葉立軍 戚方柔

[摘要]針對2019年高考函數(shù)試題，從定量與定性角度分析試題特征，得出結(jié)論：函數(shù)試題立足雙基，考查學(xué)科素養(yǎng);強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)的融合，考查綜合應(yīng)用能力;試題突出創(chuàng)新性，考查創(chuàng)新能力。由此提出教學(xué)啟示：聚焦四基四能，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng);強(qiáng)化項(xiàng)目學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生深度思考;注重思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞]函數(shù);高考題;教學(xué)探析

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的基本數(shù)學(xué)語言和工具，同時(shí)也是解決實(shí)際問題的基本數(shù)學(xué)模型。作為貫穿高中課程的主線，函數(shù)的知識、觀點(diǎn)和思想方法支撐了高中數(shù)學(xué)的知識體系，是高考數(shù)學(xué)命題的重要內(nèi)容之一。通過對高考函數(shù)試題研究，探析函數(shù)的核心內(nèi)容和思想方法。有助于教師在教學(xué)中落實(shí)雙基的同時(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1 高考函數(shù)試題特征

1.1 試題分布、分值特征

由于函數(shù)所涉內(nèi)容的廣泛性，本文研究的函數(shù)試題內(nèi)容為：函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和函數(shù)應(yīng)用。對2019年全國卷I、卷Ⅱ、卷Ⅲ及北京、天津、浙江、江蘇和上海五省的自主命題卷進(jìn)行分析，其中函數(shù)試題在試卷中的位置分布、分值等基本特征如表l所示。

由表1，函數(shù)在高考卷中占據(jù)較大的比重，無論是全國卷或是自主命題卷，函數(shù)的分值都不低于30分，且占總分值的20%-35%，其中浙江卷尤為明顯，比重為34%，可見函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中不可忽視的重要地位此外，函數(shù)試題基本貫穿高考卷中的各個(gè)題型，且以函數(shù)為背景的填空題和解答題通常在壓軸的位置中出現(xiàn)，比如江蘇卷第14題（填空最后一題）、浙江卷第22題、天津卷（理科）第20題，不僅呈現(xiàn)函數(shù)題型廣的特點(diǎn)，也同時(shí)體現(xiàn)了其基礎(chǔ)性和難度性

1.2 文、理科試題特征

對全國卷I、卷Ⅱ、卷Ⅲ、北京和天津的文、理科試題進(jìn)行分析，分別從試題考查水平、包含知識點(diǎn)數(shù)量、背景水平3個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

1.2.1 試題考查水平（X）

由上表，我們繪制文、理科試題難度統(tǒng)計(jì)圖，如圖1.

由上圖，我們發(fā)現(xiàn)文、理科難度差異明顯，其中全國卷Ⅱ的難度差異最大。全國I和全國卷Ⅲ差異最小，且各地理科卷難度高于文科，內(nèi)容上差異主要體現(xiàn)在解答題第二問上。高考題的考查水平主要集中在“運(yùn)用”和“探究”上，且理科試題在這兩方面的題量略多于文科。在知識點(diǎn)數(shù)量上，文、理科試題的知識點(diǎn)數(shù)量主要集中在3個(gè)左右，表明高考題的綜合性顯著，對學(xué)生分析問題、解決問題的綜合應(yīng)用能力要求較高。在試題背景上，高考題主要以無背景為主，全國卷Ⅱ（理）在選擇題第4題以航天技術(shù)為背景，體現(xiàn)學(xué)科整合，考查學(xué)生的綜合能力和素養(yǎng)。

但值得一題的是，文、理科在差異性的基礎(chǔ)上，也存在較強(qiáng)的一致性。兩者試題的題號相同或接近，特別是解三角形類的解答題。北京文、理卷的函數(shù)解答題除一小問外，其它均相同：天津卷的函數(shù)選擇題兩題完全相同：全國卷I的解答題主題目、全國卷Ⅲ的解答題第一題及第二題的第（1）問均相同。文科和理科的差異正在縮小，這體現(xiàn)了新課改的理念，為逐步實(shí)現(xiàn)文、理不分科作鋪墊。

2 高考函數(shù)試題命題特征

2.1 立足雙基，考查學(xué)科素養(yǎng)

掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）和圖象是函數(shù)內(nèi)容的主干知識，也是基本內(nèi)容，該部分高考題考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和對函數(shù)思想方法的掌握。這對發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)起到了基礎(chǔ)性的關(guān)鍵作用。試題立足雙基，從易到難分布，主要從邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等方面考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例3 （2019年全國卷Ⅱ理4）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L₂點(diǎn)的軌道運(yùn)行。L₂點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上。設(shè)地球質(zhì)量為M₁，月球質(zhì)量為M₂地月距離為R，L₂點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

