( 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043 )

0 引言

減少工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械設(shè)備中不必要的振動(dòng)是設(shè)計(jì)過(guò)程中要考慮的重要因素，特別是對(duì)于受到外部激勵(lì)的結(jié)構(gòu)。為了減少振動(dòng)對(duì)工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械設(shè)備的影響，學(xué)者們先后研究了被動(dòng)控制、主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制等方法來(lái)降低振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的危害[1]。被動(dòng)控制更多地應(yīng)用在工程減振中，因?yàn)樗鼈儽苊饬酥鲃?dòng)和半主動(dòng)控制的固有缺陷[2-3]，相比于主動(dòng)控制，被動(dòng)控制不需要輸入外部能量，只需要通過(guò)阻尼耗能裝置即可，且具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于維修、經(jīng)濟(jì)性好等特點(diǎn)。

自從1909年Frahm發(fā)明了動(dòng)力吸振器[4](DVA， Dynamic Vibration Absorber)又稱為調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD，Tuned Mass Damper)以來(lái)，學(xué)者們對(duì)動(dòng)力吸振器的研究已有百年歷史。Frahm發(fā)明的無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器雖然能在外部激勵(lì)和主系統(tǒng)頻率相近時(shí)取得很好的減振效果，但該吸振器適用的頻率范圍較窄。在此之后，1928年Ormondroyd et al[5]發(fā)現(xiàn)在Frahm模型的基礎(chǔ)上，在吸振器中加入阻尼可以有效地降低主系統(tǒng)的振幅并拓寬適用頻率范圍，該模型就是經(jīng)典的Voigt型動(dòng)力吸振器。Den et al[6]據(jù)此提出了固定點(diǎn)理論，該理論被廣泛應(yīng)用并且成為振動(dòng)工程教科書中的經(jīng)典結(jié)論[1]。Asami et al[7]提出了三要素DVA并給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，減振效果明顯優(yōu)于Ormondroyd et al[5]提出的模型。2001年Ren[8]提出了一種接地DVA,根據(jù)固定點(diǎn)理論和H∞優(yōu)化得到模型的最優(yōu)參數(shù)，減振效果比Den和Asami et al提出的模型更佳。姚勇政[9]研究了多自由度動(dòng)力吸振器的參數(shù)優(yōu)化，并提出了計(jì)算機(jī)編程方法計(jì)算數(shù)值最優(yōu)解的方法。Zhang J et al[10]研究了動(dòng)力吸振器在能量收集方面的應(yīng)用。

慣容是21世紀(jì)初Smith教授提出的一種具有2個(gè)獨(dú)立的自由端點(diǎn)、且類似于彈簧和阻尼器的元件[11]，產(chǎn)生的力與其節(jié)點(diǎn)之間的相對(duì)加速度成比例。近些年來(lái)，學(xué)者們通過(guò)對(duì)慣容的研究發(fā)現(xiàn)其在減振、隔振方面有很好的應(yīng)用。慣容最早應(yīng)用在F1賽車懸架上，并取得了很好的效果[12]。Wang et al[13-14]把慣容應(yīng)用在火車懸架上，提高了火車的穩(wěn)定性和舒適性。Chen et al[15]等分析了慣容對(duì)隔振系統(tǒng)固有頻率的影響。Hu et al[16]提出了6種ISD(I-Inerter，S-Spring，D-Dumper)結(jié)構(gòu)并把其放在Voigt型DVA上，通過(guò)Matlab編程得到其最優(yōu)參數(shù)。葛正等[17]研究了慣容動(dòng)力吸振器在車輛懸架上的應(yīng)用，可以有效改善乘坐舒適性。Barredo et al[18]研究了一種新型基于固定點(diǎn)理論的新方法優(yōu)化含有慣容的DVA，得到其解析解。Shen et al[19]通過(guò)使用慣容將傳統(tǒng)的DVA應(yīng)用到車輛懸架上，使得懸架的指標(biāo)有很大的提升。Luo et al[20]提出了一種新型電磁諧振分流器DVA，旨在最大限度地減少結(jié)構(gòu)損壞的同時(shí)在隨機(jī)風(fēng)激勵(lì)下收獲能量，并在臺(tái)北101大廈上實(shí)驗(yàn)成功。Wang et al[21]把慣容應(yīng)用在經(jīng)典動(dòng)力吸振器上，使吸振器通過(guò)慣容接地，發(fā)現(xiàn)有很好的減振效果。

