劉勝，牛鴻敏，張?zhí)m勇，郭曉杰

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在工程設(shè)計(jì)中，非線性濾波問題普遍存在于信號(hào)處理、目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域，對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，要得到精確的最優(yōu)解較為困難，需要精確已知系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)狀態(tài)分布。傳統(tǒng)的線性濾波方法[1]不能滿足非線性系統(tǒng)的濾波要求，因此需要對(duì)濾波方法進(jìn)行改進(jìn)以滿足非線性系統(tǒng)濾波要求，提高濾波精度。一般常用的非線性濾波方法包括擴(kuò)展卡爾曼濾波，無跡卡爾曼濾波和粒子濾波等。

擴(kuò)展卡爾曼濾波結(jié)構(gòu)簡單，易于執(zhí)行，但是該算法采用一階泰勒級(jí)數(shù)對(duì)非線性方程進(jìn)行線性局部近似，因此對(duì)于階段誤差較為敏感，對(duì)于高階系統(tǒng)進(jìn)行線性近似會(huì)帶來較大的誤差[2-4]。無跡卡爾曼濾波采用UT變換，以確定性采樣策略逼近非線性系統(tǒng)的狀態(tài)后驗(yàn)分布，雖然能夠減少非線性產(chǎn)生的誤差影響[5-6]，但其容易受到初始觀測(cè)誤差和參數(shù)變化的影響，當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較高時(shí)，可能導(dǎo)致濾波發(fā)散等現(xiàn)象。粒子濾波以不確定采樣方法逼近狀態(tài)的條件概率密度函數(shù)，能夠處理任意非線性和非高斯的估計(jì)問題，但粒子濾波實(shí)現(xiàn)過程中計(jì)算量大，不適用于反應(yīng)速度快的反饋控制系統(tǒng);并且隨著迭代次數(shù)的增加，容易產(chǎn)生粒子退化和局部最優(yōu)的問題。近年來，容積非線性卡爾曼濾波的發(fā)展受到廣泛的關(guān)注[7]，為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)提供新的實(shí)現(xiàn)方式。容積卡爾曼濾波使用容積數(shù)值積分原則計(jì)算非線性變換后的隨機(jī)變量的均值和協(xié)方差，采用一組等權(quán)值的容積點(diǎn)對(duì)最優(yōu)狀態(tài)的后驗(yàn)分布進(jìn)行逼近，相比于其他非線性卡爾曼濾波具有更高的非線性逼近性能和估計(jì)精度，并且其運(yùn)行速度快。

標(biāo)準(zhǔn)容積卡爾曼濾波 (cubature Kalman filter, CKF)算法設(shè)計(jì)需要已知精確的系統(tǒng)模型，然而實(shí)際情況下，噪聲為非零均值、非高斯噪聲，系統(tǒng)往往受到外界環(huán)境干擾以及計(jì)算機(jī)計(jì)算字長限制等，不可避免地存在非高斯非零均值的噪聲以及系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的情況，影響濾波的穩(wěn)定性和精度。因此，近年來一些學(xué)者提出了平方根容積卡爾曼濾波方法[8-9]來避免系統(tǒng)發(fā)散，然而其計(jì)算復(fù)雜，濾波速度受到限制。進(jìn)而，為了提高濾波系統(tǒng)的魯棒性，H∞濾波方法被提出[10]，H∞濾波基于魯棒理論設(shè)計(jì)，對(duì)于系統(tǒng)的攝動(dòng)和未知特性具有一定的魯棒性，近年來一些學(xué)者結(jié)合擴(kuò)展卡爾濾波、無跡卡爾曼濾波應(yīng)用到電機(jī)以及電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)等，取得了較好的效果[11-15]。

此外，在實(shí)際工程問題中系統(tǒng)的先驗(yàn)噪聲統(tǒng)計(jì)特性往往不能準(zhǔn)確獲得，如果直接應(yīng)用到CKF算法中，將引起較大的誤差。為了對(duì)未知噪聲特性進(jìn)行估計(jì)，噪聲統(tǒng)計(jì)估值器和基于極大后驗(yàn)估計(jì)的方法得到應(yīng)用[16-18]，然而其遞推迭代過程計(jì)算量大，并且估值器對(duì)噪聲方差的初始值敏感。模糊自適應(yīng)通過設(shè)計(jì)模糊規(guī)則，根據(jù)估計(jì)誤差自適應(yīng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性，其對(duì)噪聲方差的初值不敏感，并且在存在較大估計(jì)誤差的情況下，也能實(shí)現(xiàn)較好的估計(jì)效果[19-20]。

