高文欣，劉 升，肖子雅，于建芳

上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海 201620

1 引言

群智能算法模擬自然界中動(dòng)植物的行為，例如蟻群和蜂群，模仿它們的求偶行為、捕食行為、筑巢行為等。蟻群算法和粒子群算法是兩種早期提出的算法，現(xiàn)如今又提出了許多新穎的算法比如象群游牧算法[1]、磷蝦群算法[2]、蟻獅算法[3]、烏鴉搜索算法[4]、雞群算法[5]等。群智能算法也用于一些問(wèn)題的解決，例如，旅行商問(wèn)題、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)定位問(wèn)題、支持向量機(jī)優(yōu)化問(wèn)題、投資組合優(yōu)化問(wèn)題等。

Sankalap Arora和Satvir Singh兩位學(xué)者，通過(guò)觀察蝴蝶覓食行為而受到啟發(fā)，提出了一種新的群智能優(yōu)化算法——蝴蝶優(yōu)化算法（Butterfly Optimization Algorithm）[6]。該算法的主要思想是模擬蝴蝶的覓食和求偶行為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)問(wèn)題的求解。蝴蝶的行為可以描述為它們向食物源位置的合作運(yùn)動(dòng)。蝴蝶接收、感知和分析空氣中的氣味以確定食物源或配對(duì)伴侶的潛在方向。BOA算法模擬此行為在搜索空間中尋找最優(yōu)解。與現(xiàn)有的一些元啟發(fā)式算法相比，基本BOA操作簡(jiǎn)單、調(diào)整的參數(shù)少、魯棒性好，并在工程實(shí)踐的初步應(yīng)用中取得了良好的效果。然而在求解較高維函數(shù)問(wèn)題時(shí)，BOA具有與其他的群智能仿生算法類似的問(wèn)題，即容易陷入局部最優(yōu)值、收斂性差等缺陷。為了改進(jìn)蝴蝶算法容易陷入局部最優(yōu)和收斂性能差等問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出了基于萊維飛行的蝴蝶優(yōu)化算法，在全局位置更新和局部位置更新處引入萊維飛行策略，提高了算法的搜索能力；文獻(xiàn)[8]提出了一種基于學(xué)習(xí)自動(dòng)機(jī)機(jī)制的蝴蝶優(yōu)化算法，引入學(xué)習(xí)自動(dòng)機(jī)機(jī)制，加速了全局搜索的速度，達(dá)到真正的全局最優(yōu)；文獻(xiàn)[9]提出了一種基于感覺(jué)模態(tài)變化的蝴蝶優(yōu)化算法，采用動(dòng)態(tài)變化的感覺(jué)模態(tài)參數(shù)策略，改變了收斂精度，提高了收斂速度；文獻(xiàn)[10]提出了一種混合人工蜂群算法的蝴蝶優(yōu)化算法，克服了蝴蝶優(yōu)化算法后期搜索能力不足，提高了算法的收斂速度。對(duì)于現(xiàn)存的BOA改進(jìn)策略的研究，雖然在一定程度上改進(jìn)了算法的尋優(yōu)性能，但是一般的也只是針對(duì)蝴蝶優(yōu)化中某一個(gè)更新策略進(jìn)行改進(jìn)或者是改變初始化種群的方式，并沒(méi)有有效的改進(jìn)全局尋優(yōu)和局部尋優(yōu)的盲目性。

基本的蝴蝶優(yōu)化算法存在著依賴初始種群、收斂精度低和易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，針對(duì)這些問(wèn)題本文提出了一種多策略改進(jìn)的蝴蝶優(yōu)化算法。利用柯西分布函數(shù)對(duì)蝴蝶的全局位置更新進(jìn)行變異，提升算法的全局搜索能力，在蝴蝶算法的局部位置更新處引入自適應(yīng)慣性權(quán)重因子，改進(jìn)了算法的局部開采能力，并且使用動(dòng)態(tài)切換概率來(lái)平衡局部搜索和全局搜索的比重，提高了尋優(yōu)性能。通過(guò)14個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試，結(jié)果表明改進(jìn)算法具有更高的收斂精度和魯棒性。

