劉超群

(美國(guó)德州大學(xué)阿靈頓分校, 得克薩斯 阿靈頓 76019, 美國(guó))

0 引 言

自然界中渦無(wú)處不在，小到原子中的電子運(yùn)動(dòng)，大到銀河系星云，都屬于渦。肉眼可見(jiàn)的渦更是比比皆是，龍卷風(fēng)、颶風(fēng)、臺(tái)風(fēng)，這些典型的集中渦具有極強(qiáng)的破壞力。更為重要的是湍流中存在著大量各種尺度不一和強(qiáng)度各異的渦結(jié)構(gòu)，并且這些渦在湍流生成和維持過(guò)程中發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用。然而長(zhǎng)期以來(lái)渦并沒(méi)有一個(gè)為大家普遍接受的定義[1-2]。直觀上講，渦代表流體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)，有流體轉(zhuǎn)動(dòng)的地方就有渦，反過(guò)來(lái)，有渦就有流體轉(zhuǎn)動(dòng)。但這只是物理概念，我們需要給渦一個(gè)定量的數(shù)學(xué)定義。顯然，渦是一個(gè)流體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理現(xiàn)象，而速度的旋度或者渦量是一個(gè)數(shù)學(xué)定義，二者并沒(méi)有天然的必然聯(lián)系，但長(zhǎng)期以來(lái)很多教科書，都將渦(Vortex)和渦量管(Vorticity Tube)混淆，認(rèn)為渦的強(qiáng)度(Vortex Strength)就是渦量(Vorticity)，這就是所謂的“渦渦不分”或者“渦就是渦”(Vortex is Vorticity)。追根究底，“渦就是渦”的概念來(lái)源于Helmholtz。1858年Helmholtz[3]提出渦量絲、渦量線和渦量管的概念以及Helmholtz三定律，文中Helmholtz就直接就用渦量(Vorticity)表示渦絲(Vortex Filament)。當(dāng)然，如果考慮流體黏性，經(jīng)典渦動(dòng)力學(xué)的Helmholtz三大定律并不成立。這里，我們把基于渦量來(lái)顯示和識(shí)別渦結(jié)構(gòu)的方法稱為第一代渦識(shí)別方法。盡管Helmholtz渦定義出現(xiàn)在幾乎所有流體力學(xué)教科書中，但科學(xué)研究表明渦量和渦是兩個(gè)截然不同的概念。二者都是矢量，但方向和大小各不相同，完全不能畫等號(hào)。Robinson[4]在1991年就發(fā)現(xiàn)高渦量區(qū)域和實(shí)際流體旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)聯(lián)性非常低。Wang和Liu等人[5]在直接數(shù)值模擬結(jié)果中發(fā)現(xiàn)不僅渦量和渦的方向完全分道揚(yáng)鏢，而且存在旋轉(zhuǎn)強(qiáng)但渦量反而小的區(qū)域，其周圍不旋轉(zhuǎn)的地方渦量反而很大。也就是說(shuō)，如果將渦看成一個(gè)有大小和方向的物理量，那么其大小和方向與渦量都大相徑庭。因此，不能用渦量來(lái)表示渦，也就是不能“渦渦不分”?！皽u渦”的區(qū)別必須研究清楚。為了應(yīng)對(duì)第一代渦識(shí)別方法存在的問(wèn)題，自20世紀(jì)80年代以來(lái)，人們陸續(xù)提出了以Q、λ2、Δ和λci等方法[6-9]為代表的第二代渦識(shí)別方法，在渦識(shí)別方面取得了很大進(jìn)展。這些方法都從某種程度上認(rèn)識(shí)到不能用渦量來(lái)度量渦的強(qiáng)度，由于渦量是由Cauchy-Stokes 速度梯度張量分解得到的反對(duì)稱張量而來(lái)，人們認(rèn)識(shí)到不能單純用反對(duì)稱張量或者渦量來(lái)顯示渦，而應(yīng)整體考慮速度梯度張量，首先就是它的特征值。速度梯度張量的特征值和特征值的任何組合都是伽利略不變量，不隨坐標(biāo)平移或者勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而改變，所以第二代渦識(shí)別方法可以歸納為以特征值為基礎(chǔ)的渦識(shí)別方法(Eigenvalue-Based)。但第二代渦識(shí)別方法存在先天性的缺陷：1)Q、λ2、Δ和λci都模糊地代表渦的強(qiáng)度，但本身物理意義并不清晰，其等值面在多大程度上能代表渦結(jié)構(gòu)存在爭(zhēng)議；2) 渦是流體繞軸線的旋轉(zhuǎn)，具有方向性，而第二代渦識(shí)別方法都是標(biāo)量，無(wú)法給出方向的信息；3) 在使用中存在隨意選擇閾值的問(wèn)題，不具有唯一性；4) 第二代渦識(shí)別方法基本上都是基于Cauchy-Stokes分解和速度梯度張量V的特征值，而忽略了特征向量所提供的信息；5) 識(shí)別結(jié)果存在不同程度的剪切污染，將剪切和拉伸壓縮都錯(cuò)誤地當(dāng)作流體旋轉(zhuǎn)的一部分或者渦強(qiáng)度的一部分；6) 無(wú)法同時(shí)識(shí)別強(qiáng)渦和弱渦，閾值太大則弱渦消失，閾值太小則強(qiáng)弱渦混在一起，一團(tuán)模糊。

針對(duì)第一代和第二代渦識(shí)別方法存在的問(wèn)題，德州大學(xué)阿靈頓分校Chaoqun Liu教授及其團(tuán)隊(duì)從2014年開(kāi)始，開(kāi)展了一系列工作，先后提出了Ω渦識(shí)別方法[10]、Liutex向量[11-13]、Liutex-Ω渦顯示方法[14-15]、客觀性Ω渦識(shí)別方法[16]、客觀性Liutex向量[17]、基于Liutex的渦量分解和速度梯度張量分解[18]、Liutex渦核線[19-20]、Liutex 相似律[21]。自2018年以來(lái)團(tuán)隊(duì)已經(jīng)在PhysicsofFluids上發(fā)表14篇、JournalofHydrodynamics上發(fā)表14篇相關(guān)論文。這里將這一系列工作歸納為第三代渦識(shí)別方法，并在下面進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2016年，Liu等人[10]提出了Ω渦識(shí)別方法。與其他第二代渦識(shí)別方法相比，Ω方法具有物理意義清晰、易于實(shí)現(xiàn)、歸一化(取值范圍0～1)、能夠同時(shí)捕捉強(qiáng)渦和弱渦，并且無(wú)需大幅度調(diào)節(jié)閾值的優(yōu)點(diǎn)。Liu等人在2014年[1]就指出，渦量不能代表當(dāng)?shù)亓黧w的剛性旋轉(zhuǎn)，而應(yīng)該將渦量進(jìn)一步分解為旋轉(zhuǎn)部分和非旋轉(zhuǎn)部分?；谶@一概念，2017年12月在上海理工大學(xué)舉辦的“首屆渦和湍流若干關(guān)鍵問(wèn)題研究進(jìn)展和再認(rèn)識(shí)研討會(huì)”上，Liu第一次提出從流體運(yùn)動(dòng)中提取剛性轉(zhuǎn)動(dòng)部分，并命名為Rortex向量[11]，隨后在2018年底更名為L(zhǎng)iutex向量?；贚iutex向量R的定義，渦量ω可以進(jìn)一步分解為剛性轉(zhuǎn)動(dòng)R和反對(duì)稱剪切ω-R。同樣，速度梯度張量v也可以分解為剛性旋轉(zhuǎn)的部分(對(duì)應(yīng)R)和非旋轉(zhuǎn)(NR)部分。這一分解與傳統(tǒng)的Cauchy-Stokes分解將v分解為對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分不同，真正找到了當(dāng)?shù)亓鲃?dòng)中剛性旋轉(zhuǎn)部分。時(shí)至今日，已經(jīng)形成一個(gè)較為完整的理論系統(tǒng)[11-13]。

