蔣赟， 陳機林， 侯遠龍， 金鵬程， 尚國慶

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引 言

作為伺服系統(tǒng)執(zhí)行元件[1]，步進電機結(jié)構(gòu)簡單，定位準(zhǔn)，成本低，易控制，應(yīng)用廣。然而，開環(huán)控制下的步進電機存在低速易振蕩和高速易失步等問題，導(dǎo)致步進電機在高性能要求的工作場合中的應(yīng)用受到嚴(yán)重限制[2]。

本文以兩相混合式步進電機為研究對象，引入位置閉環(huán)控制，研究位置閉環(huán)系統(tǒng)的控制策略,提高位置控制精度。由于混合式步進電機的狀態(tài)內(nèi)部高度非線性且相互耦合[3]，傳統(tǒng)控制無法有效處理不確定信息，智能控制理論無疑是更佳選擇。結(jié)合滑?？刂婆c模糊控制，實現(xiàn)兩者優(yōu)勢互補，能夠有效抑制系統(tǒng)抖振并且保證系統(tǒng)穩(wěn)定性[4]。

文獻[5]設(shè)計將模糊控制融入傳統(tǒng)滑?？刂?，再將其應(yīng)用在削弱永磁同步直線電機的抖振現(xiàn)象，提升穩(wěn)定性的同時可以加速響應(yīng)。文獻[6]把自適應(yīng)模糊滑模控制理論運用于機器人的移動軌跡跟蹤控制算法，從而大幅提高移動跟蹤控制精度。因此，本文采用自適應(yīng)模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制(AFSMC)的智能控制策略，并應(yīng)用在步進電機伺服系統(tǒng)的位置控制中。仿真分析證明，該控制器能有效克服外界干擾，保證系統(tǒng)的靜、動態(tài)特性，削弱固有抖振，同時具有很強的魯棒性。

1 兩相混合式步進電機的數(shù)學(xué)模型

作必要假設(shè)簡化兩相混合式步進電機數(shù)學(xué)模型：不計定子極間和端部的漏磁；不計永磁體回路的漏磁；忽略磁滯和渦流的影響；忽略鐵芯飽和及鐵損的影響；假設(shè)齒層磁導(dǎo)只含有平均分量和基波分量，且按線性考慮[7]。

從結(jié)構(gòu)上看來，步進電機與永磁同步電機的設(shè)計異曲同工，因此步進電機建?？梢詤⒖贾绷魍诫姍C的建模方法[8]。兩相混合式步進電機在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q下的模型如圖1所示。

電壓方程：

(1)

磁鏈方程：

(2)

綜合式和式可得：

(3)

式中:ud、uq為d、q軸電壓；id、iq為d、q軸電流；ψd、ψq為磁鏈分量矢量值;R為定子繞阻電阻；Ld、Lq為轉(zhuǎn)子電樞d、q軸電感；ωe為電機轉(zhuǎn)子電角速度；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體在定子上產(chǎn)生的磁鏈。

機械運動方程：

(4)

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=Zr(ψdiq-ψqid)=Zr[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(5)

式中：Zr為電機的轉(zhuǎn)子齒數(shù);Te為電磁轉(zhuǎn)矩；J為等效轉(zhuǎn)動慣量；B為黏滯摩擦因數(shù)；TL為電機負載轉(zhuǎn)矩；ωm為轉(zhuǎn)子機械角速度，且ωe=Zrωm。

綜合電壓方程、電磁轉(zhuǎn)矩方程以及機械運動方程可得步進電機的狀態(tài)表達式為：

(6)

通常令交軸電流id=0，則電磁轉(zhuǎn)矩Te=Zrψfiq=Ktiq。根據(jù)數(shù)學(xué)模型設(shè)計步進電機位置伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡圖，如圖2所示。

(7)

2 自適應(yīng)模糊滑?？刂破髟O(shè)計

2.1 模糊控制基礎(chǔ)

以乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器設(shè)計模糊系統(tǒng)，則解模糊后的系統(tǒng)輸出：

(8)

引入模糊基函數(shù)向量ξT(X)=[ξ1,ξ2,…,ξm]T，即

(9)

上式可表示為：

y(x)=θTξ(X)

(10)

式中：θT=[y1,y2,…,ym]T。

2.2 滑?？刂破髟O(shè)計

滑?？刂破髟O(shè)計包含兩方面：設(shè)計合適的滑模面，使系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡進入滑動模態(tài)后具有漸近穩(wěn)定等良好的動態(tài)特性;設(shè)計合適的滑?？刂坡墒瓜到y(tǒng)的狀態(tài)軌跡收斂于滑模面[10]。