2 蝴蝶優(yōu)化算法

在自然界之中，蝴蝶可以使用它們的各種感官如：嗅覺(jué)、視覺(jué)、味覺(jué)、觸覺(jué)和聽覺(jué)去尋找食物和求偶，這些感覺(jué)能夠幫助它們遷徙、躲避狩獵者以及幫助它們找到合適的地方產(chǎn)卵。在所有的感覺(jué)中最重要的是嗅覺(jué)，嗅覺(jué)能夠幫助蝴蝶尋找食物（花蜜），即使在很遠(yuǎn)的地方也不例外。為了能夠找到食物，蝴蝶使用感覺(jué)受體用于嗅覺(jué)，這些受體分散在蝴蝶的身體部位，如觸角、腿和手掌等。這些受體實(shí)際上是蝴蝶身體表面的神經(jīng)細(xì)胞，被稱為化學(xué)感受器。這些化學(xué)感受器引導(dǎo)蝴蝶找到最佳的交配伙伴，以便繼續(xù)強(qiáng)大的遺傳系統(tǒng)。雄性蝴蝶能夠通過(guò)信息素來(lái)識(shí)別雌性，這是雌性蝴蝶發(fā)出的氣味分泌物引起特異性反應(yīng)。

蝴蝶會(huì)產(chǎn)生一些強(qiáng)度與其適應(yīng)性相關(guān)的香味，即當(dāng)蝴蝶從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置時(shí)，它的適應(yīng)性會(huì)相應(yīng)地變化，香味會(huì)在遠(yuǎn)處傳播，其他蝴蝶個(gè)體能夠感知它，這就是蝴蝶個(gè)體如何與其他蝴蝶共享個(gè)體信息，形成一個(gè)群體的社會(huì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)一只蝴蝶能夠聞到來(lái)自其他的蝴蝶分泌的香味的時(shí)候，它將會(huì)朝著香味最濃的方向移動(dòng)，該階段在算法中被稱為全局搜索。在另一種情況下，當(dāng)蝴蝶不能從周圍感知香味時(shí)它將隨機(jī)移動(dòng)，這一階段是局部搜索階段。

針對(duì)上述行為，提出如下假設(shè)：

（1）所有的蝴蝶都應(yīng)該散發(fā)一些香味，使蝴蝶能夠相互吸引。

（2）每只蝴蝶都會(huì)隨機(jī)移動(dòng)或向發(fā)出最多香味的蝴蝶移動(dòng)。

（3）蝴蝶的刺激強(qiáng)度受目標(biāo)函數(shù)的影響或決定。

（4）全局搜索和局部搜索使用切換概率 p來(lái)控制，受到物理接近度以及風(fēng)、雨、雷、電等各種其他自然因素，局部搜索和全局搜索中的切換概率p具有重要意義。

在BOA算法中，每一只蝴蝶有它自己獨(dú)特的感覺(jué)和個(gè)體感知能力。這同時(shí)也是區(qū)分于其他元啟發(fā)式算法的一個(gè)主要特征。蝴蝶個(gè)體產(chǎn)生的香味數(shù)學(xué)公式如下：

其中，f是香味的感知強(qiáng)度，即香味被其他蝴蝶感知的強(qiáng)度，c是感覺(jué)模態(tài)，I是刺激強(qiáng)度，a是依賴于模態(tài)的冪指數(shù)，它解釋了不同程度的吸收。本文在[0，1]范圍內(nèi)取a，參數(shù)a是取決于模態(tài)的功率指數(shù)（在此為香味），這意味著它表征吸收的變化。

在每次迭代中，搜索空間中的所有蝴蝶移動(dòng)到新位置，然后評(píng)價(jià)它們的適應(yīng)值。該算法首先計(jì)算解空間中不同位置上所有蝴蝶的適應(yīng)度值。然后這些蝴蝶將通過(guò)計(jì)算公式（1）在它們的位置產(chǎn)生香味。在全局搜索階段，蝴蝶朝著最優(yōu)的蝴蝶(g*)移動(dòng)，它可以用公式（2）表示：

算法1基本蝴蝶算法

輸入：目標(biāo)函數(shù) f(x)，蝴蝶群體的規(guī)模N，刺激濃度I，感覺(jué)模態(tài)c，冪指數(shù)a的初始值，全局更新和局部更新的轉(zhuǎn)換概率p，最大迭代次數(shù)MaxIter

