張 禹，孫興偉，楊赫然，董祉序，楊 冬，張妮妮，杜曉宇

(1.遼寧省復(fù)雜曲面數(shù)控制造技術(shù)重點實驗室，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；3.長慶油田分公司 機械制造總廠，陜西 西安 710201；4.中國石油遼陽石油化纖公司 芳烴公司，遼寧 遼陽 111003)

0 引言

隨著機械工業(yè)的快速發(fā)展，各種型號的螺桿泵、螺桿馬達、螺桿式壓縮機等通用機械在石油、化工等不同行業(yè)中的應(yīng)用日益廣泛[1]。螺桿作為螺桿泵的核心組成部分，其精度對主機性能起著決定性作用，對其的精度要求也大幅度提升，因此，準確擬合螺桿截面曲面，對加工軌跡進行合理規(guī)劃，顯得尤為重要。

應(yīng)用于曲線插值點構(gòu)造的方法有多種，其中具有代表性的為PIA算法。該算法首先計算各數(shù)據(jù)點局部曲率半徑值，通過曲率半徑可以求出數(shù)值點曲率，然后篩選出可以反映圖形主特征的數(shù)據(jù)點以及局部曲率值大于曲率均值的數(shù)據(jù)點作為所需擬合曲線的控制頂點，通過迭代獲取擬合曲線[2]。該算法具有適應(yīng)性強、收斂速度快、迭代步驟獨立、計算效率高等優(yōu)點[3-4]，因此可以在保證原數(shù)據(jù)輪廓特征的基礎(chǔ)上,有效壓縮B樣條曲線的控制頂點個數(shù)，最終實現(xiàn)曲線的精準擬合[5]。

1 螺桿截面造型

為保證螺桿的加工精度，本文基于用戶提供的螺桿截面數(shù)據(jù)點坐標，采用PIA算法構(gòu)造曲線插值點，對數(shù)據(jù)點進行光順擬合。

由于從動螺桿截面一個周期內(nèi)數(shù)據(jù)點的坐標值為已知量，但同一周期內(nèi)數(shù)據(jù)點之間的間距不等，為保證擬合曲線光滑，首先將稠密的數(shù)據(jù)點等距分布，且不改變某些對逼近曲線形狀產(chǎn)生重要影響的特殊點數(shù)據(jù)，這些特殊點稱為輪廓關(guān)鍵點。對于給定的數(shù)據(jù)點，曲率信息對點的幾何特征具有重要意義，曲線的變化與曲率正相關(guān)。某型號從動螺桿端面型線部分數(shù)據(jù)點坐標如表1所示。

首先由空間解析幾何知識，采用近似局部曲率公式求解各數(shù)據(jù)點的曲率。各數(shù)據(jù)點曲率ki計算公式為：

(1)

其中：ρi為曲線在第i個數(shù)據(jù)點的曲率半徑；di-1、di、di+1分別為相鄰的3個數(shù)據(jù)點。

表1 從動螺桿端面型線的部分數(shù)據(jù)點坐標

將表1中的數(shù)據(jù)點坐標代入式(1)可得到各數(shù)據(jù)點曲率。

輪廓關(guān)鍵點由螺桿截面各數(shù)據(jù)點的曲率臨界值確定，在可以保障曲線廓形精度的前提下盡量減少關(guān)鍵點數(shù)，因此選取曲率平均值作為確定關(guān)鍵數(shù)據(jù)點的依據(jù)。對于擬合非封閉曲線時，曲線的首尾數(shù)據(jù)點的曲率對曲線的變化起決定性作用，因此在選取關(guān)鍵點時可直接將這兩點確定為關(guān)鍵點。從動螺桿在單周期內(nèi)給定數(shù)據(jù)點所對應(yīng)的曲率值如圖1所示。

由圖1可以看出：在單周期內(nèi)接近于首尾段數(shù)據(jù)點的曲率值普遍高于曲率均值，因此可以將該區(qū)間段的所有數(shù)據(jù)點均選取為關(guān)鍵數(shù)據(jù)點，而在中間數(shù)據(jù)段內(nèi)可以先只選取高于曲率平均值的點作為關(guān)鍵點。

