福建省閩清縣第一中學(xué) (350800) 林 婷

福建省福州高新區(qū)第一中學(xué) (350109) 張武生

反思是指自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行考察、分析、總結(jié)、評價、調(diào)節(jié)的過程，是學(xué)生調(diào)控學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是認(rèn)知過程中強(qiáng)化自我意識、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的主要形式，是培養(yǎng)“四基”形成的有效途徑.荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.”實(shí)踐表明，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力不僅能促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效益，而且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以下筆者談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中的幾點(diǎn)思考，與同行探討.

1.在概念教學(xué)中激發(fā)反思，從感性到感悟

數(shù)學(xué)概念是反映事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的本質(zhì)特征的思維形式，具有高度抽象性.學(xué)生要深刻理解這些概念，除了要引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念的建構(gòu)，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)、方法對所學(xué)的概念進(jìn)行反思，多問幾個為什么.只有通過反思，才能深刻理解其內(nèi)涵與外延，深化學(xué)生的知識建構(gòu)，從感知到感悟，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1 人教A版數(shù)學(xué)3“古典概型”概念教學(xué)片斷

在講授完“古典概型”概念后，教師可提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生反思：

反思1：請看剛上課時提出的“游戲公平性問題”：一個口袋內(nèi)裝有編號為1的一個紅球和編號2、3、4的三個白球，這四個球除顏色之外完全相同.甲乙兩位同學(xué)做一個游戲：從袋中一次任意摸出2個球，若取到兩個同色球，則甲勝，否則乙勝.大家認(rèn)為這個“游戲公平性問題”是古典概型嗎？為什么？

生1：“游戲公平性問題”是古典概型.基本事件有6個，是有限的；由于是“任取兩個”，因此每個基本事件的發(fā)生也是等可能的.

反思2：如圖1，向一個圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個點(diǎn)，若該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，這是古典概型嗎？為什么？

圖1 圖2

生2：不滿足有限性，不是古典概型.因?yàn)榛臼录菆A內(nèi)任意一點(diǎn)，有無數(shù)個.

反思3：如圖2，某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個：“命中10環(huán)”、“命中9環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”.這是古典概型嗎？為什么？

生3：不是古典概型，滿足有限性，但不滿足等可能性.比如“命中10環(huán)”與“不中環(huán)”就不是等可能的.

師：非常好！判斷一個試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是看它的基本事件是否滿足有限性與等可能性，二者缺一不可.

教師運(yùn)用經(jīng)典問題引導(dǎo)學(xué)生辨析、判斷，鞏固和深化對“古典概型”的理解，深化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在概念教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生反思，有助于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，揭示概念的本質(zhì)特征，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.在問題的變式中引導(dǎo)反思，從感性到理性

培養(yǎng)學(xué)生的反思能力,就是要培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問題、解決問題的能力.問題變式的解決有利于知識的正遷移，在課堂教學(xué)中，教師可通過一題多解、一題多變、多題一解的變式訓(xùn)練,讓學(xué)生在由淺入深、多角度、多層次的問題情境中，通過對問題的多維分析,反思各種變式所共有的本質(zhì)特征,揭示問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系及其蘊(yùn)涵的規(guī)律，培養(yǎng)理性思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖3

解決了本題后，師生共同歸納出題目與結(jié)論所包含的三個要素：(1)三個定點(diǎn)A、B、D；(2)三條動直線MN、AM、BN；(3)三個動點(diǎn)T、M、N.為了培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：

學(xué)生全身心地投入問題的反思中，有的學(xué)生反思解題過程，提出了如下問題：

教師設(shè)計(jì)思維含量高的問題，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中揭示“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中反思“變”的規(guī)律，達(dá)到了講一題通一類的目的，有效地促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.在講評課中落實(shí)反思，從膚淺到深刻

現(xiàn)代建構(gòu)主義理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一種“授予—吸收”的過程，而是學(xué)習(xí)者主動的建構(gòu)活動.對平時學(xué)習(xí)上的易錯問題，盡管教師反復(fù)講評，對學(xué)生還是于事無補(bǔ)，以后仍“舊病復(fù)發(fā)”.其主要原因是這種平鋪直敘的講評往往使得有錯誤的學(xué)生沒有弄清問題的實(shí)質(zhì)，而處于一種“淺認(rèn)識”的階段，無法留下深刻的印象.因此在課堂教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)“有意錯誤”情境，讓學(xué)生嘗試錯誤，引導(dǎo)其反思，自我發(fā)現(xiàn)思維中存在的矛盾，自我糾錯.這樣有助于學(xué)生跨越學(xué)習(xí)高原，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)思維升華，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

B.周期為π的偶函數(shù)

D.周期為π的非奇非偶函數(shù)

這是我校高三單元考的一道試題，得分率極低.學(xué)生有以下兩種錯解.

教師沒有直接指出錯因，而是引導(dǎo)學(xué)生反思.通過反思，學(xué)生認(rèn)識到定義域會影響函數(shù)的奇偶性，也會影響函數(shù)的周期性.函數(shù)f(x)的圖象如圖4所示，周期應(yīng)該是π，故選D.

圖4

師：函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之一，忽視函數(shù)的定義域易導(dǎo)致解題失誤.

為了使學(xué)生有效克服知識理解上的偏差，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思.

反思：忽視函數(shù)的定義域可能導(dǎo)致哪些錯誤？

利用學(xué)生的錯解作為反面教材，對已完成的思維過程進(jìn)行批判性的思考，反思自我思維癥結(jié)和認(rèn)知缺陷，并通過思維對比，豁然貫通某個關(guān)節(jié)點(diǎn)，能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與批判性，提高自我監(jiān)控能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.在單元復(fù)習(xí)中增強(qiáng)反思，從經(jīng)驗(yàn)到素養(yǎng)

單元復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可或缺的一個環(huán)節(jié).學(xué)生對知識的理解，需要通過復(fù)習(xí)得以鞏固.反思能挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識的同化和遷移.因此培養(yǎng)學(xué)生的單元反思習(xí)慣是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、提升學(xué)生核心素養(yǎng)的保證.

在單元復(fù)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將本單元的概念、定理、公式、法則進(jìn)行總結(jié)，構(gòu)建本章的知識網(wǎng)絡(luò)；引導(dǎo)學(xué)生揭示相似概念、定理、公式之間的不同結(jié)構(gòu)與本質(zhì)區(qū)別；引導(dǎo)學(xué)生對做錯的作業(yè)、測試題進(jìn)行反思，并且有針對性地設(shè)計(jì)、設(shè)疑練習(xí)、改錯練習(xí).

同時，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思如下問題：⑴本單元所學(xué)的知識與以前的知識有哪些聯(lián)系？⑵本單元解決了哪些問題？這些問題是如何產(chǎn)生的？用了什么樣的研究方法？⑶本單元學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

讓學(xué)生在學(xué)完一個單元之后，為學(xué)生搭建一個交流思想與理念的平臺，能促進(jìn)學(xué)生的深度思考，使學(xué)習(xí)收到“書越讀越薄，概念越學(xué)越清，知識越來越精”的功效.

毋容置疑，學(xué)生反思能力的培養(yǎng)不可能是朝夕之功，而是長期地、持久地逐漸提升的.因此教學(xué)必須給學(xué)生留下反思的時空，使學(xué)生通過反思超越認(rèn)知層面，產(chǎn)生對自我數(shù)學(xué)認(rèn)知的再認(rèn)知，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.