自然界的渦有六大要素：1) 渦的絕對(duì)強(qiáng)度；2) 渦的相對(duì)強(qiáng)度；3) 渦的當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)軸；4) 渦整體轉(zhuǎn)軸位置；5) 渦核大??；6) 渦邊界定義。第一代渦識(shí)別方法無(wú)法給出這些要素，而第二代僅能在特定閾值條件下提供渦的大致邊界。以Liutex向量為基礎(chǔ)的第三代渦識(shí)別方法能夠完整回答以上渦的六大要素問(wèn)題。

本文第一部分簡(jiǎn)單介紹基于渦量的第一代和基于特征值的第二代渦識(shí)別方法，包括Ω方法及其優(yōu)越性；第二部分介紹渦科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；第三部分介紹Liutex定義，和基于Liutex的渦量分解及速度梯度張量分解；第四部分介紹基于Liutex的渦識(shí)別方法，包括Liutex向量、Liutex等值面、Liutex-Ω等值面、Liutex渦核線等；第五部分介紹渦的六大要素和三代渦方法比較；第六部分介紹湍流邊界層中的Liutex相似律。最后對(duì)未來(lái)第三代渦識(shí)別方法進(jìn)一步發(fā)展做出展望。

1 第一代和第二代渦定義和識(shí)別方法簡(jiǎn)單回顧

1.1 第一代渦定義和識(shí)別方法

圖1 二維渠道層流(渦量大但沒(méi)有旋渦或者流體轉(zhuǎn)動(dòng))Fig.1 2D laminar channel flow with no fluid rotation, or vortex

具體到湍流流動(dòng)中，Robinson[4]在1991年就報(bào)道湍流邊界層中，尤其是在壁面附近，渦量與渦的相關(guān)性相當(dāng)微弱。Wang和Liu[5]也在邊界層轉(zhuǎn)捩的DNS計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，Λ渦在渦核處渦量較小，在渦核外反而渦量較大(見(jiàn)圖2)。另外，圖3給出穿過(guò)Λ渦的渦量線和渦結(jié)構(gòu)分布，可以看到無(wú)論是方向還是大小, 二者都分道揚(yáng)鑣。根據(jù)以上分析和例證，還有無(wú)數(shù)工程技術(shù)研究人員的報(bào)告，都表明不能用渦量(Vorticity)來(lái)代表渦或者捕捉渦結(jié)構(gòu)。當(dāng)然他們加了一些限制條件比如理想正壓體積力有勢(shì)等，但渦動(dòng)力學(xué)主要用來(lái)研究湍流，理想流體還有什么湍流？結(jié)果學(xué)生基本上一致誤認(rèn)為Vortex就是Vorticity。顯然基于渦量的第一代渦識(shí)別方法來(lái)代表或者捕捉渦結(jié)構(gòu)是不合適的。

圖2 Λ渦及其中心截面上的渦量分布[11]Fig.2 Λ vortex and the vorticity distribution in the central plane[11]

圖3 Λ渦及穿過(guò)渦核的渦量線分布[11] Fig.3 Λ vortex with surounding vorticity lines[11]

1.2 第二代渦識(shí)別方法

事實(shí)上，正是由于基于渦量的第一代渦識(shí)別方法無(wú)法準(zhǔn)確地捕捉和識(shí)別流場(chǎng)的渦結(jié)構(gòu)，在20世紀(jì)80和90年代，人們陸續(xù)提出很多新的渦識(shí)別方法，比較著名和具有代表性的包括Q、λ2、Δ和λci等方法。盡管它們理論基礎(chǔ)各不相同，但基本都是由當(dāng)?shù)厮俣忍荻葀的特征值唯一確定，可以將它們歸納為基于速度梯度張量特征值的第二代渦識(shí)別方法。速度梯度張量v是：

(1)

它的的特征方程為：

(2)

可以寫為：

λ3+Pλ2+Qλ+R=0

(3)

用λ1、λ2和λ3代表式的三個(gè)特征值，則有

P=-(λ1+λ2+λ3)=-tr(V)

(4)

(5)

R=-λ1λ2λ3=-det(V)

(6)

其中，tr代表矩陣的跡，det代表矩陣的行列式。P、Q和R是速度梯度張量v的三個(gè)伽利略不變量，并且對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，根據(jù)連續(xù)方程有P=?u/?x+?v/?y+?w/?z=0。

1.2.1Q-判據(jù)

在第二代渦識(shí)別方法中，Q準(zhǔn)則是應(yīng)用最為廣泛的一種渦識(shí)別方法。Hunt[6]等人(1988)建議使用速度梯度張量v的第二個(gè)伽利略不變量Q>0代表渦結(jié)構(gòu)。根據(jù)Cauchy-Stokes分解，

v=A+B

(7)

B=

Q表達(dá)式可以寫為：

(8)

式中，‖‖F(xiàn)代表矩陣的Frobenius范數(shù)。根據(jù)上文的討論，對(duì)稱張量A有抵消反對(duì)稱張量B旋轉(zhuǎn)的效果，因此Q的物理意義在于渦結(jié)構(gòu)中不僅要求存在渦量(反對(duì)稱張量B)，更進(jìn)一步要求反對(duì)稱張量B要能克服對(duì)稱張量A所代表的變形效果。

(9)

(10)

(11)

1.2.2λ2方法

Jeong和Hussain[7]在忽略不可壓縮Navier-Stokes方程中的非定常和黏性項(xiàng)的條件下，同樣將速度梯度張量分解為對(duì)稱部分A和反對(duì)稱部分B，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到A2+B2=-(p)/ρ,其中p代表壓強(qiáng)，ρ代表密度。當(dāng)對(duì)稱張量A2+B2存在兩個(gè)負(fù)的特征值時(shí)，壓強(qiáng)在由這兩個(gè)負(fù)特征值對(duì)應(yīng)特征向量組成的平面內(nèi)為極小值。如果將特征值按λ1>λ2>λ3排列，A2+B2存在兩個(gè)負(fù)特征值，等價(jià)于λ2<0，因此該方法稱為λ2方法。在λ2方法中，將渦定義為λ2<0的區(qū)域。但λ2方法假定流體不可壓，又忽略了非定常項(xiàng)和黏性項(xiàng)，當(dāng)流場(chǎng)存在較強(qiáng)的非定常和黏性效應(yīng)時(shí)，不可能準(zhǔn)確找到渦結(jié)構(gòu)。同樣λ2也是標(biāo)量，并且為拉壓剪切所污染。

