何濟(jì)滄 劉齊文 沈 強(qiáng) 劉立勝

（1 武漢理工大學(xué)新材料力學(xué)理論與應(yīng)用湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070）

（2 武漢理工大學(xué)材料復(fù)合新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070）

0 引言

預(yù)測(cè)多相復(fù)合材料的有效彈性模量一直是一個(gè)經(jīng)典、重要而富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，在所有與力學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域都有應(yīng)用［1-6］。眾所周知，多相復(fù)合材料的有效彈性模量不僅取決于各組分相應(yīng)的彈性性能和體積分?jǐn)?shù)，還與其細(xì)觀結(jié)構(gòu)有關(guān)。

Al/Al2O3梯度功能材料是一種先進(jìn)的多相復(fù)合材料，由于其具有密度小、耐高溫、耐磨損、抗熱震等特點(diǎn)，被廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)代航天工業(yè)中［7］。Al/Al2O3梯度功能材料中各組分材料的彈性模量相差較大，細(xì)觀結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，在制造和運(yùn)輸?shù)倪^(guò)程中還極易產(chǎn)生孔隙，導(dǎo)致其彈性模量的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)較為困難，受到了許多專家學(xué)者的關(guān)注。MOON 等［8］對(duì)比了多種預(yù)測(cè)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的方法，發(fā)現(xiàn)采用適當(dāng)微觀結(jié)構(gòu)形狀因子的EMA方法計(jì)算的結(jié)果更加準(zhǔn)確。WANG 等［9］在預(yù)測(cè)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的時(shí)候發(fā)現(xiàn)細(xì)觀孔隙的影響是不可忽略的。SENTHIL 等［10］利用漸近均勻化方法預(yù)測(cè)了Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量，預(yù)測(cè)的彈性模量與自洽方法的結(jié)果十分接近。

而對(duì)于多孔復(fù)合結(jié)構(gòu)等效彈性模量的預(yù)測(cè)，漸近均勻化方法已經(jīng)經(jīng)歷了20 多年的發(fā)展。早在1997年，HASSANI 等［11］就已經(jīng)開(kāi)始利用漸近均勻化方法對(duì)周期性多孔復(fù)合結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行了預(yù)測(cè)。莊守兵等［12］把漸近均勻化理論應(yīng)用于多孔材料彈性本構(gòu)的數(shù)值模擬，通過(guò)對(duì)正方形孔洞蜂窩材料有效模量的計(jì)算比較，表明漸近均勻化方法可以得到較準(zhǔn)確的有效彈性模量。張斌［13］利用漸近均勻化理論測(cè)定了松質(zhì)骨的彈性模量，通過(guò)多項(xiàng)式擬合得到了表觀密度與等效彈性模量之間的數(shù)值關(guān)系。張新等［14］利用漸近均勻化方法預(yù)測(cè)了多孔混凝土的等效彈性模量，計(jì)算結(jié)果表明隨機(jī)單胞模型能反映細(xì)觀的非均質(zhì)性，三維均勻化理論計(jì)算得到的等效彈性模量變化趨勢(shì)比較符合試驗(yàn)結(jié)果。

目前對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的研究?jī)H限于完美的Al/Al2O3梯度功能材料，而對(duì)于Al/Al2O3梯度功能材料中真實(shí)存在的細(xì)觀孔隙，研究還相對(duì)較少。本文利用漸近均勻化方法在研究多孔復(fù)合結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能方面的優(yōu)勢(shì)，對(duì)含細(xì)觀孔隙Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量進(jìn)行研究，分析細(xì)觀孔隙的個(gè)數(shù)、大小、位置和孔隙率對(duì)材料彈性模量的影響。最后在忽略孔隙個(gè)數(shù)等次要因素的情況下，擬合與孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)相關(guān)的含細(xì)觀孔隙Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的預(yù)測(cè)公式。

1 漸進(jìn)均勻化方法

漸近均勻化方法是利用漸近展開(kāi)和周期性假設(shè)來(lái)代替具有快速振蕩系數(shù)微分方程的一種極限理論。這種方法不僅能計(jì)算非均質(zhì)材料的宏觀物理性能，還能對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多尺度分析。目前已經(jīng)有很多研究將漸近均勻化方法運(yùn)用到各種不同材料和結(jié)構(gòu)的等效宏觀性能預(yù)測(cè)中。

