張鉆嫻, REHMAN Fazal, 陳志文, 黃 巍

(華南師范大學物理與電信工程學院, 廣州 510006)

復合脈沖是一組具有確定相位的脈沖序列，能夠自動補償操控誤差，實現(xiàn)高效率高魯棒性的量子態(tài)操控. 復合脈沖是通用有效的量子態(tài)操控工具，主要被用于核磁共振[1]、量子信息[2-3]和量子光學[4-7]中兩能級系統(tǒng)的量子操控. 近年來的研究開始將復合脈沖技術用于三態(tài)和多態(tài)量子系統(tǒng)中[7-8]. 由于它在量子系統(tǒng)相干控制中的魯棒性和精確性，復合脈沖序列已在原子物理[4,6,9]、固態(tài)量子傳感器的磁力測量[10]、分子光譜[11]和原子干涉測量[12]中得到了應用. 復合脈沖在多態(tài)量子系統(tǒng)中也有很多重要應用，例如，利用復合脈沖的魯棒性，采用復合脈沖可構造對各種實驗參數(shù)誤差不敏感的高保真量子相位門[13]；利用復合脈沖結合受激拉曼絕熱通道技術，可以在冷原子系統(tǒng)中實現(xiàn)無中間激發(fā)態(tài)布居的基態(tài)到里德堡態(tài)的高效率粒子數(shù)轉移[14]；復合脈沖還可被應用于因補償頻率偏移、場的不均勻性等引起的系統(tǒng)性誤差，提高量子操控的精確性，達到量子計算和量子模擬的要求[15-25].

要實現(xiàn)精確的量子態(tài)操控，通常要求量子系統(tǒng)中的量子態(tài)和相互作用有明確的定義. 但在實際多態(tài)量子系統(tǒng)中，由于偏振激光沒有嚴格按照量子化軸設置、存在非共振耦合目標外的量子態(tài)、系統(tǒng)擾動易產生額外激發(fā)等因素，會在該量子系統(tǒng)中產生額外的量子轉移通道，造成量子態(tài)操控的保真度下降. 例如在超冷原子量子模擬實驗中，裝載于光阱或光晶格中的原子與圓偏振光相互作用時，形成光阱或光晶格的是聚焦的高斯光場，光場強度呈現(xiàn)不均勻性. 這使得在束腰以外位置的原子感受到的相互作用與勢阱中心的原子感受到的相互作用會有偏差. 通過控制脈沖序列的相對相位，復合脈沖技術能夠自動補償脈沖面積、脈沖頻率的偏差，有效抑制額外的量子轉移通道，實現(xiàn)高效率的粒子數(shù)轉移，保持高保真的量子態(tài)操控.

本文為解決階梯型三態(tài)量子系統(tǒng)的粒子定向轉移問題，采用改進的復合脈沖操控方法，對影響粒子數(shù)轉移效率和保真度的參數(shù)進行了研究.

1 三能級復合脈沖理論

三能級階梯型系統(tǒng)如圖1所示，利用耦合光操控粒子從初態(tài)|1〉轉移到目標態(tài)|2〉上. 由于耦合光偏振不純等因素，在加入耦合光時，會產生干擾光將|2〉態(tài)和|3〉態(tài)耦合起來. 粒子從初態(tài)|1〉轉移到目標態(tài)|2〉的過程中，會因為耦合光的作用產生額外的干擾通道，使處于|2〉態(tài)的粒子躍遷到|3〉態(tài)上去，造成目標態(tài)轉移效率降低. 采用復合脈沖的方法，可以有效抑制干擾光產生的額外轉移通道，保持初態(tài)|1〉到目標態(tài)|2〉的高轉移效率. 該過程用薛定諤方程i??tc(t)=H(t)c(t)描述，其中態(tài)矢量c(t)=[c1(t),c2(t),c3(t)]T. 在旋波近似下，哈密頓量算符如下

Ω23(t)eiφ23Π23+h.c.],

(1)

其中,Δ=Ω0-Ω是激光頻率Ω相對原子躍遷頻率Ω0的失諧量，Πjk=|j〉〈k|. 拉比頻率為Ωjk(t)=|djk·E(t)|/?，表征原子和光場的耦合強度，式中E(t)是激光的電場強度，djk是電偶極矩，2束激光的相位分別為φ12和φ23. 假設2束激光脈沖有相同的脈沖形狀f(t)，用總拉比頻率Ω和混合角θ定義2束激光的拉比頻率分別為Ω12(t)=Ωf(t)cosθ和Ω23(t)=Ωf(t)sinθ.

