郭盛, 陳倓, 涂建維

(1.中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司,湖北 武漢 430063; 2.武漢理工大學道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室,湖北 武漢430070)

纖維增強聚合物(Fiber-Reinforced Polymer,FRP)筋具有優(yōu)異的抗腐蝕性能,以之代替鋼筋可用來解決腐蝕環(huán)境下鋼筋混凝土的鋼筋銹蝕問題。FRP筋的低彈性模量會導致混凝土受彎構(gòu)件產(chǎn)生較大的變形；因此，F(xiàn)RP筋混凝土結(jié)構(gòu)的設(shè)計往往受正常使用極限狀態(tài)下變形的控制,而FRP筋與混凝土的黏結(jié)性能相比鋼筋較差[1]。因此,在對FRP筋混凝土受彎構(gòu)件進行裂縫計算時,勢必要考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的影響。針對鋼筋混凝土受彎構(gòu)件,國內(nèi)外已開展了較多的研究。OLIVEIRA R S等[2]提出了梁間分層模型,通過在單元域中加入連續(xù)滑移函數(shù)以考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的影響,實現(xiàn)了對鋼筋混凝土梁變形的精細計算;OH B H等[3]用冪函數(shù)近似模擬黏結(jié)應(yīng)力和滑移的關(guān)系,將黏結(jié)-滑移關(guān)系納入裂縫寬度分析模型中,建立了鋼筋混凝土梁裂縫寬度分析模型。而針對FRP筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫寬度計算的研究仍以經(jīng)驗公式擬合為主[4],鮮有學者從精細數(shù)值分析的角度研究其裂縫開展。本文基于黏結(jié)-滑移效應(yīng)建立了FRP筋混凝土梁裂縫寬度計算數(shù)值模型,以期合理地計算FRP筋混凝土受彎構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下的裂縫寬度,并將計算結(jié)果與試驗值和按規(guī)范GB 50608—2010中公式[5]的計算值進行對比,驗證數(shù)值計算模型的合理性。

1 黏結(jié)-滑移理論

我國規(guī)范GB 50608—2010[5]以及歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中裂縫寬度計算公式的建立都是基于黏結(jié)-滑移理論,明確引入了黏結(jié)-滑移關(guān)系,可以直接反映混凝土的拉伸硬化效應(yīng)。圖1為按照黏結(jié)-滑移理論計算裂縫寬度的示意圖。圖中：wm為平均裂縫寬度;εs(x)和εct(x)分別為位置x處的縱筋應(yīng)變和混凝土拉應(yīng)變。

由圖1可以看出,黏結(jié)應(yīng)力將縱筋的部分應(yīng)力傳遞給周邊混凝土而引起兩裂縫之間的縱筋的應(yīng)變減小[7]。當構(gòu)件第一批裂縫出現(xiàn)后,結(jié)構(gòu)發(fā)生應(yīng)力重分布,在裂縫處,拉應(yīng)力僅由縱筋承擔,受拉區(qū)混凝土退出工作狀態(tài)。由于黏結(jié)-滑移效應(yīng),在未開裂截面處,部分縱筋承擔的拉應(yīng)力由黏結(jié)應(yīng)力傳遞給混凝土。從裂縫截面處到混凝土中黏結(jié)傳遞應(yīng)力達到抗拉強度的截面的距離稱為傳遞長度ltr。顯然,兩條相鄰裂縫的最大間距應(yīng)為2ltr,故平均裂縫間距l(xiāng)m=1.5ltr。按照黏結(jié)-滑移理論,裂縫寬度等于裂縫間距范圍內(nèi)縱筋和混凝土的變形差,即裂縫間距內(nèi)縱筋平均應(yīng)變與混凝土平均應(yīng)變之差:

(1)

由上式可看出,平均裂縫間距l(xiāng)m的取值對平均裂縫寬度的計算有較大影響。本文中,裂縫間距采用我國規(guī)范GB 50608—2010[5]推薦的半經(jīng)驗公式計算:

(2)

式中:c為混凝土保護層厚度,mm;deq為受拉區(qū)縱向FRP筋的等效直徑,mm;ρte為按有效受拉混凝土截面面積計算的縱向受拉FRP筋的配筋率;di為受拉區(qū)第i種縱向FRP筋的公稱直徑,mm;ni為受拉區(qū)第i種縱向FRP筋的根數(shù);vi為受拉區(qū)縱向FRP筋的相對黏結(jié)特性系數(shù)。

國內(nèi)外有關(guān)FRP筋表面處理的試驗研究尚不充分,還未形成統(tǒng)一的標準。目前,我國規(guī)范GB 50608—2010[5]中并未明確給出相對黏結(jié)特性系數(shù)v的具體取值,僅規(guī)定根據(jù)FRP筋表面特性的不同,參考試驗數(shù)據(jù)取值,并建議在無試驗數(shù)據(jù)時,v取0.7。故本文中取v=0.7。

2 數(shù)值計算模型的建立

2.1 基本假設(shè)

基于黏結(jié)-滑移效應(yīng)建立FRP筋混凝土梁裂縫寬度計算的數(shù)值模型,基于以下假設(shè):

1)平截面假定;

2)不考慮長期效應(yīng)的影響;

3)忽略剪切變形對構(gòu)件變形的影響;

4)不考慮受壓區(qū)縱筋的貢獻。

2.2 材料本構(gòu)關(guān)系

1)混凝土的受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型采用歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]建議的模型。

2)FRP筋采用線彈性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。

3)黏結(jié)-滑移本構(gòu)關(guān)系。歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中給出的黏結(jié)應(yīng)力-滑移本構(gòu)模型,見公式(3)，并如圖2所示。

(3)

式中:τ為黏結(jié)強度;s為τ對應(yīng)的滑移量;τmax為峰值黏結(jié)強度;s1為τmax對應(yīng)的滑移量;α、s2、s3由試驗確定,取決于黏結(jié)條件和混凝土強度等。

2.3 截面分析

以FRP筋混凝土矩形受彎梁構(gòu)件為例進行分析,根據(jù)裂縫的開展位置將整根梁劃分為若干個分析母單元lcr,i;再將分析母單元等分為n個子單元,即形成n+1個截面;對開裂處截面1-1和任意未開裂處截面2-2進行分析,如圖3所示。圖中:Mk為彎矩;b為試驗梁構(gòu)件的寬度;h為構(gòu)件的高度;h0為構(gòu)件的有效高度;as為縱筋中心到截面邊緣的距離;dc為混凝土受壓區(qū)高度;σc、εc分別為混凝土的壓應(yīng)力、壓應(yīng)變;σs、εs分別為縱筋的拉應(yīng)力、拉應(yīng)變;σct、εct分別為混凝土的拉應(yīng)力、拉應(yīng)變。

圖3 截面應(yīng)力-應