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以數(shù)想形,以形助教

2020-07-21 06:57張偉琴
關(guān)鍵詞:交點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)形

張偉琴

【摘 要】 本文主要分析教師如何引導(dǎo)學(xué)生如何想到利用圖像來(lái)處理問(wèn)題,將圖形與文字語(yǔ)言進(jìn)行對(duì)應(yīng),畫(huà)出圖像,觀察圖像,從圖像中獲取信息,根據(jù)圖像得出答案,體會(huì)“以數(shù)想形,以形助教”的數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決函數(shù)問(wèn)題中的重要作用。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;函數(shù)教學(xué)

一、研究背景

從學(xué)情角度來(lái)看,由于一次函數(shù)題目的解答依賴于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的理解,題目考查角度靈活多變,使得機(jī)械記憶與淺層次的工具性運(yùn)用在這里不能發(fā)揮作用,因此對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度。

二、研究思路

通過(guò)一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課流程:操作(情境)——發(fā)現(xiàn)(問(wèn)題)——反思(問(wèn)題解決)——?dú)w納(概括,拓展,遷移)——應(yīng)用(知識(shí),方法,經(jīng)驗(yàn)),闡述如何將數(shù)形結(jié)合的思想方法落實(shí)到課堂中,成為學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題的基本思維路徑。

三、數(shù)形結(jié)合的實(shí)例分析1

1.問(wèn)題情境

例1:甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城。在整個(gè)行駛過(guò)程中,甲、乙兩車離開(kāi)A城的距離y(千米)與甲車行駛的時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

2.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師:你能提出哪些問(wèn)題?

生1:甲、乙兩車的速度分別是多少?

生2:甲、乙兩車誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)?

生3:表示甲、乙的解析式分別是什么?自變量的取值范圍?

生4:甲車出發(fā)幾小時(shí)后被乙追上?

生5:t為何值時(shí),甲、乙兩車相距50千米?

生6:甲、乙兩車相距小于50千米時(shí),t的取值范圍?

【設(shè)計(jì)意圖:本題只給出情境,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較等思維活動(dòng),從不同視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,這類問(wèn)題是現(xiàn)場(chǎng)生成的,靈動(dòng)的,能融合多方面知識(shí)點(diǎn),在思維碰撞中,學(xué)生潛能不斷被激發(fā),有利于理解函數(shù)圖像本質(zhì),有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和思維深刻性與靈活性】

3.問(wèn)題解決

問(wèn)題(1):甲出發(fā)后幾小時(shí)被乙追上?

生1:我們可以根據(jù)相遇時(shí)路程相等,得到方程100(t-1)=60t ,得t=2.5。

生2:利用追擊問(wèn)題“追擊的時(shí)間=追擊的路程÷速度差”,得t=1.5,1.5+1=2.5。

生3:我們可以求出甲、乙兩車離開(kāi)A城的距離y關(guān)于t的函數(shù)解析式,求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)t=2.5。

生4:如圖2所示,看成兩個(gè)全等三角形,觀察圖像,相遇點(diǎn)為中點(diǎn),直接得出t=2.5。

【設(shè)計(jì)意圖:抓住關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn))的實(shí)際意義則是帶著數(shù)從形的角度直觀尋找,通過(guò)一題多解,讓學(xué)生進(jìn)一步感受知識(shí)方法間的普遍聯(lián)系,體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性,生4運(yùn)用全等三角形的知識(shí)來(lái)進(jìn)行定量刻畫(huà),“以形助教”,優(yōu)化學(xué)生的思維】

4.問(wèn)題遷移

問(wèn)題(2):t為何值時(shí),甲、乙兩車相距50千米?

教師讓學(xué)生先獨(dú)立完成,學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下常見(jiàn)錯(cuò)誤:

學(xué)生基本都是從“數(shù)”的角度來(lái)思考的,容易遺漏,因此教師引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度來(lái)考慮。

師:首先思考下列問(wèn)題:觀察y(t)圖,設(shè)兩車之間的距離為S(千米),兩車之間的距離是如何變化的?有哪些關(guān)鍵點(diǎn)呢?

