王瑞林
【摘要】在新課標(biāo)的改革下,數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)學(xué)科中的重要性越來越大,高考數(shù)學(xué)壓軸題一直是高考數(shù)學(xué)的重點。參數(shù)分離法在解導(dǎo)數(shù)題目時具有重大的作用,當(dāng)需要求哪個未知數(shù)時,就對哪個參數(shù)進行分離。在解題的過程中,自變量的分類是解題的關(guān)鍵,只有確定了自變量,才可以進行相應(yīng)的函數(shù)構(gòu)造,進而再選擇相應(yīng)的方法進行解題?;诖?,本文對運用參數(shù)分離法突破高考導(dǎo)數(shù)壓軸題作了系列探討。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)問題;參數(shù)分離;函數(shù)解題
在解導(dǎo)數(shù)壓軸題時,利用參數(shù)分離法,很好地節(jié)省了再次進行分類討論的麻煩,使解題步驟簡單化,使得題目得到順利解答。數(shù)學(xué)是高考中的重點學(xué)科,而導(dǎo)數(shù)則是數(shù)學(xué)的壓軸題,導(dǎo)數(shù)題往往能很好考察學(xué)生的應(yīng)變和解題速度能力。其中涉及的數(shù)學(xué)知識點較廣,主要求解的問題有單調(diào)區(qū)間、最值以及恒成立的問題。筆者就高考導(dǎo)數(shù)壓軸題利用參數(shù)分離法進行分析,探索一條快速、合理、簡單的解題方法。
在求解導(dǎo)數(shù)題時,利用參數(shù)分離法,就是將導(dǎo)數(shù)中的變量分離出來,將其轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庾钪祮栴}。但導(dǎo)數(shù)題中往往不僅只有一個變量,還存在多變量,所以需分類進行討論。比如例1:廣州市2020屆高三學(xué)生一模理科數(shù)學(xué)試題中的第21題(2):
已知函數(shù)f(x)=(x-4)ex-3+x2-6x,g(x)=(a- ? ?)x-1-lnx.
(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。設(shè)函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)},若h(x)≥0在(0,+∞)區(qū)間上恒成立,求a實數(shù)取值范圍。
(2)由(1)可知,當(dāng)x∈[3,+∞)時,
f(x)≥0,因此要使h(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,只需g(x)≥0在區(qū)間(0,3)上恒成立即可。因為g(x)≥0 ? (a- ? )x-1
-lnx≥0.以下給出參數(shù)進行分離的解題思路:因為x≥0,所以(a- ? )x-1-lnx≥0在區(qū)間(0,3)上恒成立,轉(zhuǎn)化為a≥
+ ? ,這里就用到分離參數(shù)法,把要求的a分離出來,接下來利用構(gòu)造函數(shù)方法令m(x)
+ ? ? 通過求導(dǎo)求極值方法求得m(x)的極大值 ? ?,則實數(shù)a的取值范圍為[ ? ? ,+∞)。
對于這類雙變量的導(dǎo)數(shù)題目,解題思路如果去分類討論就比較繁雜。高中生對數(shù)學(xué)的知識理解有限,無法在短時間內(nèi)進行解答,所以多數(shù)情況下要采取特殊方法進行解答,如利用不等式的優(yōu)點,將導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)分離后進行消除,再進行求解。
又如例2:鄭州市2020屆高三學(xué)生一模理科數(shù)學(xué)中的第21題:
已知函數(shù)f(x)=x-lnx- ? ? ?.
(I)略;(II)若f(x)+(x+ ? )ex-bx≥1恒成立,求實數(shù)b的取值范圍。在這道題中的第(II)小題,我們可以采用參數(shù)分離法進行求解,解題如下:
導(dǎo)數(shù)題多半都涉及到單調(diào)性的問題,解決導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的問題涉及導(dǎo)函數(shù)零點問題進而解決極值問題。零點問題的一種重點難點是隱零點問題,具體我們再來分析一下。2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(猜想卷)理科數(shù)學(xué)中的第21題:已知函數(shù)f( x )=2x2e2x+lnx(x﹥0).
( I )略;( II )若對任意x∈(0,+∞),e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
第( II )小題中,可采用參數(shù)分離法進行解題,過程如下:對任意x∈(0,+∞), e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立,等價a≤
在解答這類題目時,零點設(shè)而不求,而根據(jù)參數(shù)的需要,代入函數(shù)再消去即可得出正確的答案。
高考的壓軸題已經(jīng)變成數(shù)學(xué)高分的一個重要分水嶺,加強高中生解決含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題顯得極為重要。就像剛剛過去2020高考數(shù)學(xué)壓軸題就是有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題,命題人主要想考察高中生分類討論的意識以及能力,通常利用函數(shù)作為載體,搭載含參數(shù)的導(dǎo)數(shù),將分類討論的思想充分體現(xiàn)。在解含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題時,先運用分離參數(shù)法將參數(shù)與變量進行分離,然后轉(zhuǎn)化為求最值的問題進行討論,才能把握解題的關(guān)鍵。
參考文獻:
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[2] 吳統(tǒng)勝,楊豫暉. 例談構(gòu)造函數(shù)法破解高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2018.