孔凡哲

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的典范.平面直角坐標(biāo)系由兩條原點(diǎn)重合且互相垂直的數(shù)軸組成，它的發(fā)明，使得代數(shù)式與圖形有機(jī)結(jié)合在一起，不僅可以使代數(shù)問題幾何化.而且可以使幾何問題代數(shù)化.

一維圖形就是一條直線.在直線上確定點(diǎn)的位置，必須確定一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)和一個(gè)基準(zhǔn)方向，這個(gè)點(diǎn)就是原點(diǎn)，這個(gè)方向就是正方向，同時(shí)，還要確定度量單位，即單位長(zhǎng)度，在確定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線上，任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，而且僅僅需要一個(gè)實(shí)數(shù)就可以確定點(diǎn)的位置，故數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，而這個(gè)實(shí)數(shù)就是點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖1所示，數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2.若已知某點(diǎn)的坐標(biāo)是4，則這個(gè)點(diǎn)在點(diǎn)B處，

思考1：如圖2所示，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3，點(diǎn)A的正上方一個(gè)單位長(zhǎng)度處有一個(gè)點(diǎn)A1，那么該如何表示點(diǎn)A.的位置？

點(diǎn)A1和點(diǎn)A的橫向上的位置都是-3，但是縱向上的位置是不同的，相差一個(gè)單位長(zhǎng)度.利用定位一維圖形上的點(diǎn)的方法，無法定位點(diǎn)A1，必須增加新的量才能解決問題.

引入縱向軸線，在平面內(nèi)再畫一條與已知數(shù)軸垂直，且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向;豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，習(xí)慣上取向上為正方向;兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)（如圖3所示）.

點(diǎn)A，的橫向上的位置會(huì)在x軸上體現(xiàn)，縱向上的位置會(huì)在y軸上體現(xiàn)，過點(diǎn)Ai分別向x軸、y軸作垂線，得到了與x軸、y軸相交的兩個(gè)點(diǎn)（垂足）以及兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，我們可以用這個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)來表示點(diǎn)A，的位置.

因此，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（-3，1）.

在平面內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，只需要一個(gè)數(shù)對(duì)就可以了，這個(gè)數(shù)對(duì)叫作有序數(shù)對(duì).之所以稱之為有序數(shù)對(duì)，是由于數(shù)對(duì)是一個(gè)整體，數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)有順序之分，當(dāng)a≠b時(shí)，（a，b）所表示的點(diǎn)與（b，a）所表示的點(diǎn)的位置是不同的，

思考2：若再畫一條與已知數(shù)軸原點(diǎn)重合、但不垂直的數(shù)軸，能否表示點(diǎn)A1的位置？

答案是肯定的，這樣的坐標(biāo)系我們稱之為斜坐標(biāo)系.

當(dāng)把兩條數(shù)軸垂直放置時(shí)，更方便標(biāo)記點(diǎn)的位置，因此在實(shí)際問題中，我們常常建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，

如圖4，建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)可分成兩條坐標(biāo)軸上的點(diǎn)以及四個(gè)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，這四個(gè)區(qū)域稱為象限，右上方的區(qū)域稱為第一象限，按照逆時(shí)針的方向，其他區(qū)域依次稱為第二、第三和第四象限，兩條坐標(biāo)軸上的點(diǎn)是不屬于任何一個(gè)象限的.就好比兩間房子之間的隔墻是不屬于任何一方的，

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸x軸為對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”;以坐標(biāo)軸y軸為對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”.

思考3：若平面內(nèi)有一點(diǎn)P（a，b），則點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)是________.

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱可以分解為先關(guān)于x軸對(duì)稱，再關(guān)于y軸對(duì)稱（或先關(guān)于y軸對(duì)稱，再關(guān)于x軸對(duì)稱）.進(jìn)行兩次軸對(duì)稱變換后的點(diǎn)，與原來的點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)”，相當(dāng)于橫、縱坐標(biāo)均乘一1.即點(diǎn)P，的坐標(biāo)為（-a，-b）.

在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向左（或向右）平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（n是正數(shù)），平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減少（或增加）n個(gè)單位長(zhǎng)度”;將點(diǎn)向上（或向下）平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（n是正數(shù)），平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增加（或減少）n個(gè)單位長(zhǎng)度”.

思考4：若平面內(nèi)的一點(diǎn)沿著某一方向（非坐標(biāo)軸方向）平移，則平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該如何表示？

沿著某一方向（非坐標(biāo)軸方向）平移，可以分解為先沿著x軸方向平移，再沿著y軸方向平移（或先沿著y軸方向平移，再沿著x軸方向平移），平移后的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化.

練一練

1.（2019年杭州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于y軸對(duì)稱，則（

）.

A.m=3，n=2

B.m=-3，n=2

C.m=2，n=3

D.m=-2，n=-3

2.（2019年安順）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-3，m2+1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.（2019年廣安）若點(diǎn)M（x-l，-3）在第四象限，則x的取值范圍是____，

參考答案：

1.B

2.D

3.x>1