李顯哲 曹云東 付思

摘要：以磁流體動(dòng)力學(xué)（MHD）為基礎(chǔ)，建立了小電流真空電弧的雙溫磁流體動(dòng)力學(xué)模型及三維電弧的數(shù)學(xué)控制模型，仿真分析了小電流真空電弧的特性參數(shù)以及電機(jī)旋轉(zhuǎn)對(duì)于電弧特性參數(shù)的影響。分析表明：小電流真空等離子體數(shù)密度、電子溫度、離子溫度、壓強(qiáng)、縱向電流密度、能流密度的最大值都出現(xiàn)在電弧中心位置，并且沿徑向逐漸減小，電弧等離子體從外觀以及各項(xiàng)參數(shù)的分布上符合擴(kuò)散型電弧的規(guī)律;同時(shí)，隨著電極轉(zhuǎn)速的增加，縱向電流密度、電子溫度、離子溫度、陽(yáng)極側(cè)能流密度都逐漸減小，分布更加均勻。

關(guān)鍵詞：真空斷路器;磁流體動(dòng)力學(xué)（MHD）;數(shù)值仿真;電弧參數(shù)

0? ? 引言

真空電弧的本質(zhì)是存在于真空介質(zhì)中的蒸氣電弧[1]。目前，真空電弧已經(jīng)廣泛應(yīng)用于真空滅弧室、真空鍍膜以及相控真空開(kāi)關(guān)等多個(gè)領(lǐng)域，對(duì)真空電弧的建模仿真及研究作為一種重要研究手段，受到了眾多專(zhuān)家學(xué)者的重視。

真空電弧在真空環(huán)境中，電極間的氣體十分稀薄，所以不存在空氣電弧中氣體的游離問(wèn)題，電弧中的帶電粒子主要來(lái)自于電極蒸發(fā)的氣體金屬蒸氣分子的游離[2]，這些游離的金屬蒸氣分子為極間真空區(qū)域提供了大量的等離子體，形成承載電流的載荷粒子。

R.L.Boxman[3]最早針對(duì)平板電極真空電弧進(jìn)行了一維仿真，將真空電弧當(dāng)作流體處理，方程反映了電流密度在陽(yáng)極區(qū)域發(fā)生收縮現(xiàn)象，但其將流體方程與電磁場(chǎng)方程割裂開(kāi)來(lái)，因此模型并不完整。I.I.Beilis和M.Keidar[4-5]將流體方程與電磁場(chǎng)方程進(jìn)行耦合，并加入了縱向磁場(chǎng)，建立了二維電弧模型，分析了電子溫度以及陽(yáng)極鞘層電勢(shì)的變化。E.Schade和D.L.Shmelev[6-7]最終考慮了能量平衡方程，建立了比較完善的雙溫MHD模型，并分析了在外加磁場(chǎng)的作用下，超音速電弧、亞音速電弧的參數(shù)分布及轉(zhuǎn)換過(guò)程，此外還分析了能流密度分布以及磁場(chǎng)對(duì)于電弧等離子體的影響。王立軍、賈申利等[8-10]在Schade模型的基礎(chǔ)上，添加了離子動(dòng)能以及離子粘性應(yīng)力，進(jìn)一步完善了雙溫等離子體模型，并且針對(duì)觸頭半徑、觸頭開(kāi)距等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)電弧進(jìn)行了模擬。隨后建立了縱向磁場(chǎng)下的三維真空電弧模型，發(fā)現(xiàn)了等離子體的螺旋運(yùn)動(dòng)，并分析了空間區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)的分布[11]，形成了完善的真空電弧MHD模型。

真空電弧主要是依靠陰極表面上大量的陰極斑點(diǎn)提供的金屬蒸氣來(lái)維持的，陰極斑點(diǎn)位置溫度高，電流密度大，它不僅提供維持真空電弧燃燒的金屬蒸氣，同時(shí)也是電子進(jìn)入真空區(qū)域的通道[12]。因此，當(dāng)陰極斑點(diǎn)跟隨電極發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，將會(huì)改變真空電弧的特性參數(shù)，這些特性參數(shù)包括流動(dòng)參數(shù)以及電磁參數(shù)，對(duì)于真空電弧的燃燒過(guò)程以及熄滅過(guò)程有著重要的影響。

