管永梅

【設(shè)計(jì)背景】

在前幾節(jié)課的基礎(chǔ)上，學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形的概念、性質(zhì)，經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握了判定三角形全等的基本方法（“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊”），能判定兩個(gè)三角形全等，積累了一些幾何研究的經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課將進(jìn)一步強(qiáng)化這些經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生知道全等三角形的判定是研究幾何圖形的一個(gè)重要方面。本節(jié)課通過統(tǒng)攬全局整合圖形，將平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種圖形的變化與全等三角形聯(lián)系起來，讓學(xué)生通過觀察和借助生活中的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)到一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形與原來的三角形全等。讓學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的眼光看待全等問題，豐富學(xué)生認(rèn)識(shí)全等的角度，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，使學(xué)生跳出題海，做到“做一題，會(huì)一類，通一片”，提高學(xué)生解決問題的速度與技巧。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握全等三角形的判定方法。

2.能選擇合適的方法判定三角形全等。

3.能利用三角形全等證明一些結(jié)論（線段、角等），能統(tǒng)攬全局整合圖形，用運(yùn)動(dòng)的眼光看待全等問題。

【教學(xué)重點(diǎn)】

能選擇合適的方法判定三角形全等，教會(huì)學(xué)生整合圖形，用運(yùn)動(dòng)的眼光看待全等問題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

教會(huì)學(xué)生整合圖形，用運(yùn)動(dòng)的眼光看待全等問題。

【教學(xué)過程】

一、知識(shí)回顧

1.判定方法

師：我們學(xué)習(xí)的兩個(gè)三角形全等的判定方法有哪些？每一種判定方法的條件是什么？

教師提出問題，學(xué)生知識(shí)回顧，教師適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生展示如下：

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法，分析條件與結(jié)論的關(guān)系， SAS、ASA、AAS、HL的條件的書寫順序是易錯(cuò)點(diǎn)，引起學(xué)生的注意。

2.適當(dāng)選擇

如圖，在△ABC 中，AD⊥BC，要判定△ABD≌△ACD。

（1）根據(jù)“SAS”，還要添加一個(gè)條件：____;

（2）根據(jù)“ASA”，還要添加一個(gè)條件：____;

（3）根據(jù)“AAS”，還要添加一個(gè)條件：____;

（4）根據(jù)“HL”，還要添加一個(gè)條件：_____。

師生活動(dòng)：師生共同分析解題思路，如（1）題，要證△ABD≌△ACD（SAS），已知AD⊥BC，∠BDA=∠CDA，題中有一個(gè)隱含條件—AD是兩個(gè)三角形的公共邊，即AD=AD，故只需找BD=CD。其他題目學(xué)生口述證明過程，教師板書。

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用五種判定方法證明兩個(gè)三角形全等，感悟條件選擇的適當(dāng)性，體會(huì)證明過程的規(guī)范性。

二、整合圖形

1.平移全等形

如圖，AC = DF，BC = EF，AD = BE。

求證：△ABC≌△DEF。

學(xué)生獨(dú)立完成。

師點(diǎn)撥：此題容易選定判定方法，利用“邊邊邊”判定方法證得△ABC≌△DEF。另外，當(dāng)△ABC≌△DEF時(shí)，得到∠A=∠EDF，從而AC∥DF，得到∠ABC=∠E，因此BC∥EF。故可以看成△DEF是由△ABC平移得到。常見的平移全等形如下：

【設(shè)計(jì)意圖】平移前后，圖形的形狀、大小不改變，只是位置發(fā)生改變，平移前后兩個(gè)圖形是全等形，由此整合成平移全等形，此類圖形的特點(diǎn)是可能產(chǎn)生公共線段，讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力。

2.翻折全等形

如圖，AC平分∠BAD，AB=AD。請(qǐng)你判斷AC是否也平分∠BCD，并說明理由。

學(xué)生在黑板板書，師生共同評(píng)價(jià)，規(guī)范解題過程。

師點(diǎn)撥：由已知AB=AD，AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC，AC是隱含條件公共邊，根據(jù)判定方法“邊角邊”，△ABC≌△ADC（SAS），最后得到∠BCA=∠DCA，所以AC也平分∠BCD。不難發(fā)現(xiàn)，△ABC可以看成是由△ADC沿AC所在的直線翻折得到，給我們對(duì)稱的感覺。本題選擇的判定方法是“ASA”，下面是常見的翻折全等形：

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過翻折，圖形的形狀、大小均不會(huì)發(fā)生改變，由翻折看到對(duì)稱，學(xué)生會(huì)想公共線段，公共角等，由對(duì)稱變換整合成翻折全等形，讓學(xué)生跳出題海，提高解題效率。