隨著漸近均勻化理論的發(fā)展，在漸近均勻化方法中引入了一種更接近于實(shí)際情況的局部周期性假設(shè)，即假定非均質(zhì)材料僅在局部區(qū)域滿足周期性假設(shè)，這一假設(shè)的引入擴(kuò)大了漸近均勻化方法的使用范圍，使其能解決如梯度功能材料等更為復(fù)雜的復(fù)合材料等效模量計(jì)算［15］。

圖1 功能梯度結(jié)構(gòu)多尺度模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-scale model of functional gradient structure

圖1為一個(gè)功能梯度結(jié)構(gòu)，在宏觀位置x處周?chē)浅Ｐ〉姆秶鷥?nèi)可認(rèn)為是由單胞反復(fù)堆積形成的周期性結(jié)構(gòu)。單胞的尺度y相對(duì)于宏觀的幾何尺寸為小量。對(duì)于非均勻的材料來(lái)說(shuō)，宏觀結(jié)構(gòu)在外部作用下位移和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量將隨宏觀位置的改變而改變。同時(shí)由于細(xì)觀上的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，使得這些結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量在宏觀位置x處非常小的鄰域內(nèi)也會(huì)有很大的變化。因此所有的變量都依賴于宏觀和細(xì)觀兩種尺度，即:

式中，單胞的周期為Y，y為細(xì)觀坐標(biāo)，x為宏觀坐標(biāo)，y=x/ε。

虛功原理表示的線彈性控制微分方程為:

將位移進(jìn)行漸近展開(kāi):

將位移的漸進(jìn)展開(kāi)式代入虛功原理表示的線彈性控制方程中得:

對(duì)于任意的ε，（4）式均成立，所以位移場(chǎng)漸近展開(kāi)的第一項(xiàng)僅依賴于宏觀坐標(biāo)x，即u0k(x，y)=u0k(x)。

在u0(x)已知的情況下，則u1(x，y)可以用u0(x)表示［16］，即:

將式（4）與ε相乘，并取ε→0+和vi=vi(y)，再將（5）帶入得:

在確定的χpqk下，均勻化的彈性矩陣被求得:

將細(xì)觀單胞用有限元方法進(jìn)行離散得到均勻化問(wèn)題的有限元形式為:

式中，e是單胞ΩY區(qū)域內(nèi)離散后的單元，De是單元彈性矩陣，Be是單元應(yīng)變矩陣，χkle是相應(yīng)單元的節(jié)點(diǎn)位移。

單胞離散后，可以采用有限元形式對(duì)單元宏觀結(jié)構(gòu)的彈性性能進(jìn)行表述:

式中，DH是均勻化方法計(jì)算所得到的宏觀有效彈性矩陣，n是單胞單元總數(shù)，Ve是單元的體積，De是單元彈性矩陣，V是單胞結(jié)構(gòu)的總體積，I是單位矩陣，Se是單元應(yīng)力矩陣。

2 細(xì)觀模型

對(duì)于Al/Al2O3梯度功能材料細(xì)觀模型的構(gòu)建，采用二維高斯函數(shù)在單胞區(qū)域內(nèi)隨機(jī)疊加的方法，構(gòu)成細(xì)觀形貌函數(shù):

式中，N代表二維高斯函數(shù)的疊加次數(shù)，高斯函數(shù)中的ci∈[ - 1，1]和都為隨機(jī)數(shù)，wi是一個(gè)取決于N的空間寬度:

式中，l為單胞寬度。

通過(guò)在隨機(jī)形貌函數(shù)上確定截面值，當(dāng)f(y)≥的時(shí)候?yàn)橄?，?dāng)f(y)＜的時(shí)候?yàn)橄?，生成隨機(jī)分布的兩相非均質(zhì)材料單胞。圖2（a）是N為800，相體積分?jǐn)?shù)為40%的單胞，圖2（b）為真實(shí)Al/Al2O3梯度功能材料細(xì)觀形貌。后文中所采用的單胞尺寸均為30μm。

