江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 (221300) 田彥軍

反思是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié).反思可以是對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行歸納梳理，將現(xiàn)在學(xué)習(xí)的知識(shí)與已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，達(dá)到對(duì)知識(shí)的鞏固和再認(rèn)識(shí).當(dāng)然也要對(duì)探究學(xué)習(xí)的過程進(jìn)行反思，反思在探究活動(dòng)的過程中的得與失，反思探究的結(jié)果是否正確、探究的方法是否合理、探究的過程是否科學(xué).所以，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要注重學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，不僅有利于學(xué)生進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，不斷完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且有利于總結(jié)自己在探究活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)、方法，促進(jìn)自身全面的發(fā)展.學(xué)生不僅要對(duì)自己反思，還要對(duì)他人進(jìn)行反思，取長(zhǎng)補(bǔ)短.實(shí)際上，在開展探究學(xué)習(xí)的過程中，不可能一下抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，必須要經(jīng)過不斷的探究和反思，才能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.對(duì)探究活動(dòng)所涉及的知識(shí)進(jìn)行反思

在探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生對(duì)運(yùn)用到的知識(shí)進(jìn)行反思，所運(yùn)用的知識(shí)是不是很清楚，是不是真正理解了，是不是能在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上有了更高的認(rèn)識(shí)，是不是原來對(duì)知識(shí)的理解有偏差，是什么原因?qū)е抡J(rèn)識(shí)的偏差，在以后的學(xué)習(xí)中該注意什么.通過對(duì)知識(shí)的反思,學(xué)生不僅鞏固了以前學(xué)過的知識(shí)，而且對(duì)原有知識(shí)的理解更加深刻，記憶更加清楚，豐富自己的知識(shí)結(jié)構(gòu).如果學(xué)生沒有對(duì)探究學(xué)習(xí)中所涉及的知識(shí)進(jìn)行反思，那么對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)是膚淺的，運(yùn)用知識(shí)去解決問題時(shí)就有可能出錯(cuò).

案例1 如果lgx=lga+3lgb-5lgc，那么( ).

學(xué)生誤解的原因是根本沒有真正掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，不知道對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是怎么來的.所以，對(duì)于對(duì)數(shù)運(yùn)算法則理解不到位，和以前學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則混淆了，在運(yùn)用法則去運(yùn)算時(shí)出錯(cuò)是必然的.要避免這種現(xiàn)象的發(fā)生，就必須讓學(xué)生真正探究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并反思這種運(yùn)算性質(zhì)與以前學(xué)習(xí)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些區(qū)別，抓住對(duì)數(shù)運(yùn)算的精髓，才能掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)含義.

2.對(duì)探究活動(dòng)中的思維過程進(jìn)行反思

在一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)結(jié)束后，應(yīng)該慢一些、停下來，讓學(xué)生回味在探究的過程中的所想所做.如在進(jìn)行操作時(shí)是怎么想的,為什么這樣想，想了哪些問題,這些問題有研究的價(jià)值嗎，在操作驗(yàn)證的過程中又遇到了哪些新的問題，這些問題怎么解決，這種方法為什么沒有想到，是什么原因阻礙了思維的發(fā)展等等.這樣的反思可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,可以逐漸提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng),也是新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)發(fā)展人才的要求.

案例2:求證：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).

圖1

只需要證明|PO|2=|PF1|·|PF2|即可.

學(xué)生經(jīng)過幾分鐘的計(jì)算.

師：好算嗎？

生：計(jì)算有點(diǎn)復(fù)雜.

師：你有什么好辦法嗎？(學(xué)生小組討論)

生：利用雙曲線的定義將|PF2|=

師：很好！請(qǐng)給這位同學(xué)掌聲，這樣可以簡(jiǎn)化化簡(jiǎn)的過程.

學(xué)生又經(jīng)過幾分鐘的計(jì)算.

師：好算嗎？

生：還是不太好算.

師：將|PF1|·|PF2|與|PO|2的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比， 你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：|PO|2的結(jié)果沒有根號(hào)，把根號(hào)去掉試試，將根號(hào)下的式子配成完全平方.