1.2.3Δ-判據(jù)

對(duì)于3×3的矩陣而言，其特征值大致存在兩種情況：(1)三個(gè)實(shí)特征值，(2)一個(gè)實(shí)特征值和一對(duì)復(fù)共軛特征值。這完全取決于Δ。 如果Δ≤0，則v的三個(gè)特征值均為實(shí)數(shù)，而如果Δ>0，則v有一個(gè)實(shí)特征值和一對(duì)復(fù)共軛特征值。這里，

(12)

Chong[8]等人根據(jù)臨界點(diǎn)理論，定義渦為速度梯度張量v存在一對(duì)復(fù)共軛特征值的區(qū)域。當(dāng)v有一對(duì)復(fù)共軛特征根時(shí)，代表瞬時(shí)的流線具有閉合的或者螺旋型的形式。對(duì)于不可壓縮流動(dòng)時(shí)，P=0，則進(jìn)而有Δ=(Q/3)3+(R/2)2。此時(shí)，如果Q>0，那么顯然有Δ>0，即Q判據(jù)為渦的地方，Δ方法也會(huì)判定為渦。但如果Q<0，仍有可能Δ>0，即Q判據(jù)不是渦的地方，Δ方法可能判定為渦。顯然，Q方法和Δ方法并不等價(jià)，也可以理解為Q>0區(qū)域是Δ>0區(qū)域的一個(gè)子集。這里必須說(shuō)明，Δ-判據(jù)是一個(gè)數(shù)學(xué)判據(jù)，在判斷渦區(qū)非渦區(qū)，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是不可違背的準(zhǔn)則。也就是渦區(qū)必須是Δ>0，但用Δ的大小度量渦的強(qiáng)度，就沒(méi)有充分理由。Liutex其實(shí)在渦區(qū)判別與Δ-判據(jù)是一致的，也就是Liutex>0,Δ>0； Liutex =0,Δ≤0。

1.2.4λci-判據(jù)

λci方法是對(duì)Δ方法的進(jìn)一步發(fā)展，當(dāng)v有一對(duì)共軛實(shí)特征值時(shí)(即Δ>0)，設(shè)其特征值為λ1=λr,λ2,3=λcr±iλci，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為v1=vr,v2,3=vcr±ivci，則v可以分解為：

(13)

1.3 第二代渦顯示方法的問(wèn)題

渦是一個(gè)流體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的自然現(xiàn)象，應(yīng)該有方向有大小，是一個(gè)矢量。但所有的第二代渦識(shí)別方法都是標(biāo)量，標(biāo)量有大小無(wú)方向，原則上講標(biāo)量不能用來(lái)代表矢量，也就是第二代渦識(shí)別方法不可能給出渦的完整信息。由于是標(biāo)量，在使用第二代渦識(shí)別方法時(shí)需要一個(gè)人為給定的閾值，而這個(gè)閾值對(duì)于渦結(jié)構(gòu)的顯示具有重要影響。Q>QThreshold實(shí)際上是Q>0的一個(gè)子集，顯然取不同的QThreshold代表不同的子集，它們各不相同。換句話說(shuō)不同的閾值會(huì)得到不同的渦結(jié)構(gòu)。例如，將Q方法應(yīng)用到邊界層轉(zhuǎn)捩直接數(shù)值模擬結(jié)果時(shí)，使用較大閾值Q=0.024會(huì)導(dǎo)致渦結(jié)構(gòu)相互分離，或者習(xí)慣叫渦破碎，如圖4(a)所示；而使用較小閾值Q=0.002得到的渦結(jié)構(gòu)是連續(xù)的，即未發(fā)生渦破碎，如圖4(b)所示。這一閾值問(wèn)題在Q、λ2、Δ和λci方法中均存在，并且在實(shí)際應(yīng)用中閾值的選擇需要根據(jù)問(wèn)題的不同進(jìn)行調(diào)節(jié)，甚至同一問(wèn)題不同時(shí)間也要進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于第二代渦識(shí)別準(zhǔn)則是標(biāo)量，工程中只有用等值面來(lái)代表渦的結(jié)構(gòu)，這就需要取一個(gè)合適的閾值，但閾值的選取具有隨意性，所得到的結(jié)果也不盡相同，進(jìn)而可能得到不同的物理結(jié)論。

(a) 取較大閾值Q=0.024時(shí)，發(fā)生渦破碎

如上所述，Q把拉伸壓縮、變形剪切都當(dāng)作渦強(qiáng)度的一部分，λci把剪切當(dāng)成渦強(qiáng)度一部分，其他第二代方法也受到不同程度的拉壓剪切污染，加之是標(biāo)量不是向量，都存在閾值問(wèn)題。 當(dāng)我們改變拉伸壓縮，Q、Δ和λ2值都會(huì)改變，但Liutex和λci不變。如果我們改變剪切，Q、Δ、λ2、λci都會(huì)改變，但Liutex不變。第二代方法不能定量表示渦，所以第二代渦識(shí)別方法不可能準(zhǔn)確地識(shí)別渦的結(jié)構(gòu) (見(jiàn)圖5a和圖5b)。

圖5 第二代渦識(shí)別法把流體剪切當(dāng)成渦強(qiáng)度一部分 (Pushpa, CNSM Report, 2019)Fig.5 Mistreatment of shearing as vortex strength by the second-generation methods

1.4 Omega 渦識(shí)別方法

為了克服第二代渦識(shí)別方法存在的問(wèn)題，從2013年開(kāi)始，UTA團(tuán)隊(duì)開(kāi)始探索新一代渦識(shí)別方法。2016年Liu等人[10]提出了Ω渦識(shí)別方法，首次提出了將渦量進(jìn)一步分解為旋轉(zhuǎn)部分和非旋轉(zhuǎn)部分的概念，并克服了第二代渦識(shí)別方法需要人為調(diào)節(jié)閾值的問(wèn)題。

1.4.1Ω渦識(shí)別方法

很明顯，渦量ω不能代表流體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。因此應(yīng)將渦量ω進(jìn)一步分解為旋轉(zhuǎn)部分和非旋轉(zhuǎn)部分，即：

ω=R+S

(14)

其中R代表旋轉(zhuǎn)部分渦量，S代表非旋轉(zhuǎn)部分渦量，即純剪切。通常而言，R和ω的方向不同。這里引入一個(gè)參數(shù)Ω，代表旋轉(zhuǎn)部分渦量大小占總渦量大小的比例，計(jì)算公式為[10]：

(15)

在實(shí)際使用中，為了防止分母為極小數(shù)時(shí)誤差極大問(wèn)題，在上式的分母項(xiàng)加上一個(gè)小的正數(shù)ε，這樣Ω的表達(dá)式變?yōu)?

