路紫薇，左可正，蔣萬林

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

用C表示復(fù)數(shù)域，用Cm×n表示復(fù)數(shù)域C上所有矩陣組成m×n的集合，In表示n階單位矩陣.用A*,rank(A)，R(A)分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置、秩和值域空間.設(shè)A∈Cn×n，用ind(A)表示A的指數(shù)，即ind(A)=k是滿足rank(Ak)=rank(Ak+1)的最小非負(fù)整數(shù).

首先介紹需要用到的幾種廣義逆.

1)對(duì)矩陣A∈Cm×n,A的Moore-Penrose逆A+∈Cm×n是滿足以下4個(gè)Penrose方程的唯一解[1-2]：

(1)

PA=AA+，QA=A+A分別是在R(A)，R(A*)上的正交投影算子.

2)設(shè)A∈Cn×n，ind(A)=k，則A的Drazin逆AD是滿足下列3個(gè)矩陣方程的唯一解[3]：

(2)

特別地，當(dāng)矩陣A的指數(shù)ind(A)≤1時(shí)，A的Drazin逆AD就是A的群逆A#，即A的群逆A#滿足：

(3)

AA〇#=PA，R(A〇#)?R(A)

(4)

近年來，一些學(xué)者給出了core-逆的幾種推廣. 如2014年P(guān)rasad和Mohana在文獻(xiàn)[5]中給出了core-EP逆A⊕的定義：

(5)

其中，k=ind(A).

(6)

(7)

(8)

其中,k(≥2)是正整數(shù).

1 預(yù)備引理

為了得到主要的結(jié)果，需要下面一些已知的引理.

引理1[8](酉-上三角分解，QR分解)若A∈Cn×n且A可逆，則存在酉矩陣U及上三角矩陣T使得A=UT，且這種分解是唯一的.

引理2[9](核-冪零分解)設(shè)A∈Cn×n，ind(A)=k，則存在可逆陣P∈Cn×n，使得：

(9)

其中，G可逆；N為冪零矩陣，且Nk=0.

特別地，當(dāng)rank(A)=rank(A2)=r時(shí),有:

(10)

其中，G∈Cr×r，G可逆.

文獻(xiàn)[10]中定理4.2給出了在引理2核-冪零分解下，矩陣A的Drazin逆AD的表達(dá)式為：

(11)

引理3[4]若A∈Cn×n，rank(A)=rank

(A2)=r，則A〇#=A#AA+.

引理4[11]若A∈Cn×n，ind(A)=k，則

A⊕=(Ak+1(Ak)+)+=(APAk)+.

其中，R=BB*+CC*.

(12)

2 主要結(jié)果及證明

本文利用矩陣的酉-上三角分解和核-冪零分解，得到A的一些廣義逆的核-冪零表達(dá)式.

若對(duì)式(10)中的可逆陣P進(jìn)行酉-上三角分解，且對(duì)矩陣T進(jìn)行相應(yīng)的分塊，令：

(13)

(14)

其中，T1，K1∈Cr×r；T2，K2∈Cr×(n-r)；T3，K3∈C(n-r)×(n-r)；U為n階酉矩陣.

由PP-1=I,可得:

(15)

由式(15)有:

(16)

(17)

下面先給出在核-冪零分解下A+的表達(dá)式.

定理1 若A∈Cn×n，A≠0且rank(A)=rank(A2)=r，則：

(18)

其中，G∈Cr×r；T1,T2,T3,K1,K2,K3由式(10)和式(14)給出,且：

(19)

證明由已知條件及核-冪零分解引理知存在可逆陣P∈Cn×n，使得：

(20)

利用式(16)有：

(21)

其中，G∈Cr×r；T1,T2,T3,K1,K2,K3由式(10)和式(14)給出.

根據(jù)引理5可知：

(22)

(23)

從而：

(24)

定理2 若A∈Cn×n，A≠0且rank(A)=rank(A2)=r,則：

(25)

(26)

證明由定理1,利用式(10)和式(18)直接計(jì)算可得：

PA=AA+=

(27)

QA=A+A=

(28)

定理3 若A∈Cn×n，A≠0且rank(A)=rank(A2)=r,則:

(29)

其中，G∈Cr×r；T1,T2由式(10)和式(14)給出.