1.初始化種群

2.Whilet

3. fori=1∶N

4. 計(jì)算每只蝴蝶的香味濃度

5. end for

6. 找到最優(yōu)蝴蝶個(gè)體g*

7. fori=1∶N

8. 隨機(jī)產(chǎn)生[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)r

9. ifrand>p

10． 進(jìn)行全局位置更新，按照公式（2）進(jìn)行計(jì)算

11. else

12. 進(jìn)行局部隨機(jī)游走，按照公式（3）進(jìn)行計(jì)算

13. end if

15. end for

16. 更新a的值

17.end while

輸出：全局最優(yōu)解

3 蝴蝶優(yōu)化算法的改進(jìn)

為了改進(jìn)蝴蝶算法容易陷入局部最優(yōu)和收斂精度低的問(wèn)題，本文從三個(gè)方面對(duì)蝴蝶算法進(jìn)行改進(jìn)。首先通過(guò)引入柯西分布函數(shù)的方法對(duì)全局搜索的蝴蝶位置信息進(jìn)行變異，提高蝴蝶的全局搜索能力；其次通過(guò)引入自適應(yīng)權(quán)重因子來(lái)提高蝴蝶的局部搜索能力；最后采用動(dòng)態(tài)切換概率p平衡算法局部搜索和全局搜索的比重，提升了算法的尋優(yōu)性能。因此本文提出一種混合策略改進(jìn)的蝴蝶優(yōu)化算法（CWBOA）。

3.1 柯西變異

針對(duì)蝴蝶優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的特點(diǎn)，利用柯西變異來(lái)增加種群的多樣性，提高算法的全局搜索能力，增加搜索空間?？挛鞣植己瘮?shù)在原點(diǎn)處的峰值較小但在兩端的分布比較長(zhǎng)，利用柯西變異能夠在當(dāng)前變異的蝴蝶個(gè)體附近生成更大的擾動(dòng)從而使得柯西分布函數(shù)的范圍比較廣[11]，采用柯西變異兩端分布更容易跳出局部最優(yōu)值。本文融入柯西算子，充分利用柯西分布函數(shù)兩端變異的效果來(lái)優(yōu)化算全局最優(yōu)個(gè)體，使得算法能夠更好地達(dá)到全局最優(yōu)。標(biāo)準(zhǔn)柯西分布函數(shù)公式如下：

柯西分布函數(shù)從峰值向兩側(cè)下降相對(duì)平緩，蝴蝶個(gè)體受局部的極值點(diǎn)約束力在進(jìn)行柯西變異后下降，并且柯西分布函數(shù)的峰值相對(duì)較小，蝴蝶個(gè)體在變異后會(huì)使用相對(duì)較少的時(shí)間來(lái)搜索相鄰區(qū)間，把更多的時(shí)間放在搜尋全局最優(yōu)值上，使得改進(jìn)的蝴蝶優(yōu)化算法在尋找全局的最優(yōu)值方面具備很好的調(diào)節(jié)能力。用柯西變異進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)有利于增加種群的多樣性從而避免算法陷入局部最優(yōu)，提高全局搜索最優(yōu)值的能力?？挛鞣植嫉奶卣魇蛊淠軌虍a(chǎn)生與原點(diǎn)相距較遠(yuǎn)的隨機(jī)數(shù)，這意味著經(jīng)過(guò)柯西變異后的蝴蝶個(gè)體具備了能夠迅速逃離局部極值的能力。另外，柯西分布函數(shù)的峰值較低，該特點(diǎn)能夠縮短變異后的蝴蝶個(gè)體在鄰域周圍搜索的時(shí)間。因此在求得當(dāng)前最優(yōu)解后，本文使用公式（5）所示的更新公式對(duì)當(dāng)前全局最優(yōu)解進(jìn)行變異處理。