確定關(guān)鍵點個數(shù)及位置后進行迭代計算，驗證是否滿足曲線擬合精度，在不滿足擬合精度的區(qū)間段細化增值，并插入新節(jié)點，最終輸出擬合精度合格的螺桿截面曲線，如圖2所示。

由圖2可以看出：最終擬合的曲線幾乎通過原數(shù)據(jù)點，并逼近原數(shù)據(jù)點所反映的曲線輪廓，可以判斷出其滿足擬合精度的要求，確定為最終擬合曲線。

圖1 從動螺桿在單周期內(nèi)給定數(shù)據(jù)點曲率及均值分布

圖2 螺桿截面數(shù)據(jù)擬合曲線

2 刀具運動軌跡規(guī)劃研究

刀具軌跡規(guī)劃的兩大重要參數(shù)為行距和步長。行距的大小決定工件的加工效率，對于螺桿而言，其螺旋曲面有凹凸型，因此需要分別對兩種型面進行行距的計算。根據(jù)幾何關(guān)系可得凹面行距L凹與凸面行距L凸表達式分別為：

(2)

(3)

其中：Rn為曲面曲率半徑；h為殘留高度；r為刀具半徑；kn為局部曲率。

圖3為刀具切削曲面位姿示意圖。其中，φ、β、θ是以刀觸點為坐標原點建立的瞬時坐標系OM-XMYMZM與刀具坐標系O-XYZ的三軸夾角。

根據(jù)等殘留高度法，在已知初始加工軌跡的前提下，結(jié)合行距的要求依次求解其余刀具軌跡。刀具和螺桿在任意刀位點處的曲率方程為：

(4)

其中：KMn為刀具走刀向法向曲率；Kmax、Kmin分別為曲面與刀尖圓弧接觸區(qū)域的最大、最小曲率；R為刀尖圓弧半徑；ω刀傾為刀軸傾角，即刀軸與Y軸的夾角。

圖3 刀具切削曲面位姿示意圖

根據(jù)式(4)可求解出刀具行距的極值和盤銑刀有效切削半徑。

對于復(fù)雜曲面而言，在其切削加工過程中，通常利用微小的直線段來逼近需要加工的表面[6]。若刀具為盤銑刀，由于刀盤回轉(zhuǎn)直徑相對所需加工的零件較大，因此刀軸直徑微小的變動即會引起刀具有效切削半徑的改變。為實現(xiàn)加工準確，給出刀軸傾角的計算公式：

(5)

其中：λ為誤差參數(shù)；kM為曲面曲率；kD為刀尖圓弧曲率;d為曲面與刀具之間的距離。

刀觸點參數(shù)方程為：

(6)

根據(jù)步長得到離散點后，再根據(jù)式(2)或式(3)計算下一條軌跡刀位點，在符合加工范圍的前提下計算行距增量，并確定刀具軌跡上刀位點坐標，最終輸出刀位點軌跡。

3 仿真分析

本文選用刀盤直徑為290 mm、刀尖角度為35°、刀尖圓弧半徑為1.2 mm的盤銑刀加工螺桿。設(shè)定銑削方式為往復(fù)式，主軸轉(zhuǎn)速為170 r/min，行距為0.8 mm，殘留高度為0.2 mm。模擬盤銑刀從進刀至退刀的全過程，如圖4所示。為進一步分析切削工程中是否存在過切或欠切現(xiàn)象，利用三維仿真軟件對切削曲面進行余料測量，仿真過程及結(jié)果分別如圖5、圖6所示。由圖6可以看到，切削效果良好，可以達到切削精度要求。

圖4 刀具路徑仿真 圖5 刀具切削仿真

4 結(jié)語

本文首先針對三螺桿泵從動桿截面型線進行擬合，并由此獲得從動桿截面模型。在此基礎(chǔ)上，對盤銑刀加工從動桿的走刀行距和刀軸傾角進行優(yōu)化設(shè)計。最后通過盤銑刀加工路徑的仿真驗證，證明了本文所采

用的螺桿截面曲線擬合及刀具軌跡規(guī)劃方法的可行性。

圖6 刀具切削仿真結(jié)果