本文提出了6種含有慣容的動(dòng)力吸振器，并通過(guò)計(jì)算機(jī)編程的方法[9]得到各個(gè)模型參數(shù)的最優(yōu)解。

1 新型動(dòng)力吸振器模型建立

1.1 慣容的動(dòng)力學(xué)特性

慣容又稱為慣性儲(chǔ)能器或慣性質(zhì)量?jī)?chǔ)能器，與傳統(tǒng)的彈簧和阻尼器一樣具有2個(gè)獨(dú)立的、自由的端點(diǎn)。當(dāng)一對(duì)相互作用力作用于慣容元件2個(gè)端點(diǎn)時(shí)，兩端點(diǎn)的相對(duì)加速度和作用力成一定的比例關(guān)系，該比例稱作“慣容系數(shù)”，用字母b表示。理想慣容受力關(guān)系為

(1)

1.2 模型的建立和分析

圖1所示是經(jīng)典接地式DVA模型。圖2是本文提出的慣容動(dòng)力吸振器模型。圖2中的結(jié)構(gòu)A分別為圖3中的6種ISD結(jié)構(gòu)。其中m1、m2、b和c分別表示主系統(tǒng)的質(zhì)量、吸振器的質(zhì)量、慣容系數(shù)和阻尼系數(shù)；k1、k2和k3分別為各個(gè)模型主系統(tǒng)彈簧的剛度系數(shù)、吸振器上彈簧的剛度系數(shù)、ISD結(jié)構(gòu)中的彈簧剛度系數(shù);x1、x2分別為主系統(tǒng)位移、動(dòng)力吸振器位移；x3為模型2、模型3、模型4、模型5、模型6阻尼與彈簧或慣容分割點(diǎn)的位移；x4為模型5中阻尼與慣容分割點(diǎn)的位移。Fsinωt是外界加載在主系統(tǒng)上的激勵(lì)。根據(jù)牛頓第二定律得到如表1所示的動(dòng)力學(xué)方程。

圖1 接地式動(dòng)力吸振器模型

圖2 含有慣容的動(dòng)力吸振器模型

圖3 結(jié)構(gòu)A中的6種ISD結(jié)構(gòu)

表1 動(dòng)力學(xué)方程及振幅放大因子

(2)

式中，i=1,2,3,4,5,6分別代表模型1、模型2、模型3、模擬4、模型5和模型6。式中的系數(shù)如下:

為了便于推導(dǎo)和計(jì)算，引入振幅放大因子，定義為

(3)

2 新型動(dòng)力吸振器參數(shù)的優(yōu)化

2.1 計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)方法

固定點(diǎn)理論及H∞優(yōu)化[6]是通過(guò)使目標(biāo)函數(shù)最大值最小化來(lái)優(yōu)化參數(shù)。兩自由度的模型使用此方法可以輕松地求解出最優(yōu)參數(shù)，但是2個(gè)以上自由度情況下，使用固定點(diǎn)理論及H∞優(yōu)化便會(huì)極為困難甚至無(wú)法求解。本文提出的6種模型中，除模型1外，其他模型使用固定點(diǎn)理論及H∞優(yōu)化便非常困難，因此使用了計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)的方法。相比于文獻(xiàn)[9],本文的計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)方法思路更為清晰，編程環(huán)境由C++改為Matlab使計(jì)算速度大幅提高，計(jì)算精度更為可靠。

計(jì)算機(jī)編程尋找最優(yōu)數(shù)值解的思路同H∞優(yōu)化相似。將振幅放大因子ψi作為目標(biāo)函數(shù)，其中頻率比 為自變量，質(zhì)量比μ、慣容比δ、固有頻率比α1和α2、阻尼比ζ為需要優(yōu)化的參數(shù)。程序設(shè)計(jì)思路為：給定一個(gè)μ+δ的值，對(duì)參數(shù)μ、δ、α1、α2、ζ在合理區(qū)間內(nèi)劃分小步長(zhǎng)，得到μ、δ、α1、α2、ζ的各種組合集，使用計(jì)算機(jī)編程的方法尋找到每組參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的最大值，通過(guò)比較求得目標(biāo)函數(shù)最大值中的最小值，此時(shí)μ、δ、α1、α2、ζ的取值即為最優(yōu)數(shù)值解，計(jì)算精度可以通過(guò)改變步長(zhǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)思路及步驟如圖4所示。