本文將根據(jù)現(xiàn)有的MHD模型，著重研究電極在不同轉(zhuǎn)速下小電流真空電弧物性參數(shù)，分析對(duì)比討論電極旋轉(zhuǎn)對(duì)小電流真空電弧的影響。

1? ? 小電流真空電弧模型

1.1? ? 物理模型與基本假設(shè)

I.I.Beilis等人建立了小電流（100～500 A）下陰極斑點(diǎn)真空電弧等離子體模型[13]，當(dāng)電弧電流很小時(shí)，單獨(dú)存在的陰極斑點(diǎn)蒸氣射流由于自身的等離子體壓力而發(fā)生徑向擴(kuò)散，真空電弧的形態(tài)呈擴(kuò)散態(tài)，陰極斑點(diǎn)僅占整個(gè)陰極表面的很小一部分，發(fā)射的金屬氣流處于平行、獨(dú)立的狀態(tài)，可以把這種類(lèi)型的電弧作為射流來(lái)處理，電流處于超音速流動(dòng)狀態(tài)，其模型可用圖1來(lái)描述。值得注意的是，該模型的應(yīng)用范圍是小電流真空電?。?00～500 A），如果接觸面過(guò)小而流過(guò)接觸面的電流比較大，陰極斑點(diǎn)覆蓋的范圍將會(huì)增大，而隨著電弧電流的進(jìn)一步增大，陰極斑點(diǎn)會(huì)逐漸擴(kuò)散直到充滿整個(gè)陰極，電弧形態(tài)將發(fā)展為收縮態(tài)，由于整個(gè)陰極表面發(fā)射等離子體，將無(wú)法判斷電極旋轉(zhuǎn)對(duì)真空電弧等離子體特性參數(shù)分布的影響，因此不予考慮。

如圖1所示，真空電弧主要由三部分組成：陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)、弧柱區(qū)以及陽(yáng)極鞘層。陰極斑點(diǎn)是真空電弧等離子體的主要來(lái)源，電弧等離子體的流動(dòng)方向是從陰極流向陽(yáng)極，電子和金屬離子為電流的載體。本文的仿真區(qū)域?yàn)榛≈鶇^(qū)，模型中的陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)、陽(yáng)極鞘層則是作為真空電弧仿真區(qū)域的邊界，陽(yáng)極作為電流收集器在超音速流動(dòng)的情況下本身不影響等離子體流動(dòng)，而且根據(jù)文獻(xiàn)[14]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由陽(yáng)極融化、蒸發(fā)產(chǎn)生的材料也難以進(jìn)入弧柱中。文中將不再考慮陽(yáng)極鞘層以及電弧的弧柱對(duì)于陰極斑點(diǎn)的影響，陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)只作為電弧等離子體的噴射入口。因此按照?qǐng)D2所示物理模型進(jìn)行建模仿真。

真空電弧的物理模型將基于以下幾個(gè)假定：

（1）電弧等離子體完全電離，極間只存在兩種帶電粒子——電子及帶電離子（金屬銅離子），不再考慮中性粒子在等離子體中的作用。

（2）等離子體中電子的自由行程le遠(yuǎn)小于電極間距d，因此對(duì)于真空電弧等離子體，可以當(dāng)作導(dǎo)電的連續(xù)流體，因而可以用流體理論來(lái)描述電弧等離子體。

（3）由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，因而忽略電子的慣性分量。

（4）考慮求解區(qū)域滿足準(zhǔn)電中性條件，即ne=zini，其中zi為銅離子的電荷量。

（5）陽(yáng)極還不活躍，陽(yáng)極一直處于被動(dòng)狀態(tài)，入射的等離子體在到達(dá)陽(yáng)極后將在陽(yáng)極邊界處凝結(jié)。

