吉利業(yè)，尤翠蓮

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002)

模糊集理論[1]是由美國(guó)專家 Zadeh在1965年提出的，模糊數(shù)學(xué)由此產(chǎn)生.在經(jīng)典集合理論的基礎(chǔ)上，Zadeh提出了模糊集的概念.隨后學(xué)者們通過建立隸屬函數(shù)和相應(yīng)的模糊集運(yùn)算來分析模糊現(xiàn)象.為了衡量模糊事件的大小，Zadeh[2]又提出了可能性測(cè)度的概念.然而不足的是可能性測(cè)度不具有自對(duì)偶性.自對(duì)偶性是現(xiàn)實(shí)世界中十分必要的，為了解決這一問題，Liu等[3]提出了具有自對(duì)偶性的可信性測(cè)度.在2004年，Liu[4]建立了可信性理論并給出了可信性理論的4個(gè)公理.隨后Li等[5]給出如何判斷一個(gè)集函數(shù)是否為可信性測(cè)度的方法.2007年，Liu[6]將可信性理論進(jìn)行了完善.從此，可信性理論得到穩(wěn)步發(fā)展.

在可信性理論的框架下，Liu[6]提出了模糊變量的概念，即一種從可信性空間到實(shí)數(shù)集的函數(shù).除此之外，模糊過程、模糊積分和模糊微分的概念也誕生了.為了解釋模糊現(xiàn)象隨時(shí)間的演變，Liu[6]提出模糊過程這一概念.最重要的模糊過程就是Liu過程[7]，它和隨機(jī)中的Brown運(yùn)動(dòng)具有同等地位.基于Liu過程，文獻(xiàn)[7]提出了Liu 積分和Liu公式，它們類似于隨機(jī)中的Ito積分和Ito公式.這些概念提出后，學(xué)者們做了大量工作.Qin等[8]把Liu過程從實(shí)數(shù)集推廣到了復(fù)數(shù)集.2015年，You等[9]討論了復(fù)Liu 積分的一些性質(zhì).You等[10]把Liu 積分和Liu 微分推廣到多維情形.You等[11]給出廣義Liu 積分的概念,并對(duì)一些性質(zhì)進(jìn)行了證明.目前學(xué)者們研究的模糊微分方程主要有2類：第1類是通過使經(jīng)典微分方程的系數(shù)和初始條件模糊化得到的模糊微分方程[12-15].雖然方程的數(shù)值解法越來越吸引學(xué)者，但對(duì)其解析解的研究仍是相當(dāng)重要的工作.近年來學(xué)者們利用各種工具或方法研究不同模糊微分方程的解析解，Hooshangian[16]和Altaie等[17]分別研究了模糊二階微分方程和模糊偏微分方程的近似解析解.第2類模糊微分方程是由Liu過程驅(qū)動(dòng)的微分方程.這類方程最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[7]中，它的模糊性不僅體現(xiàn)在系數(shù)和初始條件上，還體現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)過程里.本文主要研究第2類模糊微分方程.

在模糊環(huán)境中，模糊微分方程是解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有力工具，例如在科學(xué)、工程技術(shù)、金融投資等領(lǐng)域都會(huì)用到模糊微分方程去建立模型.You等[18]求出了線性模糊微分方程和部分非線性模糊微分方程的解析解，但仍有大量模糊微分方程不能得到解析解，所以You等[19]推導(dǎo)出模糊Taylor展開式，通過截?cái)嗾归_式得到一種Euler逼近法并且討論了數(shù)值方法的收斂性.隨后文獻(xiàn)[20]中提出了一種基于模糊Taylor展開式來求模糊微分方程近似解的數(shù)值方法.在這2種模糊數(shù)值解法提出后，Cheng等[21]通過對(duì)Euler法進(jìn)行改進(jìn)提出新的數(shù)值格式.有關(guān)模糊微分方程數(shù)值解的研究將是未來模糊系統(tǒng)的一個(gè)重要研究方向.然而得到模糊微分方程解析解也是大家希望達(dá)到的目標(biāo).在求解析解的過程中，發(fā)現(xiàn)一類不能直接求出解析解、但能通過一個(gè)變量替換求解的非線性模糊微分方程，被稱為可約模糊微分方程.因此，本文主要目的是找到辨別和求解可約模糊微分方程的具體方法.

1 預(yù)備知識(shí)

Liu過程是一種模糊過程，在模糊微分方程的理論及應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用.

定義1[7]一個(gè)模糊過程如果滿足如下3個(gè)條件就稱為L(zhǎng)iu過程.

1)C0=0;

2)Ct具有獨(dú)立且穩(wěn)態(tài)的增量；

3)對(duì)于每一個(gè)固定時(shí)刻t，Cs+t-Cs是一個(gè)正態(tài)模糊變量，期望為et，方差為σ2t2.

如果e=0且σ=1，那么Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程.