3.2 自適應(yīng)權(quán)重

慣性權(quán)重因子是很重要的一個(gè)參數(shù)，當(dāng)慣性權(quán)重比較大時(shí)，算法全局搜索能力較強(qiáng)，能夠增加種群多樣性，可以搜索較大的區(qū)域；當(dāng)慣性權(quán)重比較小時(shí)，算法局部搜索能力較強(qiáng)，可以在最優(yōu)解周圍精細(xì)搜索，加快收斂速度。蝴蝶進(jìn)行局部尋優(yōu)時(shí)，是以公式（3）進(jìn)行局部搜索的，其中當(dāng)蝴蝶以公式（3）向局部最優(yōu)解靠近時(shí)，這時(shí)只能靠近局部最優(yōu)解，而不能進(jìn)行更好的局部尋優(yōu)[12]，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題受文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，提出了新的自適應(yīng)權(quán)重方法，蝴蝶接近食物的時(shí)候，采用較小的自適應(yīng)權(quán)重改變此時(shí)最優(yōu)的蝴蝶的位置，使得蝴蝶局部尋優(yōu)能力得到提高。自適應(yīng)權(quán)重公式如式（6）所示：

式（6）中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，itmax是最大迭代次數(shù)。

改進(jìn)式（3）的公式如（7）所示：

通過(guò)融合自適應(yīng)權(quán)重因子w，使蝴蝶個(gè)體具有更好的局部尋優(yōu)能力，改進(jìn)后的蝴蝶算法流程圖如圖1所示。

3.3 動(dòng)態(tài)切換概率策略

在基本蝴蝶優(yōu)化算法中，局部搜索和全局尋優(yōu)過(guò)程用常量切換概率 p∈[0,1]來(lái)控制，一個(gè)合理的搜索過(guò)程在算法的前期應(yīng)該進(jìn)行較強(qiáng)烈的全局搜索，迅速定位搜索空間中全局最優(yōu)解所在范圍，在探索后期局部開采能力應(yīng)增強(qiáng)，以提升算法的尋優(yōu)精度。本文引入動(dòng)態(tài)切換概率來(lái)平衡局部開采和全局開采的比重，來(lái)實(shí)現(xiàn)更好的尋優(yōu)策略。動(dòng)態(tài)切換概率p的公式如下：

3.4 算法描述

CWBOA的具體執(zhí)行步驟如下：

圖1 改進(jìn)算法的流程圖

步驟1初始化種群及各個(gè)參數(shù)設(shè)置。

步驟2計(jì)算每只蝴蝶的香味濃度，得到每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，并且求出當(dāng)前最優(yōu)解。

步驟3若動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換概率p>rand，則按照式（2）、（5）對(duì)全局位置進(jìn)行更新。

步驟4若動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換概率p

步驟5越界處理。

步驟6計(jì)算步驟4和步驟5的函數(shù)適應(yīng)度值，若得到新的函數(shù)適應(yīng)度值，則更新全局最優(yōu)適應(yīng)度值和全局最優(yōu)解。

步驟7判斷結(jié)束條件，如果滿足，則退出程序，輸出最優(yōu)值及最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)步驟3。

3.5 改進(jìn)算法（CWBOA）的時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)蝴蝶群體的規(guī)模為N，迭代次數(shù)為MaxIter，維度為D，則根據(jù)CWBOA算法的描述和時(shí)間復(fù)雜度符號(hào)O的運(yùn)算規(guī)則，隨機(jī)初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度為O(N?D)，以及找到當(dāng)前最香的蝴蝶的時(shí)間的復(fù)雜度O(N?D)，利用柯西分布函數(shù)對(duì)于全局位置更新進(jìn)行變異的時(shí)間復(fù)雜度為O(D)，引入慣性權(quán)重因子對(duì)局部位置更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(MaxIter?D?N)，CWBOA算法的總的時(shí)間復(fù)雜度為O(D?N?MaxIter)，所以CWBOA的時(shí)間復(fù)雜度與BOA相同，并沒(méi)有增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。

4 函數(shù)測(cè)試與結(jié)果分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本仿真測(cè)試環(huán)境為：操作系統(tǒng)Windows 7，CPU為Intel?Core? i5-4210U，主頻1.7 GHz，內(nèi)存為4 GB，仿真軟件為Matlab2018b。