（6）假定電子和離子都服從麥克斯韋分布。

1.2? ? 數(shù)學(xué)模型

真空電弧等離子體密度較低（1014～1020個(gè)/m3），弧柱內(nèi)氣體壓力也很低（數(shù)百帕以內(nèi)），等離子中電子—離子的碰撞頻率不高，電子溫度往往高于離子溫度，因此需要采用真空電弧雙溫磁流體動(dòng)力學(xué)模型，分別對(duì)電子和離子建立數(shù)學(xué)控制方程組。

連續(xù)性方程：

式中，ni表示離子數(shù)密度;ux、uy、uz分別表示離子沿x、y、z軸方向的遷移速率。

由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，因此電子的連續(xù)性方程可以忽略。

動(dòng)量守恒方程：

式中，jx、jy、jz分別表示電流密度沿x、y、z軸的分量;Bx、By、Bz分別表示磁場(chǎng)沿x、y、z軸的分量;mi為離子質(zhì)量;ne為電子數(shù)密度;τi為離子的粘性應(yīng)力張量;k為玻爾茲曼常數(shù);Te為電子溫度;Ti為離子溫度。

能量守恒方程：

式中，Cpe、Cpi為電子和離子等壓比熱;λe、λi為電子和離子熱導(dǎo)率;pe、pi為電子壓力和離子壓力;σ為電導(dǎo)率。

能量方程中由于電子和離子做隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)發(fā)生碰撞時(shí)，電子會(huì)將自身的能量傳遞給離子從而發(fā)生熱交換：

式中，Qei 、Qie 為電子—離子的碰撞項(xiàng);vei為電子—離子的碰撞頻率。

電子—離子的碰撞頻率，電導(dǎo)率，電子、離子熱導(dǎo)率有公式：

電流密度與電子、離子遷移速率之間的關(guān)系為：

式中，e為電子電荷量。

電流密度沿x、y、z軸方向的分量形式為：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率。

由電流密度公式可知電子沿x、y、z軸方向的遷移速率分別為：

環(huán)向磁場(chǎng)沿x、y軸分量的磁場(chǎng)輸運(yùn)方程：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率。

以上是真空電弧磁流體動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，要對(duì)以上方程進(jìn)行求解，需要進(jìn)行邊界條件約束。

2? ? 邊界條件設(shè)定

2.1? ? 陰極邊界

小電流真空電弧情況下，電弧等離子體流速很高（約1.1×104 m/s），離子溫度較低（約0.3 eV），等離子體流速大于本身的熱運(yùn)動(dòng)速度，電弧處于超音速流動(dòng)狀態(tài)[15]，對(duì)于超音速真空電弧，根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)的計(jì)算理論，需要設(shè)定流體入口處的溫度、壓力、速度及流動(dòng)方向。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，陰極邊界（入口處）電子溫度取1.5 eV，離子溫度取0.3 eV，流體速度u0取1.1×104 m/s，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，離子的平均電荷量zi為1.85，陰極邊界的電流密度可由公式j(luò)0=I/πr02得到，r0=為陰極斑點(diǎn)團(tuán)的半徑，離子數(shù)密度n0=χj0/miu0，χ為陰極侵蝕率，根據(jù)文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，χ取115 μg/C。

入口處磁場(chǎng)大小沿x、y方向的分布為：

2.2? ? 陽(yáng)極邊界

由于流體處于超音速狀態(tài)，超音速流體流場(chǎng)中，擾動(dòng)的影響僅限于下游馬赫錐，陽(yáng)極邊界（出口處）流場(chǎng)設(shè)置對(duì)于上游（入口處）流場(chǎng)沒(méi)有影響，因此陽(yáng)極邊界的流場(chǎng)參數(shù)不用做設(shè)置。