因此，本文提出一種模糊自適應(yīng)H∞容積卡爾曼濾波方法(H∞Kalman filtering, HCKF)，對(duì)系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，使得濾波算法對(duì)噪聲特性具有一定的自適應(yīng)能力，并且對(duì)于系統(tǒng)的模型攝動(dòng)和不確定噪聲具有魯棒性，提高濾波的收斂速度和穩(wěn)定性。

1 問題描述

考慮如下非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(1)

式中：xk∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)向量；zk∈Rl為系統(tǒng)的觀測(cè)輸出向量；uk∈Rp為控制輸入向量，假設(shè)過程噪聲wk-1和量測(cè)噪聲vk相互獨(dú)立，且均值和方差滿足：

(2)

容積卡爾曼濾波算法將非線性濾波歸結(jié)為求解非線性函數(shù)與高斯概率密度乘積的積分問題，并采用一組等權(quán)值的2n個(gè)容積點(diǎn)對(duì)狀態(tài)后驗(yàn)概率密度進(jìn)行逼近。使用三階容積原則獲得的基本容積點(diǎn)和所對(duì)應(yīng)的權(quán)值:

(3)

(4)

2 H∞的容積卡爾曼濾波

實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中，非線性系統(tǒng)存在參數(shù)攝動(dòng)、未知輸入、觀測(cè)噪聲和系統(tǒng)噪聲為非零均值非高斯等情況，從而影響容積卡爾曼濾波性能和穩(wěn)定性。與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波最小化誤差均方差不同，H∞卡爾曼濾波是基于最小化最大估計(jì)誤差協(xié)方差進(jìn)行設(shè)計(jì)的。因此，采用H∞卡爾曼濾波與容積卡爾曼濾波相結(jié)合，提高系統(tǒng)對(duì)不確定擾動(dòng)、噪聲的魯棒性和估計(jì)精度。H∞容積卡爾曼濾波設(shè)計(jì)分為以下4個(gè)步驟。

1)時(shí)間更新。

進(jìn)行容積點(diǎn)的計(jì)算，通過非線性函數(shù)進(jìn)行容積點(diǎn)傳播，以及計(jì)算預(yù)測(cè)狀態(tài)向量和系統(tǒng)協(xié)方差矩陣。

初始化系統(tǒng)狀態(tài)及誤差協(xié)方差，系統(tǒng)噪聲均值和方差，測(cè)量噪聲均值和方差:

(5)

(6)

設(shè)期望獲取的觀測(cè)信息為:

yk=Ckxk

(7)

若Ck=I，則實(shí)際獲取的觀測(cè)量為全部狀態(tài)輸出量。根據(jù)式(4)產(chǎn)生基本容積點(diǎn)，采用Cholesky方法對(duì)協(xié)方差進(jìn)行分解：

Sk-1|k-1=Chol(Pk-1|k-1)

(8)

計(jì)算容積點(diǎn)：

(9)

計(jì)算通過狀態(tài)函數(shù)傳播的容積點(diǎn)：

(10)

計(jì)算狀態(tài)估計(jì)值：

(11)

計(jì)算估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣：

(12)

2)測(cè)量更新。

對(duì)容積點(diǎn)進(jìn)行更新，通過量測(cè)方程傳播容積點(diǎn)，預(yù)測(cè)觀測(cè)向量及協(xié)方差。

首先對(duì)誤差協(xié)方差進(jìn)行分解：

(13)

計(jì)算更新容積點(diǎn)：

(14)

計(jì)算通過量測(cè)方程傳播的容積點(diǎn)：

(15)

進(jìn)行量測(cè)預(yù)測(cè)：

i=1,2,…,L

(16)

計(jì)算新息的方差矩陣：

(17)

計(jì)算估計(jì)協(xié)方差矩陣：

(18)

3)為了便于進(jìn)行H∞濾波器設(shè)計(jì)，將容積卡爾曼濾波通過統(tǒng)計(jì)線性化等效為線性回歸形式。通過將統(tǒng)計(jì)線性化應(yīng)用于狀態(tài)方程和測(cè)量方程，得到線性化近似形式。

證明：將非線性函數(shù)g=σ(y)在L個(gè)容積點(diǎn)(χi,ζi)處傳遞:

ζi=σ(χi)，i=1,2,…,L

(19)

設(shè)非線性函數(shù)通過統(tǒng)計(jì)線性化近似為：

g=Ay+B+μ

(20)