定理1[7](Liu公式)假設(shè)Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，h(t,c)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).令Xt=h(t,Ct)，則

此時(shí)稱Xt關(guān)于CtLiu可積.

定義3[7](由Liu過程驅(qū)動(dòng)的模糊微分方程)如果Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，并且f和g是給定的函數(shù)，Xt是未知的模糊過程，則方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

稱為由Liu過程驅(qū)動(dòng)的模糊微分方程.

在文獻(xiàn)[18]中，模糊微分方程分為線性模糊微分方程，廣義線性模糊微分方程，齊次模糊微分方程和可約模糊微分方程.

形如

dXt=(a+bXt)dt+(c+dXt)dCt

的方程叫做線性模糊微分方程，其中a、b、c和d是常數(shù).當(dāng)a=c=0時(shí)，方程被稱為線性齊次模糊微分方程.

形如

dXt=(u1t+u2tXt)dt+(v1t+v2tXt)dCt

的方程叫做廣義線性模糊微分方程，這里的u1t、u2t、v1t和v2t是給定的模糊過程，并且與Xt、Ct無關(guān).這個(gè)方程的解為

本文將線性和廣義線性模糊微分方程統(tǒng)稱為線性模糊微分方程.其他模糊微分方程統(tǒng)稱為非線性模糊微分方程.

形如

dXt=f(Xt)dt+g(Xt)dCt

的方程叫做齊次模糊微分方程，此處f和g都是給定的函數(shù).

一個(gè)非線性模糊微分方程如果可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程，進(jìn)而求解，稱這樣的方程為可約模糊微分方程.

2 可約模糊微分方程

應(yīng)用一個(gè)恰當(dāng)?shù)奶鎿QYt=U(t,Xt)，非線性模糊微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

(1)

可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于Yt的線性模糊微分方程

dYt=(γtYt+αt)dt+(δtYt+βt)dCt.

(2)

結(jié)合方程(2)，可得

(3)

(4)

借此推導(dǎo)出非線性模糊微分方程轉(zhuǎn)化成線性模糊微分方程的條件，得到以下定理.

定理2令

αt和βt是模糊過程，C是任意常數(shù).

證明：對(duì)方程(1)作變量替換Yt=U(t,Xt)后，令γt≡δt≡0，根據(jù)式(3)可得

對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，則

(5)

由式(4)，可得

上式兩邊對(duì)t求導(dǎo),

(6)

將式(5)代入式(6)，如果g(t,x)≠0，那么

定理得證.

注1：此定理并不表示非線性模糊微分方程通過變量替換求解時(shí)替換形式唯一.

例1求解非線性模糊微分方程

(7)

定理3若函數(shù)a(x)和b(x)是二次可微函數(shù)，則模糊微分方程dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt可以通過替換Yt=U(Xt)轉(zhuǎn)化成線性模糊微分方程dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt，其中

其中

b2可以任意選擇，C1、C2是任意的常數(shù).

證明：根據(jù)式(1)-式(4)，如果齊次模糊微分方程

dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt，

可以通過替換Yt=U(Xt)轉(zhuǎn)化成

dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt,

那么

(8)

(9)

接下來分2種情況尋求U(x)的表達(dá)式.

第1種情況，假設(shè)b(x)≠0且b1≠0，由式(9)可得

(10)

即

(11)

對(duì)式(11)求導(dǎo)，有

(a′(x)b(x)-b′(x)a(x))(b′(x)-b1)+a(x)b(x)b″(x)-a″(x)b2(x)=0.

所以

從而得到U(x).

另一種情況，如果b1=0，根據(jù)式(9)可得

U(x)=b2B(x)+C2，

(12)

b2可以在滿足式(8)的情況下任意選擇，C2是任意常數(shù).

定理得證.

下面通過2個(gè)算例來驗(yàn)證定理3的有效性.

例2設(shè)Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，a、b、k是正數(shù)，考慮模糊微分方程

dXt=k(a-lnXt)Xtdt+bXtdCt

(13)

的解.

則原方程的解為

例3令Ct是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，假設(shè)a、b、k是正數(shù)，考慮模糊微分方程

(14)

的解.

所以模糊微分方程(14)的解為

從目前研究看來，很多非線性齊次模糊微分方程都是可約的，可以轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程,但是也有一部分是無法確定的，仍需進(jìn)一步研究.

3 結(jié)論

本文討論了非線性模糊微分方程的可約條件和求解方法，其中包括如何判別一般非線性模糊微分方程是否可約以及如何轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程的方法，還包括非線性齊次模糊微分方程的可約方法.即使需要大量的運(yùn)算，但仍有助于更簡(jiǎn)便地求解非線性模糊微分方程.盡管如此，由于并不是所有非線性模糊微分方程都是可約的，故關(guān)于非線性模糊微分方程的求解仍需進(jìn)行研究.