孫偉剛

“平面直角坐標(biāo)系”的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括確定平面上物體的位置的方法，平面直角坐標(biāo)系的建立，平面直角坐標(biāo)系中點的位置與點的坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用等.本章知識既是將數(shù)軸（一維直線）內(nèi)容向平面直角坐標(biāo)系（二維平面）內(nèi)容作進(jìn)一步擴(kuò)充和延伸，又是今后學(xué)習(xí)函數(shù)圖象、方程和不等式的基礎(chǔ)，更是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，其地位舉足輕重，為了幫助同學(xué)們更好地鞏固與提升這部分內(nèi)容.特整理出典型問題的“偽解法”，供同學(xué)們潛心研究，深入思考，火眼破偽裝，去粗取精，去偽存真，金睛顯真功.

一、概念太模糊，理解想當(dāng)然

例1如圖1.寫出平面直角坐標(biāo)系中點A，B的坐標(biāo)，

錯解：點A的坐標(biāo)為2.點B的坐標(biāo)為-3.

【火眼破偽裝】本題要求點的坐標(biāo)，何謂“點的坐標(biāo)”？其概念表述為：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一點的位置可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示，這樣的有序?qū)崝?shù)對叫作點的坐標(biāo).緊抓“點的坐標(biāo)”的定義，點A、點B釣坐標(biāo)應(yīng)該都是用一對有序?qū)崝?shù)來表示的，因此錯解中的解答之所以錯誤，原因就不言而喻了.

正解：點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（0，-3）.

【金睛顯真功】初中數(shù)學(xué)中有大量的概念，它們是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ).因此深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)概念特有的內(nèi)涵及外延至關(guān)重要.理解坐標(biāo)平面內(nèi)“點的坐標(biāo)”這一概念時，要突出“用一對有序?qū)崝?shù)來表示”這個本質(zhì)特征，并有意與“如圖2.求數(shù)軸上點A所對應(yīng)的實數(shù)”這個問題作比較，前者是將點A置于二維平面中，后者則是將點A置于一維直線上，乍看兩幅圖，點A都對應(yīng)著實數(shù)2，實則不同，前者點A的坐標(biāo)為（2，0），后者點A對應(yīng)實數(shù)2.如果對“點的坐標(biāo)”這一概念認(rèn)識模糊，理解出現(xiàn)偏差，就會出現(xiàn)像錯解那樣想當(dāng)然的結(jié)果.這是非常可怕的.

二、思維欠嚴(yán)謹(jǐn)，解答不周全

例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為（2，-1），線段AB//x軸，且AB=3，求點B的坐標(biāo).

錯解：因為線段AB//x軸，所以點B的縱坐標(biāo)與點A的縱坐標(biāo)相同，均為一1.

由于AB=3，故將點A向右平移3個單位長度，即得點B，也就是說，點B的坐標(biāo)為（5，一1）.

【火眼破偽裝】本題還是求點的坐標(biāo)，也就是求點B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)這對有序?qū)崝?shù).由于線段AB∥x軸，根據(jù)平行于x軸的直線上的點的坐標(biāo)特征，故可知點B的縱坐標(biāo)與點A的縱坐標(biāo)相同，均為-1，這點毋庸置疑！但如何求點B的橫坐標(biāo)呢？錯解中是這樣呈現(xiàn)的：由于AB=3，故將點A向右平移3個單位長度，即得點B.平移確實是解決本題的好策略！但平移由方向和距離兩個要素來決定，距離倒是已知的，而方向明確嗎？難道只能向右平移3個單位長度嗎？向左平移3個單位長度行不行呢？在一連串的問題中，思維的縝密性得到了鍛煉，問題的“偽解法”終被火眼識破.

正解：因為線段AB//x軸，所以點B的縱坐標(biāo)與點A的縱坐標(biāo)相同，均為-1.

由于AB=3，故將點A向左平移3個單位長度或向右平移3個單位長度，均可得到點B.

如圖3所示，若將點A向右平移3個單位長度，則得點B的坐標(biāo)為（5，-1）.

若將點A向左平移3個單位長度，則得點B'的坐標(biāo)為（-1，一1）.

因此點B的坐標(biāo)為（5，一1）或（-1，一1）.

【金睛顯真功】數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指研究問題時要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據(jù)，它反映了思維活動中的嚴(yán)謹(jǐn)和縝密程度.而知識儲備不足、審題能力薄弱、解題習(xí)慣不好等都是造成考慮問題不周全的重要原因.因此，我們要牢記“平移由方向和距離兩個要素來決定”這個知識，要能將問題退化為如下的源頭問題作思考：點A是一條直線上的定點，試在這條直線上畫線段AB=3，會出現(xiàn)哪幾種情況？（必要時可以畫出圖形直觀感知，如圖4所示）要能在解題完畢后養(yǎng)成檢驗反思的好習(xí)慣……如果我們做到了，那么再美的“偽裝”終將被“打回原形”.

練一練

1.若坐標(biāo)平面內(nèi)點A（m，n）在第四象限，則點B（n，m）在（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若點P（m+3，m+1）在x軸上，則點P的坐標(biāo)為（

）.

A.（0，-2）

B.（2，0）

C.（4，0）

D.（0，-4）

3.若點P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，則點P的坐標(biāo)是____.

4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若將點A（-2，3）向右平移3個單位長度到點B，則點B的坐標(biāo)是一.

5.如圖5，點A （-1，0），C（1，4），點B在x軸上，且AB=3.

（1）求點B的坐標(biāo)，并畫出△ABC.

（2）求△ABC的面積.

參考答案：

1.B 2.B 3.（-2，3） 4.（1，3）5.（1）（2，0）或（-4.0），圖略. （2）△ABC的面積為6.