在能量方程中，陽(yáng)極邊界條件設(shè)置為絕熱條件，即：

2.3? ? 側(cè)面邊界

側(cè)面邊界處磁場(chǎng)邊界條件為：

流場(chǎng)處的邊界條件設(shè)置為絕熱條件，即：

此外，將電弧的側(cè)面當(dāng)作壁面處理，在粘性流動(dòng)中，壁面處應(yīng)默認(rèn)為無(wú)滑移邊界條件。

3? ? 仿真結(jié)果與分析

3.1? ? 小電流真空電弧基本特性

本文對(duì)小電流擴(kuò)散真空電弧的基本物性參數(shù)進(jìn)行仿真，主要關(guān)注的參數(shù)有：等離子體數(shù)密度、電子溫度、離子溫度、壓力、縱向電流密度及陽(yáng)極側(cè)能流密度分布。計(jì)算電流為200 A，電流將主要從陰極側(cè)陰極斑點(diǎn)處流出，陰極斑點(diǎn)位于x=5 mm處，斑點(diǎn)半徑r0為4.5 mm，電極間距為10 mm，假設(shè)等離子體從陰極邊垂直流入等離子體區(qū)，即陰極邊只有縱向速度分量。小電流真空電弧仿真結(jié)果如圖3所示，圖片截取穿過(guò)從陰極中心位置到陰極斑點(diǎn)中心的縱向截面，圖中下邊界為陰極側(cè)，上邊界為陽(yáng)極側(cè)。

真空電弧的等離子體數(shù)密度空間分布如圖3（a）所示，圖中可以明顯看出電弧的形態(tài)從陰極到陽(yáng)極發(fā)生了一定的擴(kuò)散，同時(shí)等離子體數(shù)密度在電弧中心區(qū)域最大，沿徑向數(shù)密度逐漸減小。數(shù)密度最大的區(qū)域出現(xiàn)在陰極邊，并且在陰極斑點(diǎn)的中心，為7.9×1020個(gè)/m3。從陰極側(cè)到陽(yáng)極側(cè)，等離子體數(shù)密度逐漸減小并且分布更均勻，這也說(shuō)明電弧發(fā)生了一定的擴(kuò)散。

真空電弧的電子溫度及離子溫度分別如圖3（b）和圖3（c）所示，圖中，電子溫度和離子溫度從陰極側(cè)到陽(yáng)極側(cè)都有一定的升高，電子溫度從17 400 K升高到18 877 K，離子溫度從3 480 K升高到10 180 K。電子溫度始終高于離子溫度，但是沒(méi)有離子溫度上升得明顯。造成這種現(xiàn)象的原因在于電子溫度的熱源主要是電流密度產(chǎn)生的焦耳熱，由于小電流真空電弧電流密度比較小，并且主要集中在電弧的中心區(qū)域，電極的其他區(qū)域電流密度極小，電子吸熱較少，因此電子溫度升高較慢且較為集中;而離子溫度的熱源主要為電子—離子之間的碰撞使得高溫電子將自身的一部分能量傳遞給離子，因此離子溫度的分布與電子溫度分布類(lèi)似。

真空電弧的壓力分布如圖3（d）所示，圖中，離子壓力的最大值在電弧中心偏陽(yáng)極側(cè)的位置，約為90 Pa。根據(jù)理想氣體理論：等離子體壓力與等離子體數(shù)密度和溫度緊密關(guān)聯(lián)，因此，壓力的分布符合完全氣體公式p=nkT。此外可以看到，由于壓力的最大值出現(xiàn)在電弧的中心位置，將產(chǎn)生徑向的壓力梯度力，在梯度力的作用下，等離子體會(huì)發(fā)生徑向擴(kuò)散。

真空電弧的縱向電流密度的徑向分布如圖3（e）所示，在陰極側(cè)附近，縱向電流密度集中在電弧的中心區(qū)域，最大為3.4倍的電流密度，而到了陽(yáng)極側(cè)附近，縱向電流密度明顯分布更加均勻，從陰極到陽(yáng)極出現(xiàn)了擴(kuò)散的趨勢(shì)。發(fā)生這種現(xiàn)象的原因主要是作為承載電流的載荷粒子，等離子體數(shù)密度的分布從陰極到陽(yáng)極發(fā)生了擴(kuò)散，因此縱向電流密度呈現(xiàn)了類(lèi)似的分布。

