周小寧，王立權(quán)，朱偉華，閆宏雁，張 宇

(上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

瞬時(shí)測(cè)頻技術(shù)是射頻目標(biāo)回波模擬器系統(tǒng)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，測(cè)頻準(zhǔn)確性會(huì)直接影響目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度模擬的精確度。隨著測(cè)頻帶寬、實(shí)時(shí)性以及多信號(hào)檢測(cè)等要求的不斷提高，對(duì)測(cè)頻技術(shù)提出了更高的要求。傳統(tǒng)模擬瞬時(shí)測(cè)頻技術(shù)的測(cè)頻帶寬大，但測(cè)頻精度有限；常規(guī)數(shù)字信道化測(cè)頻技術(shù)測(cè)頻精度高，但系統(tǒng)過(guò)于復(fù)雜且不具備多信號(hào)處理能力[1-3]；單比特瞬時(shí)測(cè)頻技術(shù)采用單比特(1～4 bit)模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)和近似核算法滿足大帶寬、高實(shí)時(shí)性測(cè)頻要求，但采樣位數(shù)的減少以及近似核的量化會(huì)降低系統(tǒng)的無(wú)雜散動(dòng)態(tài)范圍(SFDR)，影響弱信號(hào)的頻率檢測(cè)準(zhǔn)確性[4-5]，如何提高測(cè)頻系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是單比特測(cè)頻中的研究重點(diǎn)。

本文在ADC位數(shù)和近似核階數(shù)之間約束關(guān)系的基礎(chǔ)上，針對(duì)8階常規(guī)近似核因量化噪聲大而影響動(dòng)態(tài)性能的問(wèn)題，提出一種基于半圓的近似核快速傅里葉變換(FFT)優(yōu)化算法，通過(guò)理論分析和仿真驗(yàn)證了算法的有效性和優(yōu)越性。

1 近似核FFT算法原理

近似核FFT算法是由常規(guī)FFT旋轉(zhuǎn)因子量化而成。設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且N=2L，L為整數(shù)。由于L為偶數(shù)，可以將x(n)按奇偶序列分為2組，則X(k)的前一部分可表示為：

(1)

圖1 基于正方形的常規(guī)近似核量化方法

以圖1所示區(qū)域1為例，旋轉(zhuǎn)因子與區(qū)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如式(2)所示：

(2)

式中：M為旋轉(zhuǎn)因子量化階數(shù)；2N為正方形的邊長(zhǎng)。

ADC量化和近似核算法共同決定了系統(tǒng)的噪聲水平，為此需要對(duì)兩者的約束關(guān)系展開(kāi)討論。ADC位數(shù)與近似核階數(shù)之間的約束關(guān)系為[6-7]：

(3)

式中：M為近似核量化階數(shù)；b為ADC量化位數(shù)。

式(3)給出了理想情況下ADC位數(shù)和近似核階數(shù)滿足的約束關(guān)系，為驗(yàn)證該理論關(guān)系，開(kāi)展仿真得到不同ADC位數(shù)和近似核階數(shù)下的SFDR，結(jié)果如表1所示。

表1 不同ADC位數(shù)和近似核下的SFDR

由表1可知，固定ADC位數(shù)，以2 bit采樣為例，近似核階數(shù)從4位增加到8位，SFDR提高超過(guò)7 dB，當(dāng)從8位持續(xù)增加到64位時(shí)，SFDR只提高了2 dB；固定近似核階數(shù)，以16階近似核為例，采樣位數(shù)從1 bit增加到2 bit，SFDR提高超過(guò)8 dB，而從2 bit增加到3 bit，SFDR幾乎沒(méi)有提高。為此，本文選擇2位ADC和8階近似核作為研究條件。

2 一種基于半圓的近似核優(yōu)化算法

2.1 常規(guī)近似核算法的不足

基于正方形的常規(guī)近似核算法選取外切于圓的正方形，在正方形上等間隔選取一定的點(diǎn)作為核函數(shù)的量化值。8階常規(guī)近似核算法如圖2所示。

圖2 基于正方形的常規(guī)8階近似核

觀察圖2可知，基于正方形的常規(guī)近似核為了避免乘法運(yùn)算選取位于外切單位圓的正方形頂點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)因子量化值，主要存在正方形拐角處的點(diǎn)與單位圓契合度不高以及部分旋轉(zhuǎn)因子選取不合理等問(wèn)題，引起了一定的量化噪聲，降低了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍。

對(duì)8階常規(guī)近似核算法進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示，其中圖3(a)中兩信號(hào)幅度差為10 dB，圖3(b)中兩信號(hào)幅度差為13 dB。

由圖3可知，當(dāng)輸入雙音信號(hào)的幅度差為10 dB時(shí)，弱信號(hào)譜線幅值位于強(qiáng)信號(hào)的最大諧波分量之上，在頻率檢測(cè)時(shí)弱信號(hào)可以被檢測(cè)出來(lái)。當(dāng)輸入雙音信號(hào)的幅度差為13 dB時(shí)，弱信號(hào)淹沒(méi)于強(qiáng)信號(hào)的諧波中，導(dǎo)致弱信號(hào)無(wú)法被檢測(cè)出來(lái)?？梢?jiàn)，由于8階正方形近似核量化噪聲過(guò)大，降低了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)范圍，不利于弱信號(hào)的檢測(cè)。因此，需要對(duì)8階基于正方形的常規(guī)近似核進(jìn)行優(yōu)化。