(21)

μi=ζi-(Ayi+B)

(22)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)分別對(duì)A、B求導(dǎo)，得：

(23)

得到：

(24)

(25)

從而計(jì)算得到估計(jì)誤差方差陣為：

(26)

(27)

現(xiàn)通過求取期望值以及統(tǒng)計(jì)線性模型近似方法求得模型的后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即：

(28)

(29)

因此可以得出通過統(tǒng)計(jì)線性化推導(dǎo)出的形式與通過容積點(diǎn)傳播得到的均值和誤差方差相同。

(30)

Fk=(PxX′,k|k-1)T(Pxx,k-1|k-1)-1

(31)

(32)

式中δk-1為統(tǒng)計(jì)線性近似誤差。

同理對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)等效線性化得到統(tǒng)計(jì)回歸矩陣：

(33)

(34)

式中εk為統(tǒng)計(jì)線性近似誤差，用于補(bǔ)償系統(tǒng)的非線性項(xiàng)：

(35)

4)H∞容積卡爾曼濾波設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器對(duì)濾波器估計(jì)誤差進(jìn)行限制，保證估計(jì)誤差有界，在任意wk、vk、x0的情況下，使得觀測(cè)信息誤差最小化，盡量減少估計(jì)誤差上界。設(shè)計(jì)濾波器滿足：

(36)

(37)

則:

(38)

將式(36)轉(zhuǎn)化為不定式形式:

(39)

進(jìn)行狀態(tài)更新:

(40)

(41)

Pxx,k|k-1

(42)

(43)

為了表示誤差協(xié)方差和調(diào)整參數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用矩陣求逆定理將式(42)求逆得到:

(44)

β為調(diào)節(jié)因子，權(quán)衡H∞濾波和最小均方根性能。

為了保證誤差方差的正定性，滿足:

(45)

即

(46)

式中eig(·)代表均值的特征值。

噪聲協(xié)方差矩陣對(duì)算法的穩(wěn)定性有著重要影響。為了保證濾波算法的穩(wěn)定性，許多學(xué)者通過在誤差方差和新息方差矩陣中引入附加的正定矩陣[16]：

Qk-1+ΔQk-1

(47)

通過增大Qk來增強(qiáng)穩(wěn)定性。然而其會(huì)增大誤差方差陣Pxx,k|k-1，同時(shí)增大增益矩陣Kk，影響估計(jì)精度。

3 模糊自適應(yīng)H∞容積卡爾曼濾波

標(biāo)準(zhǔn)的容積卡爾曼濾波需要假設(shè)噪聲的均值為零，且精確已知噪聲統(tǒng)計(jì)特性。一般情況下過程噪聲和觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不易準(zhǔn)確獲得。較大的Qk-1，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但估計(jì)精度下降；而Qk-1較小，則會(huì)是濾波器不穩(wěn)定，從而降低濾波性能。因此采用模糊規(guī)則對(duì)過程噪聲和觀測(cè)噪聲進(jìn)行估計(jì)，通過增強(qiáng)對(duì)噪聲的自適應(yīng)力來提高濾波精度和收斂速度。

設(shè)過程噪聲方差和測(cè)量噪聲方差的模糊自適應(yīng)律為：

(48)

(49)

(50)

(51)

則自適應(yīng)H∞容積卡爾曼濾波系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1。

圖1 模糊自適應(yīng)HCKF系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of the fuzzy adaptive HCKF system

4 仿真分析

為了驗(yàn)證模糊自適應(yīng)HCKF算法的有效性，選用以下一般非線性系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，假設(shè)系統(tǒng)的過程噪聲和觀測(cè)噪聲不準(zhǔn)確，采用標(biāo)準(zhǔn)的CKF和模糊自適應(yīng)HCKF的算法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)比較，并驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)線性化的有效性，從而具有一定的普遍性和適用性。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

x(k)=0.5x(k-1)+8cos(1.2(k-1))+

w(k)+2.5x(k-1)/(1+x2(k-1))

(52)

觀測(cè)方程為：

z(k)=x2(k)/20+v(k)

(53)

首先對(duì)統(tǒng)計(jì)線性化算法(30)～(35)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計(jì)特性為q=0，r=0，Q=0.06，R=0.01，P0=10。仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