圖2 單胞形貌Fig.2 Single cell morphology

實(shí)際的Al/Al2O3梯度功能材料中，孔隙的形狀各式各樣，孔隙大小和位置均為隨機(jī)分布，為了對(duì)孔隙的影響進(jìn)行定量分析，假設(shè)Al/Al2O3梯度功能材料各細(xì)觀組分都是理想均勻、各向同性的彈性材料，采用不同半徑的圓孔模擬材料中的孔隙。由于材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)和隨機(jī)孔隙的位置、大小均不確定，為體現(xiàn)結(jié)果的一般性，所有的結(jié)果都為生成10 次隨機(jī)細(xì)觀結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的平均值。圖3為孔隙率為10%，Al2O3體積分?jǐn)?shù)為40%的含9 個(gè)隨機(jī)孔隙的Al/Al2O3梯度功能材料單胞網(wǎng)格模型。

圖3 單胞網(wǎng)格模型Fig.3 Single cell grid model

3 結(jié)果與討論

3.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了驗(yàn)證漸近均勻化方法計(jì)算Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的有效性和準(zhǔn)確性，將漸近均勻化方法計(jì)算未含細(xì)觀孔隙的Al/Al2O3功能梯度結(jié)構(gòu)得到的彈性模量和文獻(xiàn)［8］中實(shí)驗(yàn)得到的彈性模量進(jìn)行對(duì)比。均勻化過(guò)程中需要的Al 和Al2O3材料彈性參數(shù)如表1所示。均勻化計(jì)算得到的結(jié)果如表2所示，漸近均勻化方法求得的等效模量與實(shí)驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)相同，說(shuō)明漸近均勻化方法預(yù)測(cè)Al/Al2O3梯度功能材料的等效彈性模量是可行的。當(dāng)Al2O3體積分?jǐn)?shù)接近100%的時(shí)候均勻化計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差較小，僅為0.25%，而當(dāng)Al2O3體積分?jǐn)?shù)逐漸減小，Al 和Al2O3在細(xì)觀上形成交互結(jié)構(gòu)的時(shí)候，漸近均勻化結(jié)果相對(duì)于實(shí)驗(yàn)的結(jié)果誤差增大，最大達(dá)到了10.16%。這一結(jié)果可以歸結(jié)于兩個(gè)方面的影響:（1）當(dāng)Al 和Al2O3在細(xì)觀上形成交互結(jié)構(gòu)的時(shí)候，細(xì)觀結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，而每個(gè)樣品的細(xì)觀結(jié)構(gòu)又都是不確定的，這將增大梯度功能材料等效彈性模量的預(yù)測(cè)難度；（2）Al/Al2O3梯度功能材料中有許多的細(xì)觀孔隙，在預(yù)測(cè)梯度功能材料力學(xué)性質(zhì)的時(shí)候，忽略孔隙的存在將會(huì)使預(yù)測(cè)的彈性模量大于實(shí)際的彈性模量。

表1 材料參數(shù)［8］Tab.1 Material parameters

表2 Al/Al2O3梯度功能材料均勻化等效模量和實(shí)驗(yàn)對(duì)比Tab.2 Comparison of homogenization equivalent modulus and experiment of Al/Al2O3 FGM

3.2 細(xì)觀孔隙對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響

在細(xì)觀層面上，Al/Al2O3梯度功能材料中的孔隙各式各樣，為了研究可能的影響因素，利用漸近均勻化方法分別分析了孔隙的個(gè)數(shù)、位置、大小和孔隙率對(duì)含細(xì)觀孔隙Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響。

3.2.1 孔隙數(shù)量的影響

圖4 孔隙個(gè)數(shù)對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料均勻化等效模量的影響Fig.4 Influence of the number of pores on the homogenization equivalent modulus of Al/Al2O3 FGM

圖4為孔隙個(gè)數(shù)對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料均勻化等效模量的影響。結(jié)果表明，在孔隙率和孔隙形狀都不變的情況下，孔隙的個(gè)數(shù)對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響非常小，在任何體積分?jǐn)?shù)下，Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量變化均不超過(guò)1%。

3.2.2 孔隙位置和大小的影響

圖5展示了5%和10%孔隙率下孔隙位置和大小對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響。

圖5 孔隙位置和大小對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響Fig.5 Influence of pore location and size on the homogenization equivalent modulus of Al/Al2O3 FGM

