曹建平，孫文柱,王海東，任 劍

(海軍航空大學(xué),山東 青島 266041)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解是進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的第一步。所謂位置反解是已知末端動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)反過來求取驅(qū)動(dòng)元件的參數(shù)的過程。目前關(guān)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解的研究主要有矢量法[1]、旋轉(zhuǎn)換矩陣[2]和旋量[3]等方法。這些方法都可以歸結(jié)為基于幾何的矢量分析，當(dāng)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)求解繁瑣且容易出錯(cuò)。

本文將四元數(shù)理論引入到并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解分析中，利用純四元數(shù)表示矢量位置，單位四元數(shù)表示矢量的旋轉(zhuǎn)和方位，從而將并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)推導(dǎo)，以2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例闡述了計(jì)算過程，并結(jié)合MATLAB和SolidWorks仿真來驗(yàn)證仿真算例。

1 四元數(shù)及其在剛體方位描述的應(yīng)用

四元數(shù)[4]是復(fù)數(shù)的推廣，最早由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓提出。設(shè)i、j、k符號(hào)滿足下列乘法關(guān)系：

i2=j2=k2=-1

(1)

ijk=-1

(2)

則四元數(shù)q可定義為

q=a+bi+cj+dk

(3)

其中a、b、c、d為實(shí)數(shù)，q的共軛四元數(shù)為

(4)

當(dāng)a=0時(shí)稱為純四元數(shù)，此時(shí)滿足：

q=bi+cj+dk

(5)

可知純四元數(shù)與R3空間點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)與三維矢量一一對(duì)應(yīng)，因而可用純四元數(shù)來表示矢量的加、減、點(diǎn)乘、叉乘等運(yùn)算。

當(dāng)四元數(shù)各參數(shù)滿足：

a2+b2+c2+d2=1

(6)

此時(shí)四元數(shù)q稱為單位四元數(shù)，也可以表示為

q=cosθ+sinθ(cosαi+cosβj+cosγk)

(7)

R3空間矢量的旋轉(zhuǎn)可以利用單位四元數(shù)q表示。設(shè)矢量v1=(x1,y1,z1)′和v2=(x2,y2,z2)′，v2是v1旋轉(zhuǎn)得到的。在三維空間內(nèi)描述矢量旋轉(zhuǎn)需要給出旋轉(zhuǎn)軸的方位和旋轉(zhuǎn)的角度，如圖1所示。

圖1 矢量繞軸旋轉(zhuǎn)

其幾何意義是：v1繞軸I旋轉(zhuǎn)θ得到v2，那么已知旋轉(zhuǎn)軸I的方向余弦I=(cosα,cosβ,cosγ)和旋轉(zhuǎn)的角度θ即求得v2。這個(gè)過程可用四元數(shù)進(jìn)行運(yùn)算得到，首先利用純四元數(shù)表示2個(gè)矢量：

qv1=x1i+y1j+z1k

(8)

qv2=x2i+y2j+z2k

(9)

則可得[4]

(10)

其中qR為單位四元數(shù)，可表示為

(11)

將qR稱為對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)操作的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)。

2 機(jī)構(gòu)描述

基于以上分析，純四元數(shù)與單位四元數(shù)組合可用于建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，從而避免了繁瑣復(fù)雜的幾何推導(dǎo)，以圖2所示的2UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例說明。2UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機(jī)器人常采用的構(gòu)型，在Tricept機(jī)器人[5]、四足步行機(jī)器人[6]和三自由度并聯(lián)搖擺臺(tái)[7]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)包括動(dòng)平臺(tái)B1B2B3和靜平臺(tái)A1A2A3，動(dòng)平臺(tái)B1B2B3通過2個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的無約束UPS支鏈和1個(gè)恰約束PU支鏈相連，3個(gè)支鏈中的移動(dòng)副作為主動(dòng)件。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在以下幾何關(guān)系：3條支鏈AiBi(i=1,2,3)與動(dòng)平臺(tái)B1B2B3和固定平臺(tái)A1A2A3的連接點(diǎn)Bi(i=1,2,3)、Ai(i=1,2,3)呈等腰直角三角形分布，其中B1B2B3的直角邊邊長為e，A1A2A3的直角邊邊長為f；PU支鏈一端通過萬向鉸B3與動(dòng)平臺(tái)B1B2B3相連接，另一端與固定平臺(tái)A1A2A3固定連接，PU支鏈與其在靜平臺(tái)上的投影的夾角為φ，而投影與固定平臺(tái)A1A2A3直角邊夾角為45°。設(shè)3條支鏈的長度分別為l1、l2和l3，并分別在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上建立A1-XYZ和B1-UVW直角坐標(biāo)系。

