黎中賢

【摘 要】應(yīng)試教育的大環(huán)境下，學(xué)生容易陷入一種模式化、套路化的思維誤區(qū)。多數(shù)學(xué)生運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，很少去思索習(xí)題本身所蘊(yùn)含的價(jià)值。對(duì)此，本文著重討論如何對(duì)基礎(chǔ)的高中數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行深度轉(zhuǎn)化。筆者認(rèn)為具體包括三個(gè)步驟，一是從“理論”到“實(shí)踐”;二是思維轉(zhuǎn)化;三是理論概括。經(jīng)過這三個(gè)步驟，習(xí)題的價(jià)值可以得到發(fā)揮，高中生的綜合學(xué)習(xí)能力也能得到提升。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);習(xí)題;深度拓展

【中圖分類號(hào)】G633.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）16-0149-02

高中數(shù)學(xué)習(xí)題數(shù)量多，種類繁雜，對(duì)學(xué)生來說無疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。其實(shí)，數(shù)學(xué)習(xí)題具有靈活性，不能夠簡(jiǎn)單地根據(jù)框架和套路解題，那樣只是得到一個(gè)結(jié)果，而不能理解其本質(zhì)內(nèi)涵。在高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的“深度拓展”中，教師的一項(xiàng)重大責(zé)任在于使習(xí)題擺脫“一道題目”等諸如此類的價(jià)值判斷，讓其價(jià)值在學(xué)生的成長(zhǎng)道路上得到充分展現(xiàn)。

1 ? “理論”為“實(shí)踐”之基

如何讓學(xué)生熟練掌握和運(yùn)用“理論”呢？

第一，應(yīng)當(dāng)是識(shí)記。有的人認(rèn)為識(shí)記只是單純的記憶，沒有技術(shù)含量，也沒有其他更值得深入探尋的方向。其實(shí)不然，識(shí)記并不只是簡(jiǎn)單的機(jī)械記憶，在識(shí)記的過程中，學(xué)生要初步理解公式、定理。這一步在以后學(xué)生分析和拓展習(xí)題內(nèi)涵的過程中有著關(guān)鍵作用。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中輕易忽略“識(shí)記”，直接進(jìn)行后續(xù)的思維活動(dòng)，則會(huì)浪費(fèi)時(shí)間和精力，因此“識(shí)記”是必不可缺的。教師也應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生，不能因?yàn)楹?jiǎn)單而忽略、輕視這一步。如有關(guān)集合的概念和運(yùn)算，子集、真子集、補(bǔ)集、交集、并集等，又如函數(shù)的三要素——定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，這些都是非?；A(chǔ)的，學(xué)生需要掌握。

如題：已知集合，，則集合用列舉法表示是____。這道題本身不具有難度，但其中有一個(gè)概念是需要學(xué)生識(shí)記的，即“列舉法”。因?yàn)橛辛诉@個(gè)限定詞，學(xué)生就不能用集合表示，而是需要將元素一個(gè)一個(gè)寫出來。如果學(xué)生不明白“列舉法”這個(gè)概念，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

第二，在識(shí)記的基礎(chǔ)上運(yùn)用。這一步驟相對(duì)基礎(chǔ)，高中生是有能力自己學(xué)習(xí)、理解、掌握的。教師可以稍稍進(jìn)行提點(diǎn)，但切忌將思路方法和盤托出，這樣不僅會(huì)中斷學(xué)生的獨(dú)立思考，而且會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生依賴性。長(zhǎng)此以往，不利于學(xué)生思維的發(fā)展。

經(jīng)過練習(xí)，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)基本可以熟練運(yùn)用概念，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及函數(shù)圖象變化等。然后可以通過具體習(xí)題檢驗(yàn)學(xué)生水平，如題：已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，則的取值范圍是？因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是開口方向朝上的，若該函數(shù)在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，則，解得。這道題也并不難，對(duì)學(xué)生的主要要求是掌握函數(shù)的圖象。

不過即便是熟悉了概念，學(xué)生也僅是觸及到了概念的皮毛，在習(xí)題的拓展中，他們還將接觸到更為廣闊的知識(shí)領(lǐng)域。

2 ? 習(xí)題深度探析過程中的思維轉(zhuǎn)換

習(xí)題的深度探析的一個(gè)重要依托是思維轉(zhuǎn)化。要深度解剖習(xí)題，對(duì)其的研究分析就不能流于表面[1]。而透過表面發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的關(guān)鍵在于通過“思維轉(zhuǎn)換”的方法進(jìn)行探析。常見的思維轉(zhuǎn)換方法有“難易轉(zhuǎn)換”“化繁為簡(jiǎn)”“轉(zhuǎn)換目標(biāo)”等，具體包括將復(fù)雜的式子設(shè)為另一個(gè)元，或者對(duì)等式和不等式的兩邊進(jìn)行移項(xiàng)。這些看似簡(jiǎn)單的方法，其實(shí)正是思維轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)。通過這些例子可以看到，解題的思路非常明晰地從一種轉(zhuǎn)換為另一種。在轉(zhuǎn)換過程中，習(xí)題的拓展深度已經(jīng)被部分挖掘出來。