通過(guò)比較含9 個(gè)隨機(jī)孔隙單胞與含9 個(gè)均勻孔隙單胞在不同體積分?jǐn)?shù)下彈性模量發(fā)現(xiàn):在任何體積分?jǐn)?shù)下，彈性模量含均布孔隙單胞的均高于隨機(jī)孔隙單胞的。在孔隙率為10%時(shí)，彈性模量含均布孔隙單胞的與隨機(jī)孔隙單胞的差別更大。在孔隙率為10%、Al2O3體積分?jǐn)?shù)100%時(shí)，彈性模量含均布孔隙單胞的比隨機(jī)孔隙單胞的大10.5 GPa。而在孔隙率為5%時(shí)，相同體積分?jǐn)?shù)下彈性模量含均布孔隙單胞的僅比隨機(jī)孔隙單胞的大3.2 GPa。

3.2.3 孔隙率的影響

圖6 Al/Al2O3梯度功能材料不同孔隙率下均勻化等效模量Fig.6 Homogenization equivalent modulus of Al/Al2O3 FGM with different porosity

在考慮孔隙數(shù)量、大小和位置等影響因素的基礎(chǔ)上，在不同孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)的單胞內(nèi)分別生成9 個(gè)隨機(jī)的圓形孔隙，并計(jì)算其彈性模量。圖6為不同孔隙率下Al/Al2O3梯度功能材料的均勻化等效彈性模量。

由圖6可知，隨著孔隙率的增大，含細(xì)觀孔隙Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量逐漸下降。隨著Al2O3體積分?jǐn)?shù)的增加，Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量下降的幅度越來(lái)越大。如Al2O3體積分?jǐn)?shù)為0 時(shí)，孔隙率為10.0%的Al/Al2O3梯度功能材料相對(duì)于孔隙率為0 的僅下降了15.97 GPa，而在Al2O3體積分?jǐn)?shù)為100%時(shí)，孔隙率為10.0%的Al/Al2O3梯度功能材料相對(duì)于孔隙率為0的下降了90.78 GPa。

3.3 Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量預(yù)測(cè)公式

由于孔隙的數(shù)量對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的影響很小，而實(shí)際的Al/Al2O3梯度功能材料內(nèi)部的孔隙都是隨機(jī)分布的，利用不同孔隙率和體積分?jǐn)?shù)下含9 個(gè)隨機(jī)孔隙單胞的等效彈性模量擬合出了一個(gè)關(guān)于孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)的彈性模量預(yù)測(cè)公式。圖7為彈性模量與孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)關(guān)系的示意圖。

圖7 彈性模量與孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)關(guān)系的示意圖Fig.7 Schematic diagram of relationship between elastic modulus and porosity and Al2O3 volume fraction

式中，V為Al2O3的體積分?jǐn)?shù)，p為孔隙率，E為彈性模量。公式（12）僅在孔隙率小于10%的情況下有效。

4 結(jié)論

基于漸近均勻化方法對(duì)含細(xì)觀孔隙Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量進(jìn)行了研究，在忽略孔隙個(gè)數(shù)等次要因素的情況下，擬合得到了與孔隙率和Al2O3體積分?jǐn)?shù)相關(guān)的含細(xì)觀孔隙的Al/Al2O3梯度功能材料彈性模量的預(yù)測(cè)公式。并通過(guò)分析孔隙個(gè)數(shù)、大小、位置和孔隙率對(duì)梯度功能材料彈性模量的影響得到了以下結(jié)論:

（1）預(yù)測(cè)Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量時(shí)，忽略孔隙的影響將會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)的彈性模量值偏大；

（2）在相同孔隙率下，孔隙個(gè)數(shù)對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量影響不大，孔隙的大小和位置對(duì)Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量有著明顯的影響，在各個(gè)體積分?jǐn)?shù)下，彈性模量含隨機(jī)分布孔隙的單胞均小于均勻分布孔隙的單胞；

（3）隨著孔隙率的增加，Al/Al2O3梯度功能材料的彈性模量在任何體積分?jǐn)?shù)下均減小，且下降幅度隨著Al2O3體積分?jǐn)?shù)的增加而變大。