圖4 計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)思路及步驟

通過(guò)計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)的方法，對(duì)經(jīng)典接地式DVA進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，得到最優(yōu)參數(shù)的數(shù)值解。2種不同方法得出的結(jié)果對(duì)比及相對(duì)誤差如表2所示。

表2 接地式DVA使用2種方法的結(jié)果對(duì)比

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)的方法得到的最優(yōu)參數(shù)與解析解的最大誤差不超過(guò)1.45%，證明了計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)方法的正確性和合理性。

2.2 計(jì)算機(jī)編程優(yōu)化結(jié)果

質(zhì)量元件是單端點(diǎn)元件即必須有一點(diǎn)接地，慣容元件是兩端點(diǎn)元件，由于慣容的力學(xué)特性，與加載在其兩端的相對(duì)加速度成正比，有一定的質(zhì)量特性，故把質(zhì)量和慣容看做一個(gè)整體。因此在優(yōu)化時(shí)，把μ+δ看做為一個(gè)整體。

在不同的給定參數(shù)μ+δ下，模型1、模型2、模型3、模型4、模型5和模型6使用此方法得到的最優(yōu)數(shù)值解及振幅放大因子最大值如表3～表8所示。

表3 模型1最優(yōu)參數(shù)

表5 模型3最優(yōu)參數(shù)

表6 模型4的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

表7 模型5最優(yōu)參數(shù)數(shù)

表8 模型6最優(yōu)參數(shù)

從計(jì)算結(jié)果可以看出，模型1只需要保證μ和δ之和的值即可，不需要再對(duì)μ和δ進(jìn)行優(yōu)化。而其他5種模型則需要對(duì)μ和δ進(jìn)一步分別優(yōu)化。基于表3～表8得到的最優(yōu)數(shù)值解，可以畫出模型1～模型6的幅頻曲線如圖5～圖10所示。從6種模型的幅頻曲線中可以看出，隨著μ和δ之和的增加，振幅放大因子隨之降低。同樣可以驗(yàn)證，在μ+δ取其他值時(shí)，有相同的結(jié)論。

圖5 模型1的幅頻曲線

圖6 模型2的幅頻曲線

圖7 模型3的幅頻曲線

圖8 模型4的幅頻曲線

圖9 模型5的幅頻曲線

圖10 模型6的幅頻曲線

為了進(jìn)一步驗(yàn)證在μ+δ取值一定的情況下，采用的數(shù)值方法優(yōu)化結(jié)果相較于其他μ和δ的組合有更好的減振效果，現(xiàn)以μ+δ取值為0.1為例，比較不同的μ和δ的組合下的幅頻曲線最大值。表9為不同的μ和δ組合幅頻曲線的最大值。

表9 不同μ和δ組合幅頻曲線最大值

從表9中可以看出，除模型1外，在μ+δ取值一定的前提下，μ和δ的其他組合會(huì)導(dǎo)致振幅放大因子的變大，表明了本文優(yōu)化結(jié)果的正確性和合理性。同樣可以驗(yàn)證，在μ+δ取其他值時(shí)，有相同的結(jié)論。

3 與傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器的比較

3.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的比較

圖11 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的幅頻曲線

為了研究提出的6種慣容動(dòng)力吸振器的減振效果，將該6種模型與經(jīng)典的動(dòng)力吸振器(Voigt型DVA，接地式DVA)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下作比較。這里假設(shè)接地式DVA的吸振器和主系統(tǒng)質(zhì)量的比μ為0.1，模型1～模型6的塊質(zhì)量比μ與慣容比δ之和也為0.1。幅頻曲線的比較如圖11所示，幅頻曲線最大值的比較及相對(duì)衰減率如表10所示。

表10 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下振幅放大因子最大值統(tǒng)計(jì)及相對(duì)衰減率