圖1 系統(tǒng)結構示意圖

對于階梯型系統(tǒng)，在用復合脈沖將粒子數(shù)從|1〉態(tài)轉移到|2〉態(tài)的過程中，可以通過控制脈沖序列的相對相位φ1j來抑制從|1〉態(tài)到|3〉態(tài)的轉移路徑. 采用復合脈沖技術，即使在額外干擾光的耦合強度未知的情況下，仍可實現(xiàn)高效率的粒子數(shù)轉移.

利用Morris-Shore 轉換[6]將三能級階梯型系統(tǒng)變換為由1個二能級系統(tǒng)和1個孤立態(tài)構成的系統(tǒng)：

(2)

這里|2〉態(tài)和|c〉態(tài)構成一個二能級系統(tǒng)，|d〉態(tài)為一個孤立態(tài). 該系統(tǒng)的傳播算子為

(3)

其中，Cayley-Klein 參數(shù)a和b取決于脈沖面積

由此可得原基失上的傳播算子

(4)

其中，

A=beiφ12cosθ，B=eiφsinθcosθ，C=beiφ23sinθ.

當脈沖面積為π時，Cayley-Klein參數(shù)a=0和b=-i，代入式(4)可得

Uπ(φ)=

(5)

其中,

通過一個單脈沖，粒子可以從|1〉態(tài)轉移到|2〉態(tài)，令參數(shù)設置為a=0,|b|=1，當θ=0時，為完全轉移. 但若θ≠0，|2〉態(tài)與|3〉態(tài)之間的耦合是非零的，部分粒子會從|2〉態(tài)轉移到|3〉態(tài)或又回到|1〉態(tài).θ對零點的偏差可以通過調節(jié)復合脈沖的相位進行補償，n個復合脈沖的傳播算子表示為

U(n)=U(φn)U(φn-1)…U(φ2)U(φ1),

(6)

復合脈沖中第k個脈沖作用時的薛定諤方程為

(7)

其中，D=Ωcosθe-iφk12,D′=Ωcosθeiφk12,E=Ωsinθ×e-iφk23,E′=Ωsinθeiφk23.

求解由n個脈沖組成的復合脈沖作用后量子態(tài)演化的結果，是將第k-1個脈沖作用后的末態(tài)作為第k個脈沖的初態(tài)，并依次求解第1,2,3,…,n個脈沖作用時的薛定諤方程，最后得到n個脈沖作用后的結果. 假設初始1個粒子處在初態(tài)|1〉上，即c11(0)=1，n個脈沖作用后該粒子處在目標態(tài)|2〉上的概率P1→2=|c2n(t)|2.

2 數(shù)值計算與分析

2.1 脈沖序列數(shù)的影響

考慮共振情況，單光子失諧Δ=0，即ζ=1，矩形脈沖且脈沖面積A=π的情形. 當單脈沖作用時，取相位φ12=0和φ23=0，傳播算子為

(8)

當復合脈沖為三脈沖序列時，每個脈沖的傳播算子分別為U1(φ)、U2(φ)、U3(φ)，三脈沖復合脈沖作用的總傳播算子為U(3)=U3(φ)U2(φ)U1(φ). 可得到3個脈沖的相位(φ12，φ23)分別為(0，0)、(2π/3，-2π/3)和(π/6，π/6).同樣，當復合脈沖為五脈沖序列時，總傳播算子U(5)=U5(φ)U4(φ)U3(φ)U2(φ)U1(φ). 每個脈沖的相位(φ12，φ23)分別為(0，0)、(-4π/10，4π/10)、(-π/10，3π/10)、(7π/10，3π/10)和(-4π/10，0). 矩形復合脈沖的相位和形狀如圖2所示.