4.2 實(shí)驗(yàn)的初始參數(shù)設(shè)置

本文選取了基于柯西變異和動(dòng)態(tài)自適應(yīng)權(quán)重的蝴蝶優(yōu)化算法（CWBOA）、基本蝴蝶算法（BOA）、鯨魚算法（WOA）[15]，以及花授粉算法（FPA）[16]進(jìn)行對(duì)比。為了實(shí)驗(yàn)的公平、客觀性，本文將所有算法的初始種群規(guī)模統(tǒng)一設(shè)為30，迭代次數(shù)設(shè)置為500，四個(gè)算法的共有參數(shù)保持一致。CWBOA和BOA中的c感官形態(tài)設(shè)置為0.01，a冪指數(shù)在迭代過(guò)程從0.1迭代到0.3；基本的BOA和FPA中的切換概率均為p=0.8。

4.3 測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的BOA在收斂性和魯棒性兩方面的性能上更優(yōu)，本文基于14個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的信息見(jiàn)表1。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文中改進(jìn)CWBOA算法具有更好的收斂性和穩(wěn)定性，本文用14個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證，為了避免由于偶然的因素帶來(lái)的結(jié)果的偏差，每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上面獨(dú)立運(yùn)行30次。表2將給CWBOA、BOA、BA、FPA四個(gè)算法在多個(gè)測(cè)試函數(shù)上通過(guò)獨(dú)立運(yùn)行30次后所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表2分別列出了CWBOA、BOA、WOA、FPA算法獨(dú)立運(yùn)行30次所得到的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。很容易看出對(duì)于所選測(cè)試函數(shù)，CWBOA的尋優(yōu)性能最強(qiáng)，明顯優(yōu)于BOA、WOA、FPA。函數(shù)f1、f5、f6、f7、f8、f9、f12、f13、f14可以直接搜索到最優(yōu)值0，尋優(yōu)效果可以達(dá)到100%；對(duì)于函數(shù)f4，CWBOA的尋優(yōu)平均值和基本花授粉算的尋優(yōu)性能差不多，略優(yōu)于基本BOA；對(duì)于函數(shù)f11，CWBOA的尋優(yōu)精度平均值達(dá)到了8.881 8E?16的水平，比基本的蝴蝶優(yōu)化算法提高了7個(gè)精度，算法整體的穩(wěn)定性比較好；對(duì)于函數(shù)f13，CWBOA、BOA、WOA均最優(yōu)值均為0，但是在穩(wěn)定性上面，CWBOA的尋優(yōu)性能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于BOA和WOA，而FPA的尋優(yōu)效果都是比較差的，可見(jiàn)改進(jìn)后算法的性能具有明顯的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。

為了直觀展示CWBOA的尋優(yōu)性能，本文選取了7個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的收斂迭代曲線圖。這里僅給出f1、f3、f7、f9、f11、f12、f14的函數(shù)圖像。如圖2所示。

由函數(shù)的收斂曲線可知，改進(jìn)的CWBOA在收斂的速度上要優(yōu)于BOA、WOA、FPA。f1是單峰函數(shù)，比較容易達(dá)到最優(yōu)值，因此常常用來(lái)測(cè)試收斂能力，由函數(shù)的收斂曲線圖可以直觀地看出改進(jìn)后的算法CWBOA的收斂精度較高，克服了基本的BOA尋優(yōu)精度不高的問(wèn)題。f7和f14是兩個(gè)低維測(cè)試函數(shù)，由收斂曲線圖可知在迭代過(guò)程中有多個(gè)拐點(diǎn)出現(xiàn)，證明改進(jìn)后的算法容易跳出局部最優(yōu)并且以較快的速度收斂到最優(yōu)值，f11函數(shù)是一種很難找到全局最優(yōu)值的爬山形態(tài)的多模態(tài)函數(shù)，對(duì)比基本BOA算法，改進(jìn)后的蝴蝶優(yōu)化算法提高了7個(gè)數(shù)量級(jí)的尋優(yōu)精度。f12是一個(gè)復(fù)雜的多峰函數(shù)有許多廣泛的局部最小值，并且它們是有規(guī)律地分布的，在（0，0）處取得最優(yōu)值0，CWBOA在不到50代已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值而且尋優(yōu)速度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于BOA、WOA和FPA，由收斂曲線圖可以知，CWBOA的收斂性要優(yōu)于基本的BOA、WOA、FPA。