3.旋轉(zhuǎn)全等形

如圖，∠1=∠2=∠3，AC = AE。

求證：AD = AB。

找∠B=∠ADE是難點(diǎn)，教師引導(dǎo)，找角的條件時(shí)，學(xué)生有兩種方法：其一，利用三角形的外角，∠ADC是△ABD的一個(gè)外角，即∠ADC=∠B+∠1，而∠ADC=∠ADE+∠3，∠1=∠3，故∠B=∠ADE。其二，由直觀想象，利用“八字形”模型，在△AEF和△DCF中，∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，由三角形內(nèi)角和為180°，故∠B=∠ADE。經(jīng)分析條件，找到兩組角對(duì)應(yīng)相等和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，最后證得△BAC≌△DAE（AAS），從而AD = AB。

師點(diǎn)撥：這道題有一個(gè)隱含條件—∠DAC是公共角，點(diǎn)A是公共頂點(diǎn)，可以看作△BAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到△DAE，△BAC≌△DAE，判定方法選擇的是“AAS”，做題時(shí)還會(huì)遇到下面的旋轉(zhuǎn)全等形：

【設(shè)計(jì)意圖】圖形中有公共頂點(diǎn)，要想到公共角，想到對(duì)頂角等，想到旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)前后圖形的形狀、大小不發(fā)生改變，由旋轉(zhuǎn)變換整合成旋轉(zhuǎn)全等形，讓學(xué)生“做一題，會(huì)一類，通一片”。

三、回顧反思

1.綜合提升

如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，AB∥ED，AF = DC，∠AFE =∠DCB。

求證：（1）△ABC≌△DEF;（2）BF∥CE。

2.談感受

生1：做題前我們應(yīng)先統(tǒng)攬全局觀察圖形，判斷是屬于哪種類型的圖形，然后選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ń鉀Q問題。

生2：找到圖形的特點(diǎn)，首先要有一種直觀想象能力，分離圖形，找到需要的部分圖形解決問題。

生3：這三種類型的全等形，都有一些共性—隱含的條件，比如公共線段、公共角、對(duì)頂角等。

四、教后反思

1.培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力

直觀想象是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀?！睅缀沃庇^是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。幾何直觀能力可以較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。圖形是幾何的靈魂，識(shí)圖是學(xué)習(xí)幾何的最基本素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生看一看、折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，然后說一說，說出對(duì)圖形的感受，將圖形語言轉(zhuǎn)化成文字語言。還可以借助技術(shù)手段，用《幾何畫板》軟件根據(jù)給定的邊、角條件畫三角形，學(xué)生可以自己設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)過程，教師不斷引導(dǎo)與點(diǎn)撥，提高學(xué)生直觀想象能力。

2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)統(tǒng)攬全局整合圖形

題目千變?nèi)f化，但萬變不離其宗。圖形復(fù)雜多樣，但都是由簡單與復(fù)雜之間相互切換的。每一道幾何題目背后都有著一定的法則和規(guī)律，每一類圖形都有著相似的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的集中體現(xiàn)便是“公共頂點(diǎn)、公共線段”。圖形中充分融入了學(xué)生對(duì)線段相等和角相等的直觀認(rèn)識(shí)，也就是歐氏幾何中提到的：等量加等量和相等，等量減等量差相等，彼此能重合的物體是全等的。圖形中還滲透了研究幾何圖形的基本問題和方法，由圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生將這些圖形加以分類整合，便得到：平移全等形、翻折全等形和旋轉(zhuǎn)全等形。幫助學(xué)生建立起平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種圖形的變化與全等形的關(guān)系。通過整合圖形，使學(xué)生跳出題海，做到“做一題，會(huì)一類，通一片”，讓學(xué)生的知識(shí)“成片開發(fā)”。

3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出要使學(xué)生“在解決問題過程中，能進(jìn)行有條理的思考，能對(duì)結(jié)論的合理性作出有說服性的說明”。學(xué)會(huì)思考是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在。在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，在解決問題的經(jīng)歷中，讓學(xué)生感受到判定方法的選擇、圖形的整合是自然而然、水到渠成的，而不是強(qiáng)硬地塞給學(xué)生。為什么想到整合圖形，怎樣整合圖形，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇不同的視角看待問題，用不同的方法來研究問題、解決問題，積極參與問題中來。托爾斯泰說：“知識(shí)，只有它靠積極的思維得來而不是憑記憶得來的時(shí)候，才是真正的知識(shí)?！彼?，教“怎樣思考”，教“怎樣才能想到”是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，讓學(xué)生養(yǎng)成思考的習(xí)慣，提高解題速度與技巧。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳華安.在變式中探究問題實(shí)質(zhì)，在解題中把握問題規(guī)律—“函數(shù)圖像按向量平移問題”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009，28（7）.