圖2 復合脈沖的相位

將以上參數(shù)依次代入式(7)，通過數(shù)值求解得到|1〉態(tài)到|2〉態(tài)的轉移效率(P1→2)以及|1〉態(tài)到|3〉態(tài)的轉移效率(P1→3)與混合角θ的關系如圖2所示. 當θ=0，在無額外轉移通道時，粒子數(shù)全部從|1〉態(tài)轉移到|2〉態(tài). 當θ偏離零點并逐漸增大時，干擾光的作用逐漸增強，額外的轉移通道會逐漸開啟，當復合脈沖為多脈沖序列時能有效抑制額外的轉移通道，使P1→2保持為1. 由圖3可知，在單脈沖條件下，θ在開始偏離零點時，P1→2立即下降;在三脈沖序列條件下，只有當θ>0.36時P1→2才開始下降;在五脈沖序列條件下，只有當θ>0.59時P1→2才開始下降. 因此，隨著脈沖序列數(shù)的增加，復合脈沖對混合角θ的魯棒性越好，抵抗額外轉移通道干擾的能力越強.

圖3 不同脈沖序列下轉移概率P隨混合角θ的變化

進一步計算轉移效率P1→2和P1→3與拉比頻率比值Ω23/Ω12的關系(圖4). 在單脈沖條件下，只要干擾光的拉比頻率大于0，P1→2即可快速降低. 在三脈沖條件下，當干擾光的拉比頻率大于耦合光拉比頻率的40%時，P1→3才開始從1下降. 而對于五脈沖，干擾光的拉比頻率一直增加到耦合光拉比頻率的60%時，P1→3才開始從1下降到0.999. 這說明即使干擾光較強(相當于耦合光的光強)，多脈沖的復合脈沖仍然能夠很好地抑制額外的轉移通道，保持高效率、高保真度的量子操控. 在通常多態(tài)量子系統(tǒng)中，由于參數(shù)不完美或系統(tǒng)擾動產生的額外耦合強度一般遠小于目標耦合的強度，即此時Ω23/Ω12<10%，采用多脈沖序列的復合脈沖能夠完全抑制額外的轉移通道，避免量子操控的保真度的降低.

圖4 不同脈沖序列下轉移概率隨拉比頻率比的變化

2.2 脈沖面積的影響

其他參數(shù)不變，只改變脈沖面積，得到轉移效率P1→2與混合角θ的關系(圖5). 當脈沖面積偏離π時，單脈沖的P1→2即使在混合角θ為0(即沒有額外耦合)時，都會明顯降低. 而采用三脈沖序列的復合脈沖時，當脈沖面積減為原來的一半(即π/2)、混合角θ<0.1時，P1→2始終保持在90%以上.當脈沖面積為3π/4、混合角θ<0.1時，P1→2能夠保持在98%以上. 所以多脈沖序列的復合脈沖對于脈沖面積的參數(shù)擾動，也具有很好的抗干擾能力.

圖5 不同脈沖面積下轉移概率隨混合角的變化

2.3 失諧量的影響

最后改變單光子失諧量，分別取失諧量Δ為0.1/T、0.2/T、0.5/T，這里T是脈沖寬度，計算轉移效率P1→2與混合角θ的關系(圖6). 在三脈沖條件下，當失諧量Δ=0.5/T、θ<0.13時，轉移效率可保持在90%以上. 當失諧量較小、Δ=0.2/T、θ<0.13時，轉移效率可保持在0.98以上；而當Δ=0.1/T、θ<0.13時，轉移效率可保持在0.99以上. 由此可見，當單光子失諧量不為0、偏離共振點時，多脈沖序列的復合脈沖能夠進行補償并保持高效率的粒子數(shù)轉移.

圖6 不同失諧量下轉移概率隨混合角的變化

3 結論

進一步通過數(shù)值模擬額外通道和轉移通道的拉比頻率比、脈沖面積的變化、單光子失諧偏離零點等因素對轉移效率的影響，結果表明：增加脈沖序列數(shù)可有效抵抗相關參數(shù)的擾動，保持高效率的粒子數(shù)轉移. 多脈沖序列復合脈沖的技術可被用于解決實際實驗中偏振不純、激光頻率不純、控制參數(shù)擾動等造成的量子態(tài)操控效率不高的問題. 該方法對構造量子門、量子模擬等相關研究具有重要意義.