(16)

1.4.2Ω渦識(shí)別方法的優(yōu)勢(shì)

因?yàn)棣甘且粋€(gè)正則化的標(biāo)量，它有幾個(gè)非常明顯的優(yōu)點(diǎn)：1) 簡(jiǎn)單易行;2) 物理意義清晰(渦量大于變形);3) 無(wú)量綱;4) 對(duì)閾值不敏感(調(diào)節(jié)閾值Ω=0.52～0.65，渦結(jié)構(gòu)變化不大);5) 能同時(shí)捕捉到強(qiáng)渦與弱渦。最后一點(diǎn)非常重要，比如Q方法，對(duì)強(qiáng)渦和弱渦共存的算例，如果閾值太大，弱渦一掃而空；如果閾值太小，弱渦能發(fā)現(xiàn)，但渦結(jié)構(gòu)變得模糊不清。Ω方法對(duì)閾值不敏感。

1.4.3Ω渦識(shí)別方法和Q方法的關(guān)系

很明顯，Ω渦識(shí)別方法仍然用對(duì)稱張量反對(duì)稱張量，應(yīng)當(dāng)說(shuō)它還是屬于第二代渦識(shí)別方法，只是它對(duì)閾值不敏感，能同時(shí)捕捉到強(qiáng)渦和弱渦，從這個(gè)意義上講，Ω渦識(shí)別方法是第二代渦識(shí)別方法中最好的方法，這一個(gè)方法可以替代所有其他的第二代渦識(shí)別方法。它的一個(gè)特例就是Q方法：

(17)

可見(jiàn)這時(shí)二者完全等價(jià)。當(dāng)然，我們不會(huì)取Ω=0.5，也不會(huì)取ε=QTheshold，這兒只是想說(shuō)明Ω渦識(shí)別方法可以代替Q方法，但Q方法不能代替Ω渦識(shí)別方法。比如：

(18)

(19)

不能寫成Q≥QTheshold，因?yàn)橛叶隧?xiàng)是變量，但QTheshold是人為給定的一個(gè)常數(shù)。

2 流場(chǎng)中的主坐標(biāo)系

2.1 速度梯度張量和Cauchy-Stokes分解

非均勻流場(chǎng)中任意一點(diǎn)在特定坐標(biāo)系(x,y,z)下可生成一個(gè)速度梯度張量，也就是一個(gè)3×3矩陣，根據(jù)Cauchy-Stokes分解，這個(gè)矩陣可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量：

(20)

(21)

(22)

根據(jù)渦量或者速度向量的旋度定義，ω=×v，反對(duì)稱張量可進(jìn)一步寫成：

(23)

而對(duì)稱張量可寫成：

(24)

傳統(tǒng)的流體力學(xué)認(rèn)為渦量就代表流體旋轉(zhuǎn)，所以流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)可以分解為平移、變形和旋轉(zhuǎn)。對(duì)稱張量代表變形，包括拉伸、壓縮、對(duì)稱形變，反對(duì)稱張量代表旋轉(zhuǎn)。或者Helmholtz速度分解等價(jià)于Cauchy-Stokes張量分解。這個(gè)概念依然出現(xiàn)在幾乎所有流體力學(xué)教科書上，成為經(jīng)典流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)。仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的致命缺陷：1) Cauchy-Stokes張量分解顯然與坐標(biāo)有關(guān)，也就是不同的(x,y,z)坐標(biāo)會(huì)得到完全不同的A和B;2) 盡管ω=×v是伽利略不變量，不同的坐標(biāo)(ωx,ωy，ωz)完全不同;3) 沒(méi)有任何證據(jù)顯示渦量ω代表流體旋轉(zhuǎn)(對(duì)于剛體是對(duì)的，對(duì)流體不對(duì))。進(jìn)一步分析，A是對(duì)稱張量，有三個(gè)實(shí)特征值λ1、λ2、λ3，與此對(duì)應(yīng)的三個(gè)正交的實(shí)特征向量(r1,r2，r3)，如果用這三個(gè)特征向量作為坐標(biāo)，可以構(gòu)成一個(gè)正交矩陣Q=(r1,r2，r3)，在舊坐標(biāo)系(x,y,z)下，v=A+B，

在新坐標(biāo)系(r1,r2，r3)或者(X,Y,Z)下，這個(gè)速度梯度張量變成V=QTvQ，它可以得到一個(gè)新的Cauchy-Stokes分解：

V=QTvQ

=QT(A+B)Q

=QTAQ+QTBQ

(25)

很明顯在這個(gè)坐標(biāo)系下，對(duì)稱張量只有拉伸壓縮，沒(méi)有變形。但是顯然對(duì)稱張量必然含有變形,反對(duì)稱張量必然含有剪切。否則剪切和變形哪里去了？反對(duì)稱張量能代表轉(zhuǎn)動(dòng)嗎？這給我們一個(gè)嚴(yán)肅的啟示，我們必須找到一個(gè)唯一的坐標(biāo)系，本文稱之為主坐標(biāo)系， 在這個(gè)主坐標(biāo)系下進(jìn)行張量分解才有意義，才唯一，才能代表流體運(yùn)動(dòng)的分解。Cauchy-Stokes分解顯然依賴坐標(biāo)系，不唯一，不是伽利略不變量。

2.2 伽利略不變性

我們要找到一個(gè)變量顯示渦，必須要求它具備伽利略不變，就是在新的平移、勻速運(yùn)動(dòng)或者勻速轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)(慣性坐標(biāo)系)下，這個(gè)變量方向和大小不變。很明顯速度不是伽利略不變量，因?yàn)樵诓煌瑧T性坐標(biāo)系下速度的大小和方向都會(huì)變，所以不是伽利略不變量，而是伽利略變量，其附帶生成的流線和跡線都不是伽利略不變量，不能用來(lái)表示渦。渦量是一個(gè)伽利略不變量，在不同慣性系中大小和方向不變。這主要?dú)w功于dv=v·dl是伽利略不變量，因?yàn)樵谛屡f坐標(biāo)系有以下關(guān)系dL=QT·dl,V=QTvQ, dV=V·dL=QTvQ·QT·dl=QTv·dl=QTdv。但如上文所述渦量并不代表流體旋轉(zhuǎn)。

2.3 轉(zhuǎn)動(dòng)張量和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

2.3.1 二維旋轉(zhuǎn)矩陣

圖6 二維旋轉(zhuǎn)矩陣Fig.6 2-dimensional rotation matrix

2.3.2 三維旋轉(zhuǎn)矩陣

三維旋轉(zhuǎn)矩陣比較復(fù)雜，但我們的主坐標(biāo)系第一步就是把z軸轉(zhuǎn)到v的實(shí)特征向量方向：

(26)

這里Q=Qx(α)Qy(β)Qz(γ)，QQT=I。

其中Z軸就是v的實(shí)特征向量，vr3=λ3r3,Z軸與r3平行。

v作為一個(gè)3×3 矩陣，其特征值方程|v-λI|=0可求出三個(gè)特征值。由于特征值方程是三次多項(xiàng)式，只有兩個(gè)可能，一個(gè)是三個(gè)實(shí)特征值λ1、λ2、λ3，另一個(gè)是一個(gè)實(shí)特征值、兩個(gè)共軛復(fù)特征值，可以寫成：λcr+iλci,λcr-iλci,λr。無(wú)論如何，至少有一個(gè)實(shí)特征值λr，對(duì)應(yīng)有一個(gè)實(shí)特征向量r。三個(gè)實(shí)特征值情況，都可用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)正交變換變成下三角陣，按照Liu[12]的定理一個(gè)零一個(gè)方向不轉(zhuǎn)，兩個(gè)零兩個(gè)方向不轉(zhuǎn)，三個(gè)零三個(gè)方向不轉(zhuǎn)，就不存在流體轉(zhuǎn)動(dòng)，或者無(wú)渦區(qū)，不在我們考慮范圍內(nèi)。