表1 測(cè)試函數(shù)的基本信息

表2 測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

另外，本文的改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[7]中的BA、文獻(xiàn)[8]中的LBOA、文獻(xiàn)[9]中的IBOA分別進(jìn)行比較，每個(gè)算法的初始化種群數(shù)均為30，其中BA和LABOA的最大迭代次數(shù)為1 000，CWBOA和IBOA的最大迭代次數(shù)為500，均參考原文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置，本文設(shè)置最大迭代次數(shù)為500次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[7-9]中的對(duì)比算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果了。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知本文改進(jìn)算法的尋優(yōu)效果更佳。對(duì)比結(jié)果如表3所示。“—”表示原文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)中不涉及的測(cè)試函數(shù)。

圖2 函數(shù)的收斂曲線

4.5 求解高維函數(shù)的實(shí)驗(yàn)分析

根據(jù)上述低維實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析可知，本文的改進(jìn)算法在低維測(cè)試函數(shù)上無(wú)論在最優(yōu)值還是標(biāo)準(zhǔn)差上面均得到了較好的收斂效果。但是一般的改進(jìn)策略在較為復(fù)雜的工程問(wèn)題上面，特別是高維測(cè)試函數(shù)上極易失效，為了測(cè)試本文改進(jìn)算法的有效性，進(jìn)行了CWBOA的高維函數(shù)優(yōu)化求解實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樵趯?shí)際的問(wèn)題中普遍存在的是大規(guī)模的、復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。為了更好地證明本文改進(jìn)算法能夠應(yīng)用于求解大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題，高維參數(shù)設(shè)置與4.2節(jié)相同。

表3 改進(jìn)算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

根據(jù)表4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)CWBOA求解高維函數(shù)上面的效果比較好，但是在解決100維、500維的f3函數(shù)的時(shí)候失效。f3是連續(xù)的，平滑的多峰函數(shù)，當(dāng)自變量趨近于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)會(huì)形成大量局部極值區(qū)域，易陷入局部最優(yōu)且不易跳出，在高維測(cè)試函數(shù)下求解難度較大，在測(cè)試函數(shù)維數(shù)大于100維時(shí)，就屬于大規(guī)模函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。隨著搜索空間維數(shù)的增加，問(wèn)題的復(fù)雜度以及指數(shù)級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)，從而出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題[17]，根據(jù)無(wú)萬(wàn)能算法理論，沒(méi)有任何一個(gè)算法適合解決所有問(wèn)題，所以這個(gè)結(jié)果是可以接受的。函數(shù)f1、f5～f9、f12、f13均能達(dá)到最優(yōu)值0，所以在求解高維測(cè)試函數(shù)時(shí)，本文的改進(jìn)策略依然具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，能夠有效地處理復(fù)雜的高維問(wèn)題。選取本文的測(cè)試函數(shù)f1、f4、f6、f10、f11測(cè)試結(jié)果與文獻(xiàn)[18]中的對(duì)立學(xué)習(xí)策略的鯨魚優(yōu)化算法（IWOA）在500維的情況下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示）。函數(shù)f1、f6這兩個(gè)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果始終能精確達(dá)到最優(yōu)值0，尋優(yōu)效果能達(dá)到100%，說(shuō)明CWBOA在處理復(fù)雜的大規(guī)模問(wèn)題上魯棒性較強(qiáng)；對(duì)于函數(shù)f4和f11，CWBOA的尋優(yōu)精度略優(yōu)于IWOA，但是標(biāo)準(zhǔn)差始終穩(wěn)定在0，表明其較強(qiáng)的尋優(yōu)穩(wěn)定性，對(duì)于函數(shù)f10，本文的改進(jìn)算法要比IWOA的尋優(yōu)精度提高近70個(gè)單位。綜上，能夠證明本文改進(jìn)算法的可行性和有效性。

表5 CWBOA與IWOA對(duì)比結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種混合策略的蝴蝶優(yōu)化算法（CWBOA），在全局位置更新后的值引入柯西變異算子，增加了種群多樣性，降低算法陷入局部最優(yōu)的可能性；在BOA局部位置更新中引入自適應(yīng)權(quán)重因子，提高了算法的局部搜索能力，并且采用動(dòng)態(tài)切換概率p來(lái)權(quán)衡局部開采和全局搜索的比重，基于三種改進(jìn)策略提升了算法的尋優(yōu)能力和魯棒性。接下來(lái)的研究方向主要是拓展改進(jìn)算法的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域。

表4 CWBOA的高維函數(shù)求解結(jié)果