從圖2和圖3的仿真結(jié)果可以得出，通過統(tǒng)計(jì)線性化方法對(duì)非線性系統(tǒng)的近似可以達(dá)到較好的效果，近似值與真實(shí)值基本相符，誤差較小，因此可以通過統(tǒng)計(jì)線性化方法來近似非線性系統(tǒng)，從而進(jìn)一步進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)研究和分析。

圖3 統(tǒng)計(jì)線性化近似誤差Fig.3 Error of approximation

圖2 統(tǒng)計(jì)線性化近似Fig.2 Statistical linearization approximation

為了驗(yàn)證模糊自適應(yīng)HCKF算法的有效性和魯棒性，分別采用標(biāo)準(zhǔn)的容積卡爾曼濾波及模糊自適應(yīng)HCKF濾波方法在以下2種情況下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

Case1：q=0，r=0，Q=0.06，R=0.01。

Case2：q=0.4，r=0.2，Q=0.06，R=0.01。

Case3：q=0.4，r=0，Q=0.06，R=0.01。

Case4：q=0，r=0.2，Q=0.06，R=0.01。

實(shí)際的噪聲協(xié)方差為Qe=0.05，Ra=0.01，采用模糊自適應(yīng)算法對(duì)噪聲協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)。由于篇幅限制，本文僅給出Case1和Case2的結(jié)果仿真圖。Case1，Case2，Case3和Case4的仿真誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果在表中給出，以進(jìn)行結(jié)果對(duì)比，得出相關(guān)結(jié)論。

在Case 1 情況下對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)比較，在CKF和模糊自適應(yīng)HCKF 2種算法下的估計(jì)結(jié)果和估計(jì)誤差如圖4、圖5所示。

圖4 Case 1情況下不同濾波方法估計(jì)Fig.4 Estimation of different filtering method of Case 1

圖5 Case 1情況下不同濾波方法的估計(jì)誤差Fig.5 The estimation error of different filtering method of Case 1

在Case 2 情況下對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，在CKF和模糊自適應(yīng)HCKF這2種算法下的估計(jì)結(jié)果和估計(jì)誤差如圖6及圖7所示。

圖6 Case 2情況下不同濾波方法估計(jì)Fig.6 Estimation of different filtering method of Case 2

圖7 Case 2情況下不同濾波方法的估計(jì)誤差Fig.7 The estimation error of different filtering method of Case 2

從仿真結(jié)果圖3～圖6研究中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲均值為零時(shí)，模糊自適應(yīng)HCKF和CKF 算法的估計(jì)效果相當(dāng)，估計(jì)誤差均值和均方差相差較少，都能較好的估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)值；當(dāng)系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲均值不為零時(shí)，模糊自適應(yīng)HCKF 的估計(jì)效果優(yōu)于CKF。

為了便于更精確的比較2種算法的估計(jì)結(jié)果，本文分別對(duì)2種算法的誤差均值和誤差均方差值進(jìn)行計(jì)算和比較，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

(54)

(55)

由表1和表2可知，在分別存在系統(tǒng)噪聲、觀測(cè)噪聲以及同時(shí)存在系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲的情況下，HCKF誤差均值和均方根值小于標(biāo)準(zhǔn)容積卡爾曼，因而提出的HCKF濾波方法能夠有效的減少噪聲產(chǎn)生的影響，在存在非零均值噪聲情況下具有一定的魯棒性和較高的估計(jì)精度，并且在噪聲統(tǒng)計(jì)特性不準(zhǔn)確的情況下，模糊自適應(yīng)可以有效的估計(jì)不準(zhǔn)確的噪聲協(xié)方差，提高估計(jì)效率和收斂速度，防止濾波發(fā)散。

表1 Case 1和Case 2的估計(jì)誤差及均方差Table 1 The AVE and RMSE of Case 1and Case 2

表2 Case 3和Case 4的估計(jì)誤差及均方差Table 2 The AVE and RMSE of Case 3 and Case 4

5 結(jié)論

1)在濾波過程中，在存在噪聲統(tǒng)計(jì)特性不準(zhǔn)確及非零均值噪聲協(xié)方差的情況下，與標(biāo)準(zhǔn)的容積卡爾曼濾波相比，本文提出模糊自適應(yīng)HCKF能夠更好的估計(jì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)值，具有較高的估計(jì)精度和魯棒性。

2)提出的模糊自適應(yīng)規(guī)則能夠較好的估計(jì)不準(zhǔn)確的噪聲協(xié)方差，從而避免濾波發(fā)散，提高收斂速度。

3)本文提出的濾波方法可以較好地推廣到任意非線性系統(tǒng)，應(yīng)用廣泛，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。