(板書(shū))畫(huà)距離S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像,要找到關(guān)鍵點(diǎn):(1)甲、乙的起點(diǎn);(2)相遇點(diǎn);(3)甲、乙的終點(diǎn)。

師:現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們描點(diǎn),畫(huà)出S(t)圖(如圖3)。

【設(shè)計(jì)意圖:函數(shù)圖像是數(shù)量關(guān)系的一種直觀表達(dá),通過(guò)圖像去獲取數(shù)量關(guān)系的能力,是一種典型的“幾何直觀”能力。讓學(xué)生知道如何結(jié)合圖像去“弄清運(yùn)動(dòng)過(guò)程”,就是教學(xué)生如何讀圖,思考問(wèn)題。教師通過(guò)在“由y(t)圖得到S(t)圖”時(shí)放緩腳步,讓學(xué)生結(jié)合圖像“具體說(shuō)一說(shuō)甲、乙兩車是如何運(yùn)動(dòng)的”。讀圖像的關(guān)鍵點(diǎn),如“起點(diǎn),交點(diǎn),終點(diǎn)”,其實(shí)就是在形中找數(shù),把研究精確化;函數(shù)圖像上每一個(gè)點(diǎn)的繪制,不用點(diǎn)之間的變化關(guān)系乃至整個(gè)圖像的生成無(wú)不體現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的完美對(duì)應(yīng)。通過(guò)畫(huà)圖,又再次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的理解,提高學(xué)生對(duì)圖像信息的深加工能力。只有這樣,才能整體把握函數(shù)性質(zhì),才能突破由形到數(shù),由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換困難和障礙,以突破重點(diǎn),分化難點(diǎn)】

5.應(yīng)用

師:請(qǐng)同學(xué)們從“形”的角度來(lái)考慮問(wèn)題(2):何時(shí),甲、乙兩車相距50千米?

生1:畫(huà)一條直線S=50,我們發(fā)現(xiàn)和S(t)圖會(huì)有四個(gè)交點(diǎn)(如圖4)。

五、教學(xué)反思

1.先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題情境入手,多次變化問(wèn)題指向,進(jìn)行多圖呈現(xiàn)

讓學(xué)生在相同或相近的情境下感受不同的坐標(biāo)意義下對(duì)應(yīng)圖像的差別,這樣的題組設(shè)計(jì)具有較好的對(duì)比分析效果,有效地幫助學(xué)生領(lǐng)悟“從圖像獲取信息”的關(guān)鍵:特殊點(diǎn)(圖像間的交點(diǎn),圖像的極值點(diǎn)等)位置的理解,讓學(xué)生經(jīng)歷從“讀圖”(畫(huà)圖)到“析圖”,再到“用圖”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。這樣設(shè)計(jì)旨在增進(jìn)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力,體現(xiàn)了探究的層次化。

2.數(shù)學(xué)體驗(yàn)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成離不開(kāi)學(xué)生的親身經(jīng)歷與體驗(yàn),讓學(xué)生置身情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題,獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),通過(guò)內(nèi)省反思,產(chǎn)生認(rèn)知體驗(yàn)。在每一個(gè)小板塊中,都安排了小結(jié),幫助學(xué)生進(jìn)行方法的提煉,將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí),用以指導(dǎo)今后的解題活動(dòng),讓學(xué)生遇到簡(jiǎn)單的問(wèn)題,立足提煉方法,而對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題,優(yōu)化問(wèn)題解決策略。例如在例題1(2)問(wèn)中,引導(dǎo)學(xué)生利用S(t)圖,從“形”的角度尋找簡(jiǎn)便解法,使所要研究的問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn),就像華羅庚先生說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”。 最后在建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖的過(guò)程中,感悟?qū)W習(xí)函數(shù)的一般方法,為繼續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)埋下知識(shí)和方法的種子,這就是遷移,就是章建躍博士所說(shuō):“代數(shù)就是用同樣的方法解決類似的問(wèn)題?!?/p>

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