2.2 近似核FFT優(yōu)化算法

近似核FFT算法的核心是將蝶形單元中的旋轉(zhuǎn)因子量化為與2的整數(shù)次冪相關(guān)的復(fù)數(shù)，利用移位和加法運(yùn)算替代乘法運(yùn)算進(jìn)而降低運(yùn)算量，式(4)為FFT蝶形單位的計(jì)算表達(dá)式：

(4)

圖3 常規(guī)近似核下雙音動(dòng)態(tài)范圍對(duì)比圖

圖4 基于半圓的近似核優(yōu)化算法

以第四象限為例，旋轉(zhuǎn)因子量化值的選取方法為：

(5)

2.3 算法復(fù)雜性

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，假設(shè)蝶形單元中旋轉(zhuǎn)因子在近似核量化區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。由此得到常規(guī)近似核和近似核優(yōu)化算法由量化引起的加法運(yùn)算次數(shù)分別為：

(6)

同理，在基本蝶形單元中，輸入序列的交叉合并需要2次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，即4次實(shí)數(shù)加法運(yùn)算，則每個(gè)階段共有2N次加法運(yùn)算，由此可得常規(guī)近似核和近似核優(yōu)化算法由序列交叉合并引起的加法運(yùn)算次數(shù)分別為：

S12=S22=2Nlog2N

(7)

進(jìn)而得到2種近似核算法中總的加法運(yùn)算次數(shù)分別為：

(8)

由式(8)可知，與常規(guī)近似核算法相比，近似核優(yōu)化算法的加法運(yùn)算量增加了約10%，即近似核優(yōu)化前后運(yùn)算量規(guī)模相當(dāng)。在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)，這對(duì)測(cè)頻的實(shí)時(shí)性基本不會(huì)造成影響。

3 算法性能驗(yàn)證

3.1 動(dòng)態(tài)性能理論分析

近似核的一般表達(dá)形式如下：

(9)

(10)

對(duì)上述近似核進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，有：

(11)

(12)

將式(9)代入式(12)得：

(13)

式中：ni為落入編號(hào)為i的近似核量化區(qū)間內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，有：

n1+n2+…+nM=N

(14)

對(duì)式(13)做進(jìn)一步推導(dǎo)：

(15)

由ck表達(dá)式可知，旋轉(zhuǎn)因子的模值r和近似核階數(shù)M是影響諧波分量的直接因素。由式(15)計(jì)算可得，基于半圓的8階高精度近似核優(yōu)化算法相比常規(guī)近似核算法，SFDR提高約4.5 dB。

3.2 仿真驗(yàn)證

經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的近似核量化噪聲功率已經(jīng)大幅降低，但還需要通過(guò)仿真進(jìn)一步驗(yàn)證。圖5(a)中采用8階基于正方形的常規(guī)近似核，圖5(b)中采用8階基于半圓的高精度優(yōu)化近似核。

圖5 兩種近似核下雙音信號(hào)頻譜對(duì)比

從圖5中可以看出，在輸入雙音信號(hào)幅度范圍均為13 dB時(shí)，由于諧波的影響，采用基于正方形的常規(guī)近似核無(wú)法檢測(cè)出f2；而優(yōu)化近似核能夠有效減弱諧波對(duì)弱信號(hào)的影響，f2可以被檢測(cè)出來(lái)。結(jié)果表明，優(yōu)化后的近似核算法有效提高了SFDR，但具體提高多少還有待分析。為此，對(duì)不同噪聲水平下的近似核動(dòng)態(tài)性能展開(kāi)仿真，結(jié)果如圖6所示。

圖6 2種近似核下SFDR性能對(duì)比

由仿真結(jié)果可知，相較于常規(guī)近似核算法，近似核優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)的SFDR有明顯的提高，在信噪比為10 dB附近最大提升達(dá)到6 dB。結(jié)合理論推導(dǎo)，從整體來(lái)看，在信噪比為0～30 dB的范圍內(nèi)，與常規(guī)近似核相比，近似核優(yōu)化算法的SFDR提高至少達(dá)4.8 dB，在加法運(yùn)算量增加10%的情況下SFDR提高了約35%。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了單比特測(cè)頻中近似核FFT算法原理，分析了ADC位數(shù)和近似核階數(shù)之間的約束關(guān)系，并選取2位ADC和8階近似核為研究條件。針對(duì)8階常規(guī)近似核算法存在設(shè)計(jì)不合理和量化噪聲大的問(wèn)題，提出了一種基于半圓的近似核FFT算法。理論推導(dǎo)和仿真表明，本算法在增加約10%加法運(yùn)算量的前提下，系統(tǒng)的雙音動(dòng)態(tài)范圍至少提高了4.5 dB。