(27)

由于本文只是研究渦，在這里只考慮渦區(qū)，也就是只考慮一個(gè)實(shí)特征值、兩個(gè)共軛復(fù)特征值的情況。對(duì)于主坐標(biāo)系，首先把原坐標(biāo)通過(guò)三維旋轉(zhuǎn)，使新坐標(biāo)系的Z軸與實(shí)特征向量r平行：

(28)

這里及下文所提到的特征向量都是指單位向量，并且人為約定ω·r>0。

2.3.5 二維坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)

新坐標(biāo)系的Z軸已經(jīng)唯一確定，就是v的實(shí)特征向量r，但是在與Z軸垂直的X-Y平面，坐標(biāo)軸需要唯一確定，這就需要在二維平面X-Y中的P旋轉(zhuǎn)：

Vθ=PTVP

(29)

(30)

這是由于Q和P旋轉(zhuǎn)都是正交變換，特征值不變，Vθ和v特征值相同。也就是λr、λcr+iλci、λcr-iλci或者λ1、λ2、λ3在(x,y,z)、(X,Y,Z)、(Xθ,Yθ,Z)不同慣性坐標(biāo)系中，值都一樣。

2.3.6 三維轉(zhuǎn)動(dòng)的判別

在Q旋轉(zhuǎn)和P旋轉(zhuǎn)以后，我們已得到主坐標(biāo)系下的速度張量：

物理上的轉(zhuǎn)動(dòng)完全由左上角二維矩陣非對(duì)角元素決定(圖7)，對(duì)角元素只代表拉伸或者壓縮，

(31)

這個(gè)物理判斷與數(shù)學(xué)判斷(見(jiàn)Chong and Perry 1990[8])是完全一致的，即2×2矩陣有兩個(gè)實(shí)特征值則流體不轉(zhuǎn)，如果有兩個(gè)共軛特征值則流體轉(zhuǎn)動(dòng)。這個(gè)二階矩陣的特征值方程為：

(32)

主坐標(biāo)系中的速度梯度張量變?yōu)椋?/p>

(33)

兩個(gè)未知量可以由兩個(gè)方程求解：

(R/2+ε)-(-R/2)=ω·Z=ωZ

(34)

注意到渦量ω和特征值λr、λci都是慣性系下的伽利略不變量，已經(jīng)在原坐標(biāo)系(x,y,z)下求出。求解這兩個(gè)方程，很容易得到，

這里ωZ=×v·r。

(35)

寫到這里大家會(huì)覺(jué)得有些麻煩，又是Q旋轉(zhuǎn)又是P旋轉(zhuǎn)。其實(shí)R由渦量ωZ和λci唯一確定，ωZ和λci都是慣性系下的不變量，由原始坐標(biāo)(x,y,z)唯一確定，我們并不需要Q旋轉(zhuǎn)和P旋轉(zhuǎn)。這樣我們已經(jīng)得到在主坐標(biāo)下的速度梯度張量：

(36)

它是唯一的，只有根據(jù)它來(lái)進(jìn)行張量分解和速度分解才是唯一的。傳統(tǒng)的經(jīng)典的Cauchy-Stokes 張量分解都是與坐標(biāo)有關(guān)，不是伽利略不變量，是不唯一也不合理的。

有剪切無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)

3 Liutex定義和主坐標(biāo)系下的速度梯度張量和渦量分解

3.1 速度梯度張量分解

=R+NR

(37)

右端第一項(xiàng)代表剛性旋轉(zhuǎn)張量，第二項(xiàng)有三個(gè)實(shí)特征值代表不轉(zhuǎn)張量。不轉(zhuǎn)張量部分可以進(jìn)一步分解：

=C+D+S

不轉(zhuǎn)張量可進(jìn)一步分解為拉伸壓縮C、對(duì)稱變形D和反對(duì)稱剪切S。 這個(gè)分解是在主坐標(biāo)系下的分解，主坐標(biāo)軸是唯一的，所以這個(gè)分解是由原始速度梯度張量v唯一確定，是伽利略不變量，但是所有其他分解，包括Cauchy-Stokes分解顯然與坐標(biāo)軸選擇有關(guān)，是不可靠和沒(méi)有道理的。

3.2 Liutex定義

由主坐標(biāo)系下速度梯度張量分解可見(jiàn)，一個(gè)剛性旋轉(zhuǎn)部分可以從速度梯度張量中分解出來(lái)，這也代表流體運(yùn)動(dòng)可以分解為一個(gè)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)部分和完全不轉(zhuǎn)部分(拉伸壓縮、變形和剪切)。 2017年Chaoqun Liu首次系統(tǒng)性地提出了如何從流體運(yùn)動(dòng)中提取剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)部分，并將渦量的旋轉(zhuǎn)部分命名為Rortex向量，2018年12月Rortex向量更名為L(zhǎng)iutex向量，其嚴(yán)格推導(dǎo)過(guò)程及定義可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[12-13]。本世紀(jì)有關(guān)速度梯度張量進(jìn)一步分解的思想有不少人研究，有人有類似思想[26]。

定義：Liutex定義為流場(chǎng)中當(dāng)?shù)亓黧w運(yùn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)部分，其方向是速度梯度張量的實(shí)特征向量，代表當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)軸，其大小是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，其顯式公式為：R=Rr。這里，

(38)

r是v的實(shí)特征向量：v·r=λrr,ω=×v。

由于特征向量r有兩個(gè)方向，我們定義ω·r>0。

這個(gè)顯式公式首先由Wang等人給出[25]。Liutex方向?yàn)楫?dāng)?shù)剞D(zhuǎn)軸也是很明顯的，如果Z是轉(zhuǎn)軸，沿Z只有

這個(gè)物理量Liutex，它是一個(gè)向量，有方向，有大小，代表流體剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，方向就是當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)軸，大小就是流體轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)度，Liutex和渦(Vortex)形成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。Liutex是一個(gè)數(shù)學(xué)定義，Vortex 是一個(gè)自然現(xiàn)象，我們終于找到一個(gè)物理量Liutex代表流體旋轉(zhuǎn)，或者旋渦。這就好像冷熱是自然現(xiàn)象，但溫度是一個(gè)物理量，溫度高低可以代表熱和冷一樣，Liutex能代表流體轉(zhuǎn)動(dòng)快和慢。由于渦原先沒(méi)有定義，所謂Vortex Dynamics， 其實(shí)是Vorticity Dynamics，但“渦”(Vorticity)不是“渦”(Vortex)。湍流由無(wú)數(shù)渦組成，但描述渦需要有一個(gè)物理量，它就是Liutex。

3.3 Liutex 存在性、唯一性、穩(wěn)定性和伽利略不變性

3.3.1 Liutex的存在性

根據(jù)以上定義，Liutex定義為：

R=Rr

Liutex方向的存在性來(lái)自實(shí)特征向量的存在性：如果3×3矩陣存在1個(gè)實(shí)特征值和2個(gè)共軛復(fù)特征值，實(shí)特征向量存在且對(duì)應(yīng)實(shí)特征值。Liutex的存在性由定義確定(見(jiàn)公式(38))。

