t0)>0;

(H3)f∈C([0,∞),[0,∞))且當(dāng)s>0時(shí),f(s)>0;

參照文獻(xiàn)[6], 記λ1(q1)是線性特征值問題:

(3)

的主特征值,φ∞是λ1(q1)對(duì)應(yīng)的非負(fù)特征函數(shù). 記λ1(q2)是線性特征值問題:

(4)

的主特征值,φ∞是λ1(q2)對(duì)應(yīng)的非負(fù)特征函數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

注1特別地, 當(dāng)勢(shì)函數(shù)q(t)=ρ2(ρ>0)時(shí), 問題(2)將退化為文獻(xiàn)[5-6]中的問題, 且格林函數(shù)退化為

令Σ?+×X為問題(2)正解集的閉包. 對(duì)于λ≥0, 問題(2)等價(jià)于算子方程u=Pu, 其中P:X→X定義為

根據(jù)λ,G,g,f的正性可知, 對(duì)于任意的t∈[0,2π],u(t)>0, 問題(2)非平凡解(λ,u)的閉包在+×X上恰是Σ. 由條件(H4), 令ξ,ζ∈C(,), 且使得f(u)=f0u+ξ(u),f(u)=f∞u+ζ(u). 顯然有

定義算子L:D(L)?X→X為L(zhǎng)u=-u″+qu,u∈D(L), 其中

D(L)={u∈C2[0,2π]|u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)},

則L-1是緊算子. 令關(guān)于f的Nemytskii算子N:X→X為N(u)(t)=g(t)f(u(t)),u∈X, 則問題(2)等價(jià)于算子方程

u=λL-1N(u),u∈X.

(5)

定義映射Φλ:X→X為Φλ(u)=u-λL-1N(u). 對(duì)于任意的R>0, 令BR={u∈X: ‖u‖

引理1[12]設(shè)V是一個(gè)實(shí)的自反Banach空間,F:×V→V是全連續(xù)的, 使得F(λ,0)=0, ?λ∈. 設(shè)a,b∈(a

u-F(λ,u)=0,u∈V

(6)

的孤立解, 其中(a,0),(b,0)不是方程(6)的分歧點(diǎn). 進(jìn)一步, 假設(shè)

deg(I-F(a,·),Br(0),0)≠deg(I-F(b,·),Br(0),0),

其中Br(0)是平凡解的孤立鄰域. 設(shè)

引理2[13]設(shè)V是一個(gè)實(shí)的自反Banach空間, 令F:×V→V是全連續(xù)的. 設(shè)a,b∈(a0, 使得對(duì)任意的u且‖u‖≥R, 有F(a,u)≠u≠F(b,u). 進(jìn)一步, 假設(shè)當(dāng)R(R>0)充分大時(shí), 有

deg(I-F(a,·),BR(0),0)≠deg(I-F(b,·),BR(0),0),

則存在方程(6)的一個(gè)閉的連通分支C在[a,b]×V中無界, 并且下列條件之一成立:

1) C在λ方向是無界的;

2) 存在區(qū)間[c,d], 使得(a,b)∩(c,d)=?, 且C在[c,d]×V中從無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生分歧.

引理3假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則λ1(q1)≤λ1(q2).

(7)

(8)

將式(7),(8)相減后再對(duì)t從0到2π積分, 并結(jié)合邊界條件可得

因?yàn)閡1,u2均大于零,g非負(fù)且q2-q1≥0, 所以λ1(q2)≥λ1(q1).

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)(H1)～(H4)成立, 則:

3) 存在λ*>0, 使得當(dāng)λ>λ*時(shí), 問題(2)沒有正解, 此時(shí)Σ∞=Σ0.

考慮下列周期邊值問題：

顯然, 存在兩個(gè)正常數(shù)q1=1,q2=2且q(t)滿足條件(H1),g(t)滿足條件(H2), 易知f0=1/2,f∞=2, 則f(u)滿足條件(H3),(H4). 通過計(jì)算可求出線性特征值問題(3),(4)的主特征值分別為λ1(q1)=1,λ1(q2)=2, 由定理1可知, [1/2,1]和[2,4]分別是該問題的正解從無窮遠(yuǎn)處與平凡解線上產(chǎn)生的分歧區(qū)間, 即1)～3)成立.

下面證明定理1.

1) 證明從無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的分歧.

引理4如果Λ是+上的一個(gè)緊子區(qū)間, 并且則存在R1>0, 使得對(duì)任意λ∈Λ有Φλ(u)≠0, ?u∈X, ‖u‖≥R1.

