韋毅菊

【摘? ?要】“數(shù)與運(yùn)算”的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的主要途徑，也是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)。教學(xué)中教師可借助合適的教學(xué)輔助材料，運(yùn)用相應(yīng)的教學(xué)策略，來溝通算理和算法的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及良好的數(shù)感，使教學(xué)效果事半功倍。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算教學(xué);輔助材料;策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！边@刻畫了運(yùn)算能力的三個主要特征：正確運(yùn)算、理解算理和方法合理。因此，運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生明白怎么算，還要清楚為什么這樣算。提高運(yùn)算教學(xué)的“有效性”，教師需要對基本運(yùn)算技能的標(biāo)準(zhǔn)以及運(yùn)算技能培養(yǎng)的科學(xué)化進(jìn)行深入分析。

一、人教版和北師大版計算教學(xué)編排分析

對學(xué)生來說，掌握算法是“基本技能”，技能性的知識可以熟能生巧，但算理的理解卻需要學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自我深化，這并不是一件容易的事。為了使研究更具一般性，筆者對比了人教版和北師大版教材，從整體框架、單元編排和例題編寫三個維度做了統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)兩版教材有關(guān)“數(shù)的運(yùn)算”的編寫內(nèi)容大致相同，但也有區(qū)別。從而進(jìn)一步明確了計算教學(xué)中輔助材料的類別和使用價值。

（一）整體框架對比

筆者對兩版教材有關(guān)“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容在各個年級中的編排進(jìn)行了梳理（見表1、表2）。

雖然兩版教材對“數(shù)的運(yùn)算”的編排順序不完全一致，但從整體上看，第一學(xué)段運(yùn)算的內(nèi)容都明顯多于第二學(xué)段。第一學(xué)段學(xué)生的思維是以具體形象思維為主，在運(yùn)算教學(xué)中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生通過對具體事物的操作和思考，將技能認(rèn)知上升到算理認(rèn)知。因此，合理運(yùn)用輔助材料，讓學(xué)生得到具象或者實(shí)際意境的思考支撐，克服算理的抽象性帶來的理解困難，是教學(xué)中值得關(guān)注的問題。

（二）單元編排對比

筆者對兩版教材中“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元進(jìn)行了整理和對比。兩版教材例題的編排順序如表3所示。

兩版教材例題的數(shù)量是一樣的，都采用了“2+6”的形式，也就是先口算，再筆算，口算2個例題，筆算6個例題。不同之處在于：人教版教材在多位數(shù)乘一位數(shù)的口算中只安排了不進(jìn)位的口算，不僅是例題，在練習(xí)中也都只出現(xiàn)不進(jìn)位的口算;而北師大版教材在口算乘法的例2中安排了2道例題，一道是不進(jìn)位的，一道是進(jìn)位的。教材編排上呈現(xiàn)的差異導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容難易程度不同，教學(xué)中要關(guān)注教材所提供的輔助材料。

（三） 例題對比

兩版教材對同一例題的教學(xué)輔助材料的編寫也是不同的，而且差異較大。以例題“12×3”為例（如圖1）。

人教版教材給出的算法較為單一，口算時“10×3”表示3個十，“2×3”表示6個一。而北師大版教材給出的算法和相應(yīng)的輔助材料更為豐富。首先出現(xiàn)連加算式，接著借助人民幣幫助解釋算理，得出算式，再呈現(xiàn)用點(diǎn)子圖和用格子乘法的計算。

通過對比發(fā)現(xiàn)，人教版教材提供的操作材料是1種，算式1種，計算方法也是1種。北師大版教材提供的操作材料有2種，實(shí)物材料（人民幣）、半抽象材料（點(diǎn)子圖），算式有3種，方法也有3種。

按人教版教材的編排，如果課堂上教師沒有提供其他多樣化的輔助材料，僅讓學(xué)生通過小棒圖弄明白進(jìn)位乘法的算理是有點(diǎn)困難，所以教材在口算乘法中并沒有編排進(jìn)位乘法。而北師大版教材由于有豐富的輔助材料和算法基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)完12×3之后再算18×4，就感覺比較容易，特別是用點(diǎn)子圖和格子乘法輔助教學(xué)，使得學(xué)生明白其算理和算法與不進(jìn)位的乘法是完全一致的。

（四）輔助材料對比

筆者將兩版教材“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元中具有前后聯(lián)系意義的口算與筆算的輔助材料進(jìn)行整理（如圖2）。

