浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

1.考題展示

(2019年高考浙江卷第21題)如圖1所示，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)．記△AFG，△CQG的面積分別為S1,S2．

圖1

(Ⅰ)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

分析：本題以拋物線為載體，主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、重心與面積等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．本題設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導(dǎo)思想，凸顯了數(shù)學(xué)試題的選拔功能．

由于問題(Ⅰ)較為簡(jiǎn)單，本文不作討論，下面僅對(duì)問題(Ⅱ)進(jìn)行探究．

2.解法優(yōu)化

優(yōu)解1：借助重心性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)面積比的代數(shù)表示

優(yōu)解2：回歸向量本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)面積比的代數(shù)表示

向量具有代數(shù)、幾何雙重身份，融數(shù)形于一體，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁．它可以將幾何問題坐標(biāo)化、數(shù)量化，因此它也是解決解析幾何問題的重要工具．

評(píng)注：在探究解題思路時(shí)，要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識(shí)的聯(lián)系，在平面解析幾何中涉及長(zhǎng)度、面積(比)、角度的計(jì)算及有關(guān)平行、三點(diǎn)共線、垂直等位置關(guān)系問題時(shí)，都可以利用向量知識(shí)加以解決．

3.多向拓廣

拋物線與橢圓、雙曲線“同宗同源”，那么橢圓、雙曲線是否具有上述類似結(jié)論成立？回答仍是肯定的．

4.本源探究

燕尾定理：如圖2所示，在ΔABC中，AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)O，那么SΔAOB:SΔAOC=BD:CD．

圖2

燕尾定理給出了一個(gè)轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)棣OB和ΔAOC合起來的圖形的形狀很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它為三角形面積比與對(duì)應(yīng)底邊比提供了互相聯(lián)系的途徑．

圖3

評(píng)注：可以看出，拓廣4是考題的命題本質(zhì)，高考試題將這個(gè)本質(zhì)放在圓錐曲線中，賦予更豐富的圖形與知識(shí)，進(jìn)而考查直線與圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等思想與能力．(拓廣1～3的證明，仿上述證法即可．)

事實(shí)上，解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題，解題時(shí)要充分把握解析幾何中圖形的特征，緊扣其中關(guān)鍵的幾何要素，挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效．

5.變式提升

變式2 如圖4所示，過拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P作拋物線的切線l交x軸于Q，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線l相切于點(diǎn)M．

圖4

解題是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)以后解題過程中快速提取信息應(yīng)該是幫助很大的，而有針對(duì)性地進(jìn)行變式訓(xùn)練，則是解題經(jīng)驗(yàn)自覺積累的有效途徑．如在完成上面的高考問題探究后，若我們能從結(jié)論或條件的適當(dāng)變化中編擬出一些問題，就可以鞏固方法，辨析異同，提升能力．

對(duì)高考試題的再探究，不僅能使教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的，還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．