2.2.1 控制律初始設(shè)計

根據(jù)伺服系統(tǒng)的控制要求，設(shè)計合適的控制器,使得實際位置θ近似跟蹤指令位置θd，定義跟蹤誤差e=θd-θ。則有：

(11)

為消除誤差和削弱抖振，設(shè)計積分滑模面：

(12)

式中：c1>0;c2>0。

對上式求導(dǎo)：

(13)

將式(11)代入，整理得：

(14)

設(shè)計控制律u為：

(15)

式中：usw=ηsgn(s)，η≥M。

將式(15)代入式(14)，得：

(16)

(17)

2.2.2 模糊系統(tǒng)逼近未知函數(shù)

(18)

(19)

(20)

可設(shè)計自適應(yīng)律為：

(21)

最終，AFSMC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3 穩(wěn)定性分析

定義系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)：

(22)

定義系統(tǒng)逼近誤差：

(23)

則有：

設(shè)計Lyapunov函數(shù)：

(24)

(25)

代入設(shè)計的自適應(yīng)律：

(26)

根據(jù)模糊逼近理論，自適應(yīng)模糊控制可以實現(xiàn)逼近誤差ε無限小，故而：

(27)

4 試驗仿真與分析

通過5種隸屬函數(shù)使系統(tǒng)模糊化，則逼近f(x)和g的模糊規(guī)則各有25條：

(28)

定義切換函數(shù)s(t)的隸屬函數(shù):

(29)

通過步進電機位置伺服系統(tǒng)的動態(tài)仿真，比較單一滑模和結(jié)合智能控制的復(fù)合滑模這兩種控制方式，從而顯出更具優(yōu)越性的一方。仿真所用到的系統(tǒng)參數(shù)為：電機的轉(zhuǎn)子齒數(shù)Zr=200，電感Ld=Lq=18.75 mH，電阻R=12 Ω，質(zhì)量M=24 kg，摩擦因數(shù)B=0.2 N·s/m，磁鏈值ψ=0.286 Wb，目標(biāo)輸入為階躍信號vref=100 mil?？刂坡蓞?shù)c1=10,c2=25,η=0.1，自適應(yīng)律參數(shù)r1=10,r2=1,r3=0.5。

圖4和圖5是控制器輸出的階躍響應(yīng)曲線。圖4為系統(tǒng)的跟蹤響應(yīng)曲線，圖5為系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)的誤差曲線。仿真角度目標(biāo)100 mil,仿真時間10 s,外部擾動模擬為在[-5,5]mil波動的隨機信號。將圖中兩條曲線比較可知，自適應(yīng)模糊滑?？刂破鞯竭_穩(wěn)態(tài)大約用時1.2 s；傳統(tǒng)滑?？刂频竭_穩(wěn)態(tài)大約用時 2.3 s，而且出現(xiàn)微弱的超調(diào)現(xiàn)象。在模擬擾動信號的作用下，自適應(yīng)模糊滑?？刂频那€幾乎無抖動，傳統(tǒng)滑?？刂频那€抖動更加明顯。分析可知，自適應(yīng)模糊滑模控制能夠加快系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的速度，在有擾動的情況下能夠保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差，因而相比傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制具備更棒的控制特性。

為進一步驗證自適應(yīng)模糊滑?？刂频目煽啃?，對系統(tǒng)進行正弦跟蹤仿真試驗。假定輸入信號：y(t)=50 sin(t)+50，幅值為50 mil，周期為2πs，仿真時間為10 s。圖6、圖7分別為不同策略控制的正弦跟蹤曲線和正弦誤差曲線。從誤差曲線中可以看出，傳統(tǒng)單一滑?？刂葡碌恼腋櫿`差大約在[-0.7,0.7]mil之間，自適應(yīng)模糊滑?？刂?AFSMC)下的誤差大約在[-0.2,0.2]mil之間。由此可見，自適應(yīng)模糊滑?？刂?AFSMC)能更好地跟蹤目標(biāo)曲線，削弱系統(tǒng)抖振，適當(dāng)改進步進電機工作的不穩(wěn)定性，滿足系統(tǒng)的性能要求。

5 結(jié)束語

本文提出一種自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?AFSMC)，構(gòu)建步進電機位置伺服系統(tǒng)模型，設(shè)計位置環(huán)節(jié)控制，利用MATLAB/Simulink仿真進行試驗。仿真中將該控制策略(AFSMC)與傳統(tǒng)滑?？刂?SMC)比較，在保持滑模變結(jié)構(gòu)控制特有優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，有效抑制抖振，具備優(yōu)良的位置跟蹤動態(tài)性能，對于外部擾動變化體現(xiàn)強魯棒性，滿足定位精度要求，具備實際應(yīng)用價值。