圖2 2UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

3 基于四元數(shù)的機(jī)構(gòu)位置求解

設(shè)A1-XYZ的3個(gè)正交基矢量集為Γ1={u1,v1,w1}，利用純四元數(shù)分別表示為

(12)

則在Γ1下，靜平臺(tái)的3個(gè)連接點(diǎn)A1、A2和A3可用純四元數(shù)表示為

(13)

動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，首先以X軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為

(14)

在qR1作用下，正交基矢量集Γ1轉(zhuǎn)換為Γ2={u2,v2,w2}，將式(14)代入式(10)中，Γ2可用四元數(shù)分別表示為

(15)

接著以Y軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β，則對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為

(16)

在qR2作用下，正交基矢量集Γ2轉(zhuǎn)換為Γ3={u3,v3,w3}，將式(16)代入式(10)中，利用四元數(shù)分別表示為

(17)

(18)

(19)

則動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)連接點(diǎn)B1、B2、B3可用四元數(shù)表示為

(20)

則支鏈L1、L2和L3可用四元數(shù)表示為

(21)

將式(13)、式(18)、式(19)和式(20)代入式(21)，可得

基于以上推導(dǎo)可完成2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位置反解，即已知執(zhí)行平臺(tái)的位置和方位計(jì)算動(dòng)力元件參數(shù)。在2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，動(dòng)平臺(tái)有3個(gè)自由度，以動(dòng)平臺(tái)B1為基準(zhǔn)點(diǎn)，設(shè)其距靜平臺(tái)垂直高度為h，用上文提到的α和β表征動(dòng)平臺(tái)的方位，則2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)3條動(dòng)力支鏈的長度l1、l2和l3可表示為

(23)

將式(22)代入式(23)后可得

(24)

式(24)即為2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解方程。

4 仿真算例驗(yàn)證

(25)

將h、α和β分別代入式(24)中，利用MATLAB仿真，設(shè)置步長為0.1，可得到l1、l2和l3的變化規(guī)律如圖3所示。

利用SolidWorks建模，給出2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的CAD三維模型，并利用Motion插件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，如圖4所示。將反解得出的l1、l2和l3分別作為圖4所示直線馬達(dá)1、直線馬達(dá)2和直線馬達(dá)3的運(yùn)動(dòng)輸入?yún)?shù)，仿真時(shí)間為32 s，并設(shè)置動(dòng)平臺(tái)的中心記錄其運(yùn)動(dòng)路徑并保存為計(jì)算結(jié)果。

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)算例的位置反解結(jié)果

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的CAD三維模型及驅(qū)動(dòng)

圖5給出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)在第1秒、第3秒、第6秒和第10秒的仿真運(yùn)動(dòng)可視化結(jié)果，10 s后動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行周期性運(yùn)動(dòng)。圖5d給出了第10秒中心點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

圖5 SolidWorks軟件的仿真可視化結(jié)果

將圖5所示的中心運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值結(jié)果從SolidWorks中取出，為進(jìn)行對(duì)比每隔5個(gè)數(shù)進(jìn)行平均篩選，并在MATLAB中繪出，得到的仿真軌跡結(jié)果如圖6所示。

分析如圖2所示的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的理論運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O位于動(dòng)平臺(tái)B1B2B3的斜邊中點(diǎn)上，則其位置可用純四元數(shù)表達(dá)為

(26)

代入式(17)～式(20)后，可得

(27)

在坐標(biāo)系Γ1下，可表示為

(28)

將式(25)及相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入到式(28)中，設(shè)置步長為0.1，可得到中心點(diǎn)O的理論軌跡如圖6實(shí)線所示的理論軌跡結(jié)果。

圖6 動(dòng)平臺(tái)中心的理論軌跡與仿真軌跡對(duì)比

由圖6可知，該方法的理論結(jié)果與仿真結(jié)果一致，從而說明了基于四元數(shù)理論的2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方法的正確性和有效性。

5 結(jié)束語

將四元數(shù)理論用于2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解，從應(yīng)用過程得出以下結(jié)論：

a.利用四元數(shù)理論推導(dǎo)得出2UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解方程，相對(duì)于傳統(tǒng)幾何方法，該方法直觀易于理解。

b.利用MATLAB和SolidWorks Motion驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。

c.該方法具有一般性，可推廣至其他任意并聯(lián)機(jī)構(gòu)。