真空電弧的陽(yáng)極表面能流密度分布如圖3（f）所示，流入陽(yáng)極的能流密度分為電子能流密度及離子能流密度，圖中流向陽(yáng)極的能流密度主要集中在電弧的中心區(qū)域，最大值約為1.2×108 W/m2，其中電子能流密度貢獻(xiàn)較大，占到了80%左右，離子能流密度貢獻(xiàn)較小，占20%左右。

3.2? ? 電極旋轉(zhuǎn)對(duì)小電流真空電弧特性的影響

當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰極斑點(diǎn)會(huì)跟隨電極一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)陰極斑點(diǎn)跟隨電極發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，將會(huì)改變真空電弧的特性參數(shù)。圖4展示了電極轉(zhuǎn)速分別為25 000 r/s、37 500 r/s、50 000 r/s、75 000 r/s的情況下真空電弧特性參數(shù)的變化。

電極不同轉(zhuǎn)速對(duì)陽(yáng)極側(cè)電弧縱向電流密度分布影響如圖4（a）所示。由圖可知，隨著電極轉(zhuǎn)速的提高，陽(yáng)極側(cè)縱向電流密度分布峰值逐漸減小，分別為1.31、1.30、1.29、1.27倍電流密度，并且分布更加均勻。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要是陰極斑點(diǎn)會(huì)隨著電極的轉(zhuǎn)動(dòng)從不同的位置向電極間噴射等離子體，因此等離子體到達(dá)陽(yáng)極時(shí)會(huì)覆蓋更大的區(qū)域，并且分布更加均勻，作為承載電流的載體，等離子體的運(yùn)動(dòng)方式和空間分布將對(duì)電流密度產(chǎn)生影響，因而由等離子體宏觀運(yùn)動(dòng)形成的電弧電流呈現(xiàn)擴(kuò)散的分布狀態(tài)。

電極不同轉(zhuǎn)速對(duì)電子溫度、離子溫度的影響如圖4（b）、圖4（c）所示。由圖可知，電子溫度和離子溫度的最大值都隨電極轉(zhuǎn)速的提高而減小，但電子溫度最大值下降比較明顯，電子溫度最大值分別為18 815 K、18 675 K、18 598 K、18 363 K，而離子溫度最大值下降得則并不明顯，離子溫度最大值分別為10 077 K、9 981 K、9 855 K、9 707 K。這同樣是由于縱向電流密度分布的緣故，由于電極轉(zhuǎn)速的提高，縱向電流密度減小，而它是電子溫度的唯一熱源，同時(shí)，由于電極旋轉(zhuǎn)的原因電子更加容易擴(kuò)散到周?chē)鷧^(qū)域，因此電子溫度最大值下降的趨勢(shì)比較明顯。而離子溫度最大值下降不明顯的原因仍然是電子—離子碰撞頻率較小，雖然電子溫度最大值出現(xiàn)了明顯的下降，但對(duì)碰撞過(guò)程中電子—離子的熱交換影響不大，因此離子溫度下降不明顯。

電極不同轉(zhuǎn)速對(duì)陽(yáng)極表面能流密度影響如圖4（d）所示，由圖可知，由于到達(dá)陽(yáng)極的能流密度與電子和離子各自的能流密度相關(guān)，而電子溫度與離子溫度的最大值隨電極轉(zhuǎn)速的增加都呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，各自的能流密度分別減小，故陽(yáng)極表面能流密度隨電極轉(zhuǎn)速增加逐漸減小，分別為1.159×108 W/m2、1.109×108 W/m2、1.042×108 W/m2、0.976×108 W/m2，流入陽(yáng)極的能流密度隨電極轉(zhuǎn)速的提高而減小。