但是要突破刻板思維并非易事。難點(diǎn)在于，學(xué)生原來已擁有一定程度的思維定勢(shì)。如雖然看到題干中的這一個(gè)條件，但是學(xué)生很可能下意識(shí)地忽略都不小于零這個(gè)“反面條件”。而對(duì)于有些題目，正是要反其道而行之，需要運(yùn)用“反面條件”解題。這個(gè)思維的突破需要不斷地練習(xí)，久而久之，學(xué)生就會(huì)逐漸養(yǎng)成新的思維方式。雖然從本質(zhì)上來說，這也是一種“思維慣勢(shì)”，但已經(jīng)有所進(jìn)步了。

另外，一旦在思維轉(zhuǎn)化上有所突破，學(xué)生將會(huì)迎來一個(gè)新問題——“學(xué)習(xí)高原”。這個(gè)概念簡(jiǎn)單來說就是指學(xué)生在后期的學(xué)習(xí)中進(jìn)步緩慢。這個(gè)問題繼思維轉(zhuǎn)化之后，成為學(xué)生提高思維能力的又一大障礙。對(duì)此，筆者認(rèn)為最佳的辦法就是創(chuàng)新[2]。長(zhǎng)久持續(xù)的思維訓(xùn)練必不可少，但是更重要的是創(chuàng)新。學(xué)生的創(chuàng)新能力越強(qiáng)，突破“學(xué)習(xí)高原”的速度也就越快，在思維轉(zhuǎn)化上也將更上一層樓。這對(duì)于習(xí)題的“深度拓展”來說，是具有積極意義的。

3 ? 習(xí)題價(jià)值的高度體現(xiàn)——普遍性的理論概括

在進(jìn)行了基礎(chǔ)識(shí)記和思維轉(zhuǎn)化兩個(gè)步驟之后，習(xí)題的“深度拓展”沒有完結(jié)，還可以進(jìn)一步挖掘、提煉習(xí)題的核心意義。在這里，習(xí)題的價(jià)值能夠得到高度體現(xiàn)。

通過思維轉(zhuǎn)換，學(xué)生可以明確一系列的解題方法和解題思路。這些方法和思路存在于人腦中時(shí)，并不能自動(dòng)形成一個(gè)清晰完整的體系[3]。對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，讓其通過歸納整理的方法小結(jié)，使其具有系統(tǒng)性。最簡(jiǎn)單的歸類方法就是按照題目的類型整理，稍有難度的是按照解題思路分類。這個(gè)習(xí)題的小結(jié)可以幫助學(xué)生理順?biāo)季S，突破某些刻板思維，從而達(dá)到對(duì)習(xí)題了然于心。如題：求證20202021>20212020。一般來說，學(xué)生如果沒有過多思考，就會(huì)按照第一直覺直接從具體數(shù)字入手，但是在這過程中，部分學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)難以證明。那么教師在教學(xué)中要如何指導(dǎo)學(xué)生解題呢？以一般化的思路導(dǎo)入是最恰當(dāng)不過的。首先，引導(dǎo)學(xué)生將解題思路拓展，跳出原有就題目解題目的思維，進(jìn)而退到最基本的情形，然后再逐步歸納，不難得出（且）。其次，通過數(shù)學(xué)歸納法證明此一般性命題的正確性，接著據(jù)此求證特殊性命題，結(jié)果就迎刃而解了。此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的一般化探索。經(jīng)過分析論證，可以得到更為一般的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。至此，學(xué)生所解決的問題，就不再是一道題，而是一類題，在日后的學(xué)習(xí)中學(xué)生就能夠輕易地解決此類問題。最后，教師要耐心指引，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成積極正面的心態(tài)，同時(shí)，也可以與學(xué)生一起交流，營造良好的思維活動(dòng)氛圍。

如向量AB乘向量CD，這個(gè)向量運(yùn)算除了課本上提到的方法，還有另一種方法，即向量AB乘向量CD等于[（AD2+BC2）-（AC2+BD2）]。這個(gè)公式可以在“驗(yàn)錯(cuò)”過程中檢驗(yàn)。而經(jīng)過多次對(duì)于不同題型的驗(yàn)證，可以知道，這個(gè)公式是正確的。

總之，數(shù)學(xué)作為一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，其習(xí)題的研究自然而然也需要強(qiáng)大的邏輯思維。所以，對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題“深度拓展”的理論研究，理應(yīng)立足于綜合的思維過程。未來，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)習(xí)題的研究也一定會(huì)迎來嶄新的變革。然而千變?nèi)f化，內(nèi)涵卻將永遠(yuǎn)延續(xù)。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)習(xí)題的“深度拓展”，也要持續(xù)貫穿于學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活之中。教師需要不斷研習(xí)和改良習(xí)題，并幫助學(xué)生對(duì)習(xí)題進(jìn)行深度探究，這有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的綜合發(fā)展，也會(huì)對(duì)其終生發(fā)展產(chǎn)生影響。

【參考文獻(xiàn)】

[1]沈健.簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單——談高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的“深度拓展”[J].高考，2019（14）.

[2]丁祥，談高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的思維拓展[J].數(shù)理化解題研究，2015（17）.

[3]張朱櫻，高中教學(xué)延伸拓展教學(xué)的多維研究思路[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2017（5）.