證明由引理3可知A〇#=A#AA+，所以：

(30)

以上所給的是core-逆A〇#的核-冪零形式的表達(dá)式，當(dāng)然也可以用酉相似來刻畫，core-逆A〇#用酉相似表示如下：

(31)

定理4 若A∈Cn×n，A≠0，ind(A)=k，rank(A)=r，則：

(32)

其中，G∈Cr×r；T1,T2由式(14)給出.

證明因?yàn)锳∈Cn×n，且ind(A)=k，由核-冪零分解可得,存在可逆陣P∈Cn×n，使得：

(33)

其中，G可逆；N為冪零矩陣，且Nk=0.

(34)

(35)

此時(shí)，由引理5可知：

(36)

故：

Ak+1(Ak)+=

(37)

因此,由引理4有：

(38)

3 應(yīng)用

利用由矩陣的核-冪零分解得到的Moore-Pensore廣義逆A+，core-逆A〇#，PA=AA+，QA=A+A，A⊕的核-冪零表達(dá)式，來研究EP陣，k-廣義投影算子和k-超廣義投影算子的特征.

定理5 設(shè)A∈Cn×n，A≠0，rank(A)=r，ind(A)=1,且有式(10)和式(16)的表達(dá)式，則：

證明

1)根據(jù)定理2可知：

(39)

(40)

2)根據(jù)式(16)式可知:

(41)

(42)

(43)

定理6 設(shè)A∈Cn×n，A≠0，則下列各命題彼此等價(jià)：

(b)A+=A〇#;

(c)A+=AA+A〇#;

(d)A+=A〇#AA+;

(e)A+=AA〇#A#;

(f)A〇#A#=A#A〇#;

(g)A#A#A〇#=A#A〇#A#;

(h)A#A#A〇#=A〇#A#A#;

(i)A〇#A〇#A#=A〇#A#A〇#;

(j)A〇#A〇#A#=A#A〇#A〇#.

證明僅證明(a)?(b)，(b)?(c)，(e)?(f)，(j)?(a)，其余的類似可證.

(b)?(c) 根據(jù)式(17)和式(28)可知：

(44)

(45)

(46)

(e)?(f) 根據(jù)式(17)，(18)，(22)和(46)可知：

(47)

(48)

因?yàn)锳+=AA〇#A#，注意到，Q2=0?T2=0，那么T2=0，從而：

(49)

(j)?(a) 根據(jù)式(17)和式(29)可知:

(50)

(51)

定理7 設(shè)A∈Cn×n，A≠0，則下列各命題彼此等價(jià)：

(b)A*=(A〇#)k+2；

(c)(A#)k+2A#AA*；

(d)(A〇#)k+2=AA*A#;

(e)(A〇#)k+2=A*AA〇#;

(f)(A#)k+2=A*AA〇#;

(g)(A#)k+2=AA*A〇#;

(h)A*=Ak+1A〇#;

(i)A*=A#Ak+1.

證明僅證明(a)?(b)，(g)?(h)，(i)?(a)，其余的類似可證.

(52)

其中，T1GkK1=(T1GK1).

根據(jù)引理6可得出T1Gk+1K1=Ir，Gk+1=Ir，從而：

(53)

(g)?(h) 根據(jù)式(16)，式(17)和式(31)可得：

AA*A〇#=

(54)

(55)

因?yàn)?A#)k+2=AA*A〇#，那么K2=0且T1G-(k+2)K1=(T1GK1)*，故T2=0且T1G-(k+2)K1=(T1GK1)*，由引理6可知T2=0且T1G-(k+2)K1=(T1GK1)*?T2=0且T1GkK1=(T1GK1)*，從而：

(56)

定理8 設(shè)A∈Cn×n，A≠0，則下列各命題彼此等價(jià)：

(b)A+=(A〇#)k+2;

(c)(A#)k+2=A#PA;

(d)(A〇#)k+2=PAA#;

(e)(A〇#)k+2=A+AA〇#;

(f)(A#)k+2=A+AA〇#;

(g)(A#)k+2=PAA〇#;

(h)A+=Ak+1A〇#;

(i)A+=A#Ak+1.

證明僅證明(a)?(b)，(f)?(g)，(i)?(a)，其余的類似可證.

(57)

(f)?(g) 對(duì)式(11)，式(25)和式(28)進(jìn)行計(jì)算可知：

(58)

(59)

(60)

(i)?(a) 由于：