4? ? 結(jié)論

通過(guò)對(duì)電極旋轉(zhuǎn)情況下小電流真空電弧的仿真，可以得出以下結(jié)論：

（1）小電流真空電弧呈現(xiàn)擴(kuò)散狀態(tài)，與大量的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是吻合的。

（2）隨電極轉(zhuǎn)速的提高，電流密度分布更加均勻，電子溫度、離子溫度、能流密度均有所下降，這對(duì)于抑制陽(yáng)極斑點(diǎn)的形成是有利的，因此更有利于電弧的熄滅。

[參考文獻(xiàn)]

[1] BOXMAN R L，MARTIN P J，SANDERS D M.Hand-book of vacuum arc science and technol-ogy[M].New York：Noyes，1995.

[2] 曹云東.電器學(xué)原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[3] BOXMAN R L，HARRIS J H，BLESS A.Time depen-dence of anode spot formation threshold current in vacuum arcs[J].IEEE Transac-tions on Plasma Science，1978，6（3）：233-237.

[4] KEIDAR M，BEILIS I I，BOXMAN R L，et al.2Dexpansion of the low-density interelectrodevacuum arc plasma jet in an axial magnetic filed[J].Journal of Physics D： Applied Physics，1996，29（7）：1973-1983.

[5] BEILIS I I，KEIDAR M，BOXMAN R L，et al. Theoretical study of plasma expansion in a magnetic field in a disk anode vacuum arc[J].Journal of Applied Physics，1998，83（2）：709-717.

[6] SCHADE E，SHMELEV D L.Numerical simulation of high-current vacuum arcs with an external axial magnetic field[J].IEEE Transactions on Plasma Science，2003，31（5）：890-901.

[7] SCHADE E，SHMELEV D L.Numerical simulation of high-current vacuum arcs in external magnetic fields taking into account essential anode evaporation[C]// Proceedings-International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vaccum，ISDEIV，2004： 411-414.

[8] 王立軍，賈申利，史宗謙，等.真空電弧磁流體動(dòng)力學(xué)模型與仿真研究[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25（4）：113-118.

[9] 王立軍，賈申利，史宗謙，等.大電流真空電弧磁流體動(dòng)力學(xué)模型與仿真[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26（22）：174-180.

[10] 王立軍，賈申利，史宗謙，等.電弧電流以及縱向磁場(chǎng)對(duì)小電流真空電弧特性影響的數(shù)值仿真[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2007，22（1）：54-61.

[11] WANG L J，JIA S L，ZHOU X，et al.Three-dimensional model and simulation of vacuum arcs under axial magnetic fields[J].Physics of Plasmas，2012，19（1）： 13507.

[12] JUTTNER B.TOPICAL REVIEW：Cathode spots of electric arcs[J].Journal of Physics D：Applied Physics，2001， 34（17）：103-123.

[13] BEILIS I I，KEIDAR M，BOXMAN R L，et al.Theoretical study of plasma expansion in a magnetic field in a disk anode vacuum arc[J].Journal of Applied Physics，1998，83（2）：709-717.

[14] YANG D G，WANG L J，JIA S L.，et al.Experimental inves-tigation of anode activities in high-current vacuum arc[J].IEEE Transactions on Plasma Science，2010，38（2）：206-213.

[15] COPE D B.Metal vapour vacuum arc switching[D]. Cambridge：Massachusetts Institute of Technology， 1983.

收稿日期：2020-04-15

作者簡(jiǎn)介：李顯哲（1994—），男，河南鄭州人，碩士研究生，研究方向：電器設(shè)計(jì)及其控制。

曹云東（1963—），男，遼寧沈陽(yáng)人，博士，教授，研究方向：現(xiàn)代電器設(shè)計(jì)理論及應(yīng)用。

付思（1985—），女，江西宜春人，博士，講師，研究方向：開(kāi)關(guān)電器電弧等離子體理論與開(kāi)斷特性。