從圖11及表10可以看出，本文提出的新型慣容接地DVA有一定的減振效果。其中模型1、模型2、模型3、模型5的減振效果均優(yōu)于Voigt型DVA，模型2、模型5的減振效果優(yōu)于接地式DVA，模型4、模型6與Voigt型DVA減振效果相當(dāng)，模型1與接地式DVA減振效果相當(dāng)，模型4和模型6的減振效果次于傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器?？梢则?yàn)證，在μ+δ取其他值時(shí)，本結(jié)論仍然成立。

3.2 隨機(jī)激勵(lì)下的比較

因?yàn)樵趯?shí)際工程中系統(tǒng)所受的激勵(lì)大都為隨機(jī)激勵(lì)，所以在隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)有著很重要的意義。為了比較6種模型在隨機(jī)激勵(lì)下的減振效果，如圖12所示，構(gòu)建了50 s均值為0的隨機(jī)激勵(lì)。設(shè)定主系統(tǒng)質(zhì)量塊m1=1 kg，剛度k1=100 N/m，質(zhì)量比μ和慣容比δ之和為0.1，其余參數(shù)可以根據(jù)表3～表8和文獻(xiàn)[5，8]得到。圖13為不含吸振器的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖，圖14～圖21分別為Voigt型DVA、接地式DVA、模型1、模型2、模型3、模型4、模型5、模型6的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖，主系統(tǒng)響應(yīng)方差值統(tǒng)計(jì)及其相比于無(wú)吸振器時(shí)的衰減比如表11所示。

圖12 隨機(jī)激勵(lì)時(shí)間歷程圖

圖13 不含吸振器的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖14 Voigt型DVA的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖15 接地式型DVA的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖16 模型1的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖17 模型2的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖18 模型3的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖19 模型4的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖20 模型5的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

圖21 模型6的主系統(tǒng)時(shí)間歷程圖

表11 主系統(tǒng)響應(yīng)方差統(tǒng)計(jì)值及其衰減比

從圖12～圖21及表11可以看出，本文提出的新型慣容接地DVA在隨機(jī)激勵(lì)下仍具有一定的減振效果，其中，模型2在隨機(jī)激勵(lì)下減振效果最好。模型1、模型2、模型3的減振效果優(yōu)于Voigt型DVA，模型2、模型3減振效果優(yōu)于接地式DVA，模型4、模型5、模型6的減振效果次于接地式DVA和Voigt型DVA?？梢则?yàn)證，在μ+δ取其他值時(shí)，本結(jié)論仍然成立。

4 結(jié)論

本文提出了6種慣容-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)，并把它們應(yīng)用于接地型動(dòng)力吸振器中。使用H∞優(yōu)化思路通過(guò)計(jì)算機(jī)編程的方法尋找各個(gè)模型的最優(yōu)參數(shù)的數(shù)值解，相比于H∞優(yōu)化方法，計(jì)算機(jī)編程尋優(yōu)方法對(duì)2個(gè)以上自由度的模型更為簡(jiǎn)單，而且精度可以通過(guò)改變編程的步長(zhǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，達(dá)到解析解想要達(dá)到的效果。通過(guò)對(duì)比證明了在μ和δ取值一定的前提下，本文優(yōu)化出的μ和δ的組合減振效果明顯優(yōu)于其他組合。

通過(guò)與傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下主系統(tǒng)響應(yīng)的比較，發(fā)現(xiàn)本文提出的6種模型具有一定的減振效果。使用上述優(yōu)化方法在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，本文提出的6種模型的減振效果和經(jīng)典DVA相比依次為：模型2、模型5、接地式DVA、模型1、Voigt型DVA、模型5、模型4、模型6，故在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，使用圖3中的2和5所表示的ISD結(jié)構(gòu)代替接地式DVA中的阻尼，會(huì)使減振效果更好；隨機(jī)激勵(lì)下本文提出的6種模型的減振效果和經(jīng)典DVA相比依次為：模型2、模型3、接地式DVA、模型1、Voigt型DVA、模型6、模型4、模型5，故在隨機(jī)激勵(lì)下，使用圖3中的2和3所表示的ISD結(jié)構(gòu)代替接地式DVA中的阻尼，會(huì)使減振效果更好。從上述對(duì)比中可以看出，增加一個(gè)自由度并以合適的ISD結(jié)構(gòu)代替?zhèn)鹘y(tǒng)接地DVA中的接地阻尼可以增加減振效果，對(duì)新型動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)和改造有一定的指導(dǎo)意義。