(9)

Lun=μng(t)f(un),

(10)

(11)

由φ∞,φ∞分別是問題(3),(4)對(duì)應(yīng)于λ1(q1),λ1(q2)的非負(fù)特征函數(shù), 并且通過分部積分可得

(12)

即

證明: 由引理4, 對(duì)于區(qū)間Λ=[0,μ], 存在R1>0, 使得當(dāng)R≥R1時(shí), 有u-τμL-1N(u)≠0,u∈X, ‖u‖≥R,τ∈[0,1]. 從而對(duì)任意的R≥R1, deg(Φμ,BR,0)=deg(I,BR,0)=1.

證明: 反設(shè)存在序列{un}?X, 使得‖un‖→∞(n→∞), 且當(dāng)τn≥0時(shí), 有Φλ(un)=τnφ∞, ?n∈, 則

Lun=λN(un)+τnL(φ∞).

(13)

因?yàn)樵赱0,2π]上τnL(φ∞)≥0, 所以對(duì)任意的t∈[0,2π]有un>0. 注意到un∈D(L)存在唯一的分解

un=ωn+snφ∞,

(14)

其中sn∈且〈ωn,g(t)φ∞〉=0. 又由于在[0,2π]上un>0, 結(jié)合式(14)可得sn>0, 所以

證明: 由引理5可知, 存在R2>0使得Φλ(u)≠τφ∞, ?u∈X, ‖u‖≥R2,τ∈[0,1]. 因此, 對(duì)任意的R≥R2, 有deg(Φλ,BR,0)=deg(Φλ-φ∞,BR,0)=0.

證明: 對(duì)給定的n∈且令取其中R1,R2分別由推論1和推論2定義. 易驗(yàn)證對(duì)任意的引理2的所有條件均滿足, 因此存在一個(gè)閉的連通分支Cn, 并且或者Cn在λ軸的方向上是無界的, 或者存在[c,d]使得(an,bn)∩(c,d)=?, 且Cn在[c,d]×X中是從[c,d]×{∞}處分歧出的. 由引理4可知, 后一種情形不會(huì)發(fā)生. 因此Cn是從[c,d]×{∞}分歧出的, 且Cn在λ軸的方向上無界. 進(jìn)一步, 由引理4知, 對(duì)任意閉子集集合{u∈X|(λ,u)∈Σ,λ∈I}在X中有界, 所以Cn必為從處分歧出的, 并且Cn在λ軸的方向上無界.

由命題1可知, 定理1中結(jié)論1)成立.

2) 證明在平凡解線上產(chǎn)生的分歧.

引理6如果Λ是+上的一個(gè)緊子區(qū)間, 并且則存在δ1>0, 使得對(duì)任意λ∈Λ有Φλ(u)≠0, ?u∈X， 0<‖u‖≤δ1.

(15)

由φ∞,φ∞分別是問題(3),(4)對(duì)應(yīng)于λ1(q1),λ1(q2)的非負(fù)特征函數(shù)及式(12)可得

證明: 由引理6知, 對(duì)于區(qū)間Λ=[0,μ], 存在δ1>0使得當(dāng)0<‖u‖≤δ1時(shí), 有u-τμL-1N(u)≠0,u∈X, 0<‖u‖≤δ1,τ∈[0,1]. 從而對(duì)任意的δ∈(0,δ1), deg(Φμ,Bδ,0)=deg(I,Bδ,0)=1.

證明: 反設(shè)存在序列{un}?X, 使得‖un‖→0(n→∞), 且當(dāng)τn≥0時(shí), 有Φλ(un)=τnφ∞, ?n∈, 則式(13)成立. 顯然un>0且un∈D(L)存在唯一的分解式(14), 其中sn∈且〈ωn,g(t)φ∞〉=0. 由于在[0,2π]上un>0, 結(jié)合式(14)可得sn>0, 所以

證明: 類似于命題1, 由引理6易證.

由命題2可知, 定理1中的結(jié)論2)成立.

3) 證明正解集的全局結(jié)構(gòu).

引理8如果條件(H1)成立, 則存在λ*>0, 當(dāng)λ>λ*時(shí), 不存在正解(λ,u)使得Φλ(u)=0.

證明: 假設(shè)(λ,u)是Φλ(u)=0的正解, 則問題(2)成立. 由φ∞是問題(4)對(duì)應(yīng)于λ1(q2)的非負(fù)特征函數(shù), 并且通過分部積分〈Lu,φ∞〉=〈Lφ∞,u〉可得