雖然兩版教材的教學(xué)輔助材料具有較大的差異，但同一版本教材前后的教學(xué)輔助材料都是相對統(tǒng)一的。很明顯，教材都注重將口算和筆算的算理及算法進(jìn)行溝通和聯(lián)系。人教版教材呈現(xiàn)的輔助材料“少而精”，它在口算乘法里給出的小棒圖，其實(shí)是指向豎式計算的，用它來解釋豎式的算理是最好不過的。其他的算法都是通過小精靈的問題“你是怎樣算的”去引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同的算法。相比之下，北師大版教材強(qiáng)調(diào)算法的多樣性，注重學(xué)生個性化的體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把未知的知識轉(zhuǎn)化成已知的知識，在例題中逐步展現(xiàn)算法優(yōu)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

由于教學(xué)輔助材料是學(xué)生借以認(rèn)知算理和算法的重要載體，所以教師在教學(xué)中應(yīng)注重教學(xué)輔助材料的選用，從而幫助學(xué)生更好地理解算理、掌握算法。

二、選用輔助材料的教學(xué)建議

教材中的教學(xué)輔助材料在一定程度上影響著教師的教學(xué)方式。如果教師在課堂上只注重教學(xué)教材中有的內(nèi)容，而對沒有明確要求的內(nèi)容就不涉及，那么教學(xué)就缺乏靈活性，所以教師在使用教材時需要對教材中的輔助材料進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充、調(diào)整和整合。

為了更好地發(fā)掘輔助材料的功能，明確不同材料的數(shù)學(xué)表征，筆者將幾種常見的輔助材料進(jìn)行了整理（見表4）。

不同的輔助材料在表征數(shù)的時候，給學(xué)生的直觀感受是不同的。例如，同樣表示“10”，實(shí)物圖表征的是“10個一”;計數(shù)器表征的是“1個十”;小棒的表征處于兩者之間，既可以表征“10個一”（散的），又可以表征“1個十”（一捆）。因?yàn)楦鞣N材料間具有差異性，所以教師在課堂上提供的材料會影響學(xué)生的生成。

（一）利用輔助材料激發(fā)學(xué)生積極思維

學(xué)生的思維容易被直觀呈現(xiàn)的事物所影響。通常情況下，開放性的教學(xué)輔助材料更能激發(fā)學(xué)生思維的火花，使得課堂綻放精彩。以下是“多位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”的兩個教學(xué)片段。

【教學(xué)片段1】

課件出示小棒圖（如圖3）。

師：我們還可以借助小棒來解釋口算的方法。你能在小棒圖中圈一圈表示出自己的算法嗎？

生：我把小棒圖分成兩個部分，其中一部分有3捆，每捆是10根，就是30根;另一部分是3行，每行2根，也就是6根。最后把它們相加得36根。

【教學(xué)片段2】

課件出示點(diǎn)子圖（如圖4）。

師：你能在點(diǎn)子圖上圈一圈、算一算，然后說一說你是怎么計算12×3的嗎？

生A（出示作品）：我是這樣想的，因?yàn)槊啃杏?2個，所以我就把它圈起來了，圈了3個12，12+12+12=36。

師：哦，他是把乘法轉(zhuǎn)化成了連加，很好！

生B（出示作品）：先把點(diǎn)子圖分為兩部分，第一部分每行有10個，共3行，3個10 是30，第二部分是3個2，也就是6，然后30與6合起來是36。

生C（出示作品）：我是6個6個圈的，圈了6個6，算式是6×6=36。

師：他把12×3轉(zhuǎn)化成我們之前學(xué)過的表內(nèi)乘法來計算，不簡單！

師：你們發(fā)現(xiàn)這三位同學(xué)的方法有什么相同的地方？

生：都是把12×3轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的算式來計算。

生：都是把這些點(diǎn)分成幾個部分來計算。

師：用哪種方法圈起來快，算起來也快呢？

生：第二種，分出幾個十口算很快。

教師呈現(xiàn)的材料不同，學(xué)生的思維方式也不一樣。片段1中的小棒圖已經(jīng)具有“10個一是1個十”的表征，所以學(xué)生很自然地想到先算“1捆1捆的”，再算“1個1個的”，直接指向筆算的算理。而片段2中的點(diǎn)子圖只表征了計數(shù)單位“個”，學(xué)生的算法就相對多樣化，生B 的作品反映出學(xué)生對計數(shù)單位有一定的感知，教師在此基礎(chǔ)上加以引導(dǎo)有利于學(xué)生對筆算算理的理解。顯然，片段2的設(shè)計者在注重筆算算理理解的同時也追求算法多樣化，給了學(xué)生思考和嘗試的機(jī)會，這對學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展是有利的。

（二）利用輔助材料實(shí)現(xiàn)教學(xué)的結(jié)構(gòu)化

教學(xué)的結(jié)構(gòu)化是指教師從整體上分析數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、教材編寫結(jié)構(gòu)、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)等，設(shè)計具有條理化和系統(tǒng)化的教學(xué)輔助材料，使得教學(xué)具有整體性。