學(xué)生繼續(xù)計(jì)算.

師：怎么樣？配出來了嗎？

生：利用等軸雙曲線的方程得y2=x2-a2，將根號(hào)中的y2換掉，就可以配成完全平方了.

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生的思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)的成功就是學(xué)生思維品質(zhì)的形成和思維能力的提高．在數(shù)學(xué)課堂上要盡可能讓數(shù)學(xué)思維得到真實(shí)、自然的展現(xiàn). 只有讓學(xué)生親自經(jīng)歷探究帶來的困惑，才能促使學(xué)生反思推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)如何化繁為簡(jiǎn)的，把推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的思維遷移到這道題目上來，從而達(dá)到解決問題的目的.如果在學(xué)習(xí)《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一課時(shí)，課后沒有進(jìn)行反思，在解決上面的問題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)偏差，解題必然受阻.所以，對(duì)思維過程進(jìn)行反思，是使探究學(xué)習(xí)成為有意義學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).

3.對(duì)探究活動(dòng)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，蘊(yùn)含了很多的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生想要很好的掌握這些思想方法就要在探究學(xué)習(xí)的過程中體會(huì)、領(lǐng)悟、應(yīng)用.如果教師直接告訴學(xué)生這里體現(xiàn)了什么思想方法的話，那么學(xué)生的理解不可能深刻，當(dāng)遇到需要利用這種數(shù)學(xué)思想方法解決問題時(shí)，學(xué)生還會(huì)很茫然.所以，學(xué)生要在探究學(xué)習(xí)的過程中，通過不斷地“反思—實(shí)踐—反思”，歸納出這種數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn)，才能更好地掌握、運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

案例3:橢圓的幾何性質(zhì)

(1)自主先學(xué)、小組討論

我們從哪幾個(gè)方面來研究橢圓的幾何性質(zhì)？怎樣來研究？

生1：從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率四個(gè)方面來研究.

(2)交流展示

生2：我是從圖形來研究橢圓的性質(zhì)的.根據(jù)圖形我們可以發(fā)現(xiàn)橢圓位于直線x=±a和y=±b的矩形里.

生4：將橢圓分別沿著x,y軸對(duì)折重合，說明橢圓關(guān)于x,y軸對(duì)稱；將橢圓的一半拿起來繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°重合，說明橢圓關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

生6：觀察橢圓，可以發(fā)現(xiàn)有四個(gè)頂點(diǎn)，分別令x=0，y=0求得坐標(biāo)為(±a,0),(0,±b).

(3)質(zhì)疑拓展

師：剛才幾位同學(xué)說的很好.有的同學(xué)利用代數(shù)的方法來研究橢圓的性質(zhì)，如生1和生3，有的同學(xué)利用幾何的方法來研究幾何性質(zhì)，如生2和生4，還有的既利用代數(shù)的方法，又利用幾何的方法，如生5和生6，這就是我們熟悉的數(shù)形結(jié)合的思想，這給以后我們研究其他的曲線的幾何性質(zhì)提供了方法.對(duì)這幾條性質(zhì)你還有要補(bǔ)充的嗎？

生8：橢圓的離心率怎樣反映了橢圓的扁平程度？

師：下面我利用幾何畫板來給大家演示一下.(利用多媒體輔助教學(xué))如果a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，這時(shí)就是圓了.

正如華羅庚先生所言，“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合無限好，割裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與幾何直觀、位置關(guān)系相互結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化.研究橢圓的幾何性質(zhì)的過程中充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，使得探究出來的性質(zhì)既形象又具體，由從“形”的感性認(rèn)識(shí)上升到“數(shù)”的理性認(rèn)識(shí)，為后續(xù)探究其他曲線性質(zhì)或者解決問題提供了方法指導(dǎo).

總之，在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生要不斷反思自己所學(xué)、所想、所做，才能深入數(shù)學(xué)內(nèi)部，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握知識(shí)的真諦，提高思維水平，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的真正提升.