3.3.2 Liutex 的唯一性

Liutex方向的唯一性來(lái)自實(shí)特征向量的唯一性：如果3×3矩陣存在1個(gè)實(shí)特征值和2個(gè)共軛復(fù)特征值，表明矩陣具有3個(gè)不同的特征值，因此單位特征向量加上ω·r>0的要求，其方向是唯一的。Liutex的唯一性來(lái)自剛性轉(zhuǎn)動(dòng)(P旋轉(zhuǎn)最小值)的唯一性。存在性和唯一性也可以由矩陣的Real Schur Decomposition[12]證明。根據(jù)Schur Decomposition，任何3×3矩陣都可以通過(guò)Unitary(實(shí)空間是正交)變換成唯一的Hessenberg矩陣,也就是：

3.3.3 Liutex 穩(wěn)定性

根據(jù)我們主坐標(biāo)系定義，任何渦點(diǎn)速度梯度張量矩陣(一個(gè)實(shí)特征值、兩個(gè)共軛復(fù)特征值)可寫為：

=R+NR

(39)

我們先考慮二維問(wèn)題，三維是類似的。如果我們?nèi)我饧右粋€(gè)2D擾動(dòng)，

=R+NR

(40)

該點(diǎn)仍然是渦點(diǎn)，而且轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)度未變。如果

=R+NR

(41)

由于是擾動(dòng)，E21?R/2, 該點(diǎn)還是渦點(diǎn), 不過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)度略有減弱。要讓該點(diǎn)不轉(zhuǎn)，不是渦點(diǎn)，必須E21≥R/2，那就不是小擾動(dòng)了。如果取其他擾動(dòng)，比如E11、E22， 不改變旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度?？傊灰獆Eij|?R/2,該點(diǎn)還是渦點(diǎn), 換句話說(shuō)，Liutex或者流體轉(zhuǎn)動(dòng)是十分穩(wěn)定的，不受外界小擾動(dòng)影響。外界的小擾動(dòng)不能讓渦點(diǎn)(轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn))變?yōu)榉菧u點(diǎn)。

3.3.4 Liutex的伽利略不變性

伽利略不變性很重要，我們必須保證渦定義在所有慣性坐標(biāo)系保持不變，比如渦量、Q、λci,都是伽利略不變量，但速度不是，所以依賴于速度的流線或者跡線不能用來(lái)直接描述渦，因?yàn)椴煌鴺?biāo)系下看流線或者跡線完全不一樣。伽利略變換包括勻速平移或者轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是：

(42)

在新的坐標(biāo)系下：

(43)

=λrQcr

=λrr′

(44)

由于渦量和λci都是伽利略不變量，所以Liutex強(qiáng)度也是伽利略不變量[27]。其實(shí)Omega也是伽利略不變量[28]。

3.3.5 原始坐標(biāo)下的張量分解和渦量的RS分解

我們前面已提到得到Liutex定義和主坐標(biāo)下的速度梯度張量分解并不需要Q旋轉(zhuǎn)和P旋轉(zhuǎn)，因?yàn)闇u量、Liutex、特征值都是伽利略不變量，從而我們可以直接從原始坐標(biāo)下速度梯度張量

(45)

=R+NR

(46)

這個(gè)在原始坐標(biāo)下的張量分解是唯一的。同樣我們可以對(duì)渦量進(jìn)行唯一的轉(zhuǎn)動(dòng)和剪切分解，或者渦量的RS分解：

=R+S

(47)

B·dl=ω×dl=R×dl+S×dl

ω=R+S

(48)

這就是Liu[10,18]提出的Vorticity的Liutex和剪切分解(圖8)。從上式明顯可見(jiàn)，我們不能用Vorticity去代表流體旋轉(zhuǎn)，只能用張量R代表旋轉(zhuǎn)，S代表不轉(zhuǎn)的反對(duì)稱剪切。在大多數(shù)情況下S是ω的主要組成部分，R(流體旋轉(zhuǎn))遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是渦量ω。

圖8 渦量的RS向量分解(早期流動(dòng)轉(zhuǎn)捩)[12]Fig.8 RS decomposition of vorticity (early transition stage)[12]

4 Liutex 為基礎(chǔ)的幾個(gè)渦識(shí)別方法

4.1 Liutex向量線

由于Liutex是一個(gè)向量，首先可以考慮用向量線來(lái)表示渦結(jié)構(gòu)(圖9～圖10)，這一點(diǎn)是Q、λci等第二代方法無(wú)可比擬的。因?yàn)榈诙椒ǘ际菢?biāo)量，它們沒(méi)有對(duì)應(yīng)的向量，只有用等值面來(lái)顯示渦結(jié)構(gòu)，這樣渦結(jié)構(gòu)完全由閾值決定，也就是一個(gè)閾值會(huì)給出一個(gè)渦結(jié)構(gòu)，不同閾值給出不同渦結(jié)構(gòu)。而如何判斷閾值合適不合適，沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)，只有以經(jīng)驗(yàn)為準(zhǔn)，誰(shuí)也解釋不了它們是合適還是不合適的閾值。如同流線用來(lái)描述流場(chǎng)一樣，Liutex線可以用來(lái)描述Liutex場(chǎng)，或者渦場(chǎng)。顯然這些Liutex線可以用來(lái)描述流場(chǎng)中的渦結(jié)構(gòu)。

圖9 層流轉(zhuǎn)捩Λ渦與Liutex線[11]Fig.9 Λ vortex and Liutex lines in a laminar-turbulent boundary layer transition[11]

(a) 渦環(huán)

4.2 Liutex等值面

和Q一樣，Liutex大小R也是一個(gè)標(biāo)量，可以用Liutex等值面來(lái)表示渦結(jié)構(gòu) (圖11)。這就又要用到閾值，但與第二代不同之處是R代表剛性旋轉(zhuǎn)，不會(huì)被拉壓和剪切所污染，R本身就是一個(gè)物理量，是當(dāng)?shù)亓黧w旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍，或者流體旋轉(zhuǎn)的強(qiáng)度，下面三個(gè)圖是用Liutex等值面畫的早期層流流動(dòng)轉(zhuǎn)捩。 其圖與Q法畫出的渦結(jié)構(gòu)類似，但注意到Liutex 等值面和Liutex向量線大致平行，換句話說(shuō)，Liutex等值面上的Liutex向量方向和等值面方向一致(圖12和圖13)。Q無(wú)法對(duì)比，因?yàn)樗菢?biāo)量。渦量線和渦量管與Liutex 等值面(渦面)也完全不同(圖14)。

圖11 流動(dòng)自然轉(zhuǎn)捩的 Liutex等值面[12]Fig.11 Liutex iso-surfaces in flow transition (R=0.06)[12]

(a)

(a)

4.3 Liutex-Omega渦識(shí)別方法

前面我們已經(jīng)介紹了Omega方法的若干優(yōu)點(diǎn)，但是它還是基于Cauchy-Stokes分解的對(duì)稱、反對(duì)稱速度梯度張量分解，屬于第二代渦識(shí)別方法，但比其他第二代渦識(shí)別方法更好，最主要是可代表渦的相對(duì)強(qiáng)度，對(duì)閾值不敏感，并可以同時(shí)捕捉到強(qiáng)渦和弱渦。這一點(diǎn)特別重要，尤其是在強(qiáng)渦、弱渦共存的情況下如何能捕捉到弱渦就顯得特別重要。很自然地會(huì)想到如何把Liutex方法和Omega方法的思想結(jié)合起來(lái)，這就產(chǎn)生了Liutex-Omega[14-15]渦識(shí)別方法。簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下。根據(jù)主軸下的張量：