例如，分析人教版教材一年級上冊和下冊的教學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)一年級上冊“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的算理主要是“湊十”，一年級下冊“20以內(nèi)的退位減法”的算理主要是“破十”，兩個單元的內(nèi)容雖然不在同一冊，但是有密切的聯(lián)系。教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和輔助材料的特征，從整體上設(shè)計兩個單元起始課的教學(xué)。以下是“20以內(nèi)的退位減法”教學(xué)片段。

【教學(xué)片段3】

師：剛才我們分別用小棒和計數(shù)器計算了15-6，它們有什么相同的地方？

生：都是把1個十拆開來，變成10個一再計算。

生：都是個位不夠減的。

師：是的，像15-6這樣個位上不夠減，需要從十位上“退一作十”來計算，這樣的減法叫作退位減法。（板書課題）

師：上學(xué)期我們還學(xué)過一種加法，叫什么加法？

生：進(jìn)位加法。

教師出示對比圖（如圖6）。

師：請你觀察思考，上學(xué)期學(xué)過的進(jìn)位加法和今天學(xué)的退位減法有什么關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)計算進(jìn)位加法時，小棒是10根一捆扎起來的，計算退位減法時是把一捆小棒拆開來的。

生：計算9+6時進(jìn)到十位上的1顆珠子，在計算15-6的時候又被退回來了。

生：我看到計數(shù)器上加法是把兩部分合起來，減法是從原來的那部分中去掉一些。

生：我知道了，加法加多了要“滿十進(jìn)一”，所以叫進(jìn)位加法，減法不夠減要“退一作十”，所以是退位減法。

教學(xué)片段3中，半抽象化的小棒和抽象化位值表征的計數(shù)器的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生弄明白兩種輔助材料之間的聯(lián)系，關(guān)注到不同材料在呈現(xiàn)計算過程中的相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中的算理。通過明晰進(jìn)位加與退位減之間的聯(lián)系，學(xué)生能更好地建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)興趣。

（三）利用輔助材料建立直觀與抽象的聯(lián)系

計算教學(xué)中，動手操作是直觀的，算理和算法是抽象的，教師在教學(xué)中要善于建立直觀與抽象之間的有效鏈接。在四則運(yùn)算中，除法相比其他三種運(yùn)算來說，是學(xué)生學(xué)習(xí)時最感困難的一種運(yùn)算。除了算理復(fù)雜，除法豎式的書寫對學(xué)生來說也比較抽象，因?yàn)樵谝坏莱ㄘQ式書寫的過程中包含了除、乘、減三種運(yùn)算，每一步運(yùn)算都有其意義，除法豎式是除法算理最簡潔的表征方式。那么，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)抽象的除法算理與直觀的豎式書寫之間的聯(lián)系呢？以下是“筆算除法”教學(xué)片段。

【教學(xué)片段4】

在“筆算除法”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計以下流程：（1）呈現(xiàn)場景，提出問題：有19個蘋果，每6個裝一盤，可以裝幾盤？（2）直觀操作，有序描述計算操作過程;（3）結(jié)合圖形，嘗試用連減豎式記錄操作過程;（4）豎式變形，便于記錄商和余數(shù);（5）壓縮求簡，呈現(xiàn)現(xiàn)行的標(biāo)準(zhǔn)樣式（參見圖7）。

連減豎式的介入，還原了除法豎式的原始算法，學(xué)生體會到除法與減法的密切關(guān)系。通過輔助材料的介入，學(xué)生很容易理解筆算豎式中“分層書寫”是為了記錄試算的過程，商寫在豎式上方是因?yàn)樨Q式下方要記錄余數(shù)，計算時要用乘法計算分掉的總數(shù)是為了記錄的簡潔。這樣的筆算教學(xué)可避免學(xué)生被動地“模仿”，借助直觀材料將豎式這一表征方式進(jìn)行了建構(gòu)，讓抽象的算法有理有據(jù)。

教師要在算理與具體的算法中架起橋梁，在學(xué)生的思維和具體表征的輔助材料中建立聯(lián)系，使學(xué)生能夠在探索算法的過程中直觀地感悟數(shù)學(xué)計算的道理。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]吳正憲，張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[4]朱國平.基于結(jié)構(gòu)化的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[5]萬維鵬.充分利用直觀啟發(fā)學(xué)生說理——“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（7-8）.

[6]張璐丹，張財球，陳遠(yuǎn)剛，汪建華.“多位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算乘法”教學(xué)實(shí)錄與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（10）.

（浙江省湖州市愛山小學(xué)教育集團(tuán)常溪小學(xué)? ?313000）