思考與分析 上述例1、2試題對函數(shù)的基本內(nèi)容進(jìn)行考查，針對周期性、奇偶性和函數(shù)圖象命題，要求學(xué)生掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖象表示法，使圖象和性質(zhì)形成對應(yīng)關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想。一般以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，難度起點(diǎn)低。例3以物理背景為載體，試題新穎，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、方程思想、建模思想以及運(yùn)算能力，有效考查雙基下學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和能力。

例1至例5函數(shù)試題考查學(xué)生對函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等基礎(chǔ)知識，判斷零點(diǎn)問題等基本技能的掌握，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，明晰函數(shù)與方程之間的有機(jī)聯(lián)系等，強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，以及對數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，而避免繁瑣的計(jì)算。函數(shù)試題的難度變化主要表現(xiàn)在分類討論的嚴(yán)密性和復(fù)雜性、函數(shù)各性質(zhì)的交匯度以及運(yùn)算的技巧性上等等，有效考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

2.2 強(qiáng)調(diào)知識的融合，考查綜合應(yīng)用能力

函數(shù)所涉知識點(diǎn)較多，高考題常以函數(shù)為載體，整合方程、不等式、線性規(guī)劃和解析幾何等知識，構(gòu)建關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。除融合其它專題知識，試題同樣強(qiáng)調(diào)函數(shù)各分支內(nèi)容的交匯和滲透，常綜合函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)與切線、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等，支撐起龐大的知識體系，考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力。

思考與分析 本題主要考查函數(shù)的綜合問題，包括分段函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題，可分類討論或參數(shù)分離。不僅考查函數(shù)本身的性質(zhì)，同時(shí)涉及了函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式，要求學(xué)生能夠綜合所學(xué)的知識、方法，滲透函數(shù)方程思想對問題進(jìn)行邏輯推理。

思考與分析 本題以函數(shù)為載體，將幾何關(guān)系與代數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，從簡單的垂直過渡到函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，結(jié)合函f（x）的圖象，判斷點(diǎn)P、Q所在的曲線，并將P、Q理解為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，減少運(yùn)算量。考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力和空間想象能力。

例6、例7通過綜合設(shè)計(jì)試題，將各知識點(diǎn)進(jìn)行融合考查，強(qiáng)化知識體系的內(nèi)在聯(lián)系，要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，并能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的定義、性質(zhì)、思想方法等分析問題和解決問題，促進(jìn)學(xué)生形成更為全面的知識結(jié)構(gòu)，同時(shí)隱含著對函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理、運(yùn)算能力等素養(yǎng)和能力的考查。

2.3 試題突出創(chuàng)新性，考查創(chuàng)新能力

函數(shù)題大多從概念本質(zhì)出發(fā)，特別在解決基礎(chǔ)的函數(shù)問題時(shí)，解題方法具有一定規(guī)律性，因此學(xué)生容易產(chǎn)生思維定勢。高考題的靈活性增加，不拘泥于固有思路，探索簡捷、有效的方法，考查學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索應(yīng)用能力。

3 啟示

3.1 聚焦四基四能，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

高考題重視對函數(shù)內(nèi)容全面系統(tǒng)的考查，大比重覆蓋函數(shù)各項(xiàng)基礎(chǔ)知識。并注重對數(shù)學(xué)思想方法、解題技能的掌握和應(yīng)用。因此，教學(xué)中應(yīng)立足四基四能，強(qiáng)化學(xué)生對基本知識的理解和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。增強(qiáng)考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性和漸進(jìn)性，強(qiáng)化學(xué)生的核心素養(yǎng)，形成具有數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。在解決一系列函數(shù)問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，與知識形成有機(jī)整體。

3.2 強(qiáng)化項(xiàng)目學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生深度思考

高考數(shù)學(xué)中函數(shù)題的綜合性普遍較強(qiáng)，一題多考，即同時(shí)考查若干知識點(diǎn)和方法，或融合應(yīng)用背景和跨學(xué)科內(nèi)容，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用和靈活思維能力。因此，教師可考慮項(xiàng)目學(xué)習(xí)，設(shè)置一系列與函數(shù)有關(guān)的知識主題，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)科領(lǐng)域、應(yīng)用實(shí)踐等角度，構(gòu)建不同的項(xiàng)目課程，引導(dǎo)學(xué)生理解概念本質(zhì)和知識網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在聯(lián)系，不斷提出質(zhì)疑，形成從低階思維到高階思維的深度思考。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和綜合運(yùn)用能力。

3.3 注重思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

函數(shù)內(nèi)容豐富、方法靈活，創(chuàng)新點(diǎn)不僅在于各知識內(nèi)容的融合，更在于靈活、多樣的解題思路在教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探究能力，有意識地呈現(xiàn)新試題、拓展新路徑、整合新方法。關(guān)注學(xué)生的思維過程，從簡單問題到嘗試探究，逐步編排創(chuàng)新型試題，激發(fā)學(xué)生從多角度探索解題方法，而不拘泥于固有思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。