(a) 渦管

=A+B

(49)

和原始Ω的定義：

(50)

但是正如前面已經(jīng)介紹的，(ξ2+η2)代表剪切，不應(yīng)當(dāng)用來(lái)度量流體轉(zhuǎn)動(dòng)或者渦強(qiáng)度，從而新的相對(duì)渦強(qiáng)度應(yīng)當(dāng)不含有剪切，這就得到了新的Liutex-Omega渦識(shí)別方法：

(51)

或者用另一種表達(dá)式：

(52)

(a) Q=0.005

4.4 渦核(Liutex Core)定義和識(shí)別

以上各種渦顯示方法都有一個(gè)致命缺點(diǎn)，就是不唯一，與閾值有關(guān)，即使Liutex-Omega方法也沒(méi)有完全擺脫閾值。同時(shí)物理上的旋渦是有旋轉(zhuǎn)軸的，前人嘗試找渦核轉(zhuǎn)軸均未獲得成功。許多人嘗試找到渦量極值，但那不是渦心。找Q極值，但一調(diào)大Q閾值，所有弱渦渦心一掃而空。 當(dāng)提出Liutex向量后，使得尋找渦心變?yōu)榭赡?。Liu等[19-20]在2019年提出渦的轉(zhuǎn)動(dòng)核心定義，它是一條特殊的Liutex線，滿足：

R×r=0, 并且R>0

(53)

dR=R·dl=0

因?yàn)镽的等值面上R不變，dR=0, 這就導(dǎo)致R和等值面垂直，到處一樣，但是在渦心處，等值面退化為一根線，等值面不再存在，R·r≠0， 二者平行。其實(shí)R是一個(gè)向量，直指R極值或者渦心，不論從哪兒起始，R線總是向渦心跑，直到渦心與r平行，這根Liutex線就是渦核中心或者轉(zhuǎn)軸，它是唯一的，與閾值毫無(wú)關(guān)系。圖16顯示各處R線都向渦核中心跑，渦核中心就是渦的轉(zhuǎn)軸。

根據(jù)Liutex的渦核中心定義，高[19]等用手動(dòng)方法找到流動(dòng)早期轉(zhuǎn)捩的渦核中心結(jié)構(gòu)(圖17)。徐[20]等進(jìn)一步根據(jù)Liutex的渦心定義，通過(guò)找到許多種子點(diǎn)，用計(jì)算機(jī)自動(dòng)畫出流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的渦核結(jié)構(gòu)(圖18)。

5 渦的六大要素和Liutex為代表的第三代渦識(shí)別方法

自然界的渦有六大要素:1) 渦的絕對(duì)強(qiáng)度;2) 渦的相對(duì)強(qiáng)度;3) 當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)軸;4) 渦核中心位置;5) 渦核大小;6) 渦邊界。第一代渦識(shí)別方法用渦量來(lái)描述渦結(jié)構(gòu)。第二代渦識(shí)別方法當(dāng)閾值接近零的時(shí)候能給出渦的大致邊界，但因?yàn)樗鼈兌际菢?biāo)量，但渦有軸，是矢量，標(biāo)量怎么能顯示矢量？更為嚴(yán)重的是，它們都把拉壓剪切當(dāng)作流動(dòng)旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的一部分，或者被剪切嚴(yán)重污染。渦量大的地方流體轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)的結(jié)論不對(duì)。Q大的地方轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)，對(duì)復(fù)雜渦結(jié)構(gòu)常常也不正確。而Ω渦識(shí)別方法和基于Liutex渦定義的第三代渦識(shí)別方法基本上回答了這六大要素的問(wèn)題。

(a) R線和渦核

(a) Top view

1) 渦的絕對(duì)強(qiáng)度即為L(zhǎng)iutex的大小R，代表當(dāng)?shù)亓黧w剛性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)部分旋轉(zhuǎn)角速度的二倍。根據(jù)以上討論，Liutex的大小能夠度量當(dāng)?shù)亓黧w剛性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)部分的絕對(duì)強(qiáng)度的物理量[13]。

2) 相對(duì)強(qiáng)度可以用Liutex-Omega衡量，它類似流體中Liutex的濃度或者流體的剛度。實(shí)際上，相對(duì)強(qiáng)度往往比絕對(duì)強(qiáng)度的更加重要，就像相對(duì)誤差往往比絕對(duì)誤差更重要一樣。在復(fù)雜流場(chǎng)中，有可能存在轉(zhuǎn)速為1000 rps的強(qiáng)渦和10 rps的弱渦，這時(shí)使用100 rps作為閾值，就會(huì)導(dǎo)致10 rps的弱渦被完全忽略。而使用相對(duì)強(qiáng)度，即Liutex-Omega可以同時(shí)捕捉到強(qiáng)渦和弱渦，對(duì)閾值不敏感。

3) 當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)軸就是Liutex向量的方向r，也就是速度梯度張量v的實(shí)特征向量。渦的一個(gè)重要信息旋轉(zhuǎn)軸在第二代渦識(shí)別方法中被忽略掉了，而第一代渦量也是向量，但一般不是當(dāng)?shù)亓黧w的轉(zhuǎn)軸，渦量和渦兩個(gè)矢量往往有兩個(gè)完全不同的方向，而Liutex永遠(yuǎn)和渦有完全相同的方向。Liutex向量唯一地提供了當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)軸信息。

5) 渦核的大小可以按照從渦核處相對(duì)強(qiáng)度減少至渦核處的95%來(lái)確定，這是經(jīng)驗(yàn)值，不能作為精確定義。由于流場(chǎng)中，存在強(qiáng)度不同的渦結(jié)構(gòu)，使用Liutex-Omega方法可以同時(shí)顯示強(qiáng)渦和弱渦，并利用其相對(duì)強(qiáng)度由渦核處減小至95%來(lái)定義渦核的尺寸。這樣強(qiáng)渦和弱渦可以同時(shí)顯示。

6) 渦的邊界由旋轉(zhuǎn)區(qū)域和非旋轉(zhuǎn)區(qū)域的交界面來(lái)定義，一般要選取一個(gè)閾值，比如Ω=0.52,Q>QThreshold，等等。這一點(diǎn)所有渦識(shí)別方法在閾值很小的時(shí)候，都能給出渦的大致邊界，這是因?yàn)楦鶕?jù)Chong-Perry[8](1990)，渦內(nèi)點(diǎn)必須滿足速度梯度張量有一實(shí)兩虛特征值。

回顧歷代渦識(shí)別方法，第一代渦識(shí)別方法不能回答渦的六個(gè)要素問(wèn)題。渦和渦量是兩個(gè)不同的概念，使用渦量沒(méi)有辦法正確地識(shí)別渦結(jié)構(gòu)，更不可能給出正確的渦核和渦邊界。第二代渦識(shí)別方法通過(guò)針對(duì)具體問(wèn)題選擇合適的閾值，Q、λ2、Δ和λci等能夠給出近似的渦邊界，但作為標(biāo)量，無(wú)法給出當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)軸信息，渦結(jié)構(gòu)完全依賴于閾值選擇，其大小被拉壓和剪切污染，也不能準(zhǔn)確代表渦強(qiáng)度。表1給出了三代渦識(shí)別方法所能夠提供的信息對(duì)比，可以看到只有第三代渦識(shí)別方法給出了渦六大要素的全部信息。

6 湍流邊界層的Liutex相似律(-5/3冪次相似律)

1941年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov給出了著名的三大假說(shuō)兩大相似律，提出大雷諾數(shù)條件下湍流局部均勻各向同性假定，并建立了被視為現(xiàn)代湍流研究開(kāi)端的K41理論。作為K41理論王冠上最閃耀的一顆明珠，Kolmogorov預(yù)言的湍動(dòng)能譜-5/3冪次律在大約十年后被許多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，被認(rèn)為是湍流研究歷史上最大的成功，也是唯一被學(xué)者廣泛接受的湍流理論。然而，湍能譜的-5/3冪次律是在不可壓縮、均勻、各向同性和慣性子區(qū)無(wú)黏的假定下得到。在實(shí)際流動(dòng)中，尤其是在中低雷諾數(shù)條件下的邊界層，所謂慣性子區(qū)不可能無(wú)黏，Kolmogorov這些假定往往不能滿足。DNS和實(shí)驗(yàn)都廣泛報(bào)道結(jié)果與Kolmogorov的-5/3定律相差甚遠(yuǎn)。團(tuán)隊(duì)[21]用高精度DNS研究層流邊界層轉(zhuǎn)捩和低雷諾數(shù)湍流時(shí)(Reθ≈1000)時(shí)發(fā)現(xiàn)，Liutex向量大小的能譜與-5/3冪次律吻合較好，相反湍能譜只有在很小的波數(shù)(頻率)范圍內(nèi)才微弱滿足-5/3冪次律，如圖19所示。

表1 三代渦識(shí)別方法對(duì)比Table 1 Comparison of three generation of vortex identification method

(a) Liutex譜 (b) 湍能譜

Liutex的-5/3冪次律之所以具有更普遍的適用范圍,是因?yàn)長(zhǎng)iutex向量代表流動(dòng)中的剛性旋轉(zhuǎn)部分，而剛性旋轉(zhuǎn)部分的速度梯度無(wú)剪切、無(wú)黏性耗散，因而不受黏性的影響，從而獨(dú)立于雷諾數(shù)。因此Liutex在中低雷諾數(shù)下的湍流小尺度結(jié)構(gòu)仍然符合相似律。但如果對(duì)Vorticity和Q等第二代渦識(shí)別方法做頻譜分析，它們都不具備相似律，與-5/3冪次律相距甚遠(yuǎn)。這一發(fā)現(xiàn)不僅增進(jìn)了人們對(duì)湍流物理的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)建立更普適的亞格子模型具有重要的意義。

7 結(jié)論和展望

渦是一個(gè)自然現(xiàn)象，更是湍流的組分和肌腱，但長(zhǎng)久以來(lái)沒(méi)有明確定義，這也是渦科學(xué)和湍流研究長(zhǎng)期進(jìn)展緩慢的重要原因之一。

第一代渦識(shí)別方法用渦量來(lái)代表渦，盡管為幾乎所有教科書采用，但無(wú)數(shù)工程計(jì)算和實(shí)驗(yàn)都證明，不能用渦量、渦線、渦面、渦管來(lái)顯示渦結(jié)構(gòu)。

以Q方法為代表的第二代渦顯示方法取得一些成功。但渦是向量，有方向，有大小，有轉(zhuǎn)軸，但第二代全是標(biāo)量，標(biāo)量無(wú)法代表向量，第二代只有取閾值、用等值面來(lái)顯示渦結(jié)構(gòu)，從而渦結(jié)構(gòu)依賴于閾值，導(dǎo)致渦結(jié)構(gòu)隨意化和不唯一。在復(fù)雜渦結(jié)構(gòu)流場(chǎng)中由于閾值選取不當(dāng)，弱渦常常被抹去。如果減小閾值，弱渦可能找回，但全流場(chǎng)渦結(jié)構(gòu)變得模糊。更為嚴(yán)重的是第二代往往把拉伸、壓縮和剪切當(dāng)作渦強(qiáng)的一部分，也就是被拉壓、剪切污染，不能用來(lái)度量流體旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度。因而從科學(xué)研究角度講，第二代渦識(shí)別方法也不能用來(lái)顯示渦結(jié)構(gòu)。

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力，UTA團(tuán)隊(duì)找到物理量Liutex代表渦，它是一個(gè)向量，能夠用來(lái)描述流體轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是渦的方向和強(qiáng)弱。它的方向就是當(dāng)?shù)亓黧w轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，其實(shí)就是當(dāng)?shù)厮俣忍荻葟埩康奶卣飨蛄浚拇笮【褪钱?dāng)?shù)亓黧w剛性旋轉(zhuǎn)的角速度的兩倍。以Liutex為代表的渦定義和第三代渦識(shí)別方法，能夠正確地代表、顯示和度量渦。渦有六大基本要素，以Liutex為基礎(chǔ)的渦定義和第三代渦識(shí)別方法，包括Liutex向量、Liutex向量線/面/管、Liutex等值面、Liutex-Omega等值面、Liutex-Core Lines能夠全面地正確地回答渦的六大要素。

更為重要的是Liutex代表流體轉(zhuǎn)動(dòng)，渦量不能代表流體轉(zhuǎn)動(dòng)，這就要改變對(duì)流體運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)近兩百年的誤解。傳統(tǒng)的流體運(yùn)動(dòng)學(xué)中對(duì)Helmholtz速度分解和Cauchy-Stokes張量分解而言，渦量就是流體轉(zhuǎn)動(dòng)強(qiáng)度，反對(duì)稱張量代表流體旋轉(zhuǎn)，這些傳統(tǒng)概論都必須要重新審視。由于主坐標(biāo)系概念的引入，基于Liutex的渦量RS分解，基于Liutex的流體轉(zhuǎn)動(dòng)拉壓剪切變形的張量分解，都是與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的，它們給出了唯一的伽利略不變的張量分解。希望Liutex這個(gè)新物理量的引入，能對(duì)流體動(dòng)力學(xué)發(fā)展產(chǎn)生影響，使湍流理論從定性研究逐步向定量研究發(fā)展。

需要第三代渦識(shí)別方法程序，可以訪問(wèn)https://www.uta.edu/math/cnsm/public_html/cnsm/cnsm.html免費(fèi)下載。

致謝:感謝UTA數(shù)學(xué)系長(zhǎng)期的支持。感謝美國(guó)德克薩斯州先進(jìn)計(jì)算中心(TACC)長(zhǎng)期提供DNS計(jì)算機(jī)時(shí)。感謝UTA團(tuán)隊(duì)的王義乾、高宜勝、劉劍明、董祥瑞、許文倩，以及合作者徐弘一、蔡小舒、閻永華、楊勇、楊光、閆盼盼等人。此外，還要感謝JournalofHydrodynamics周連第執(zhí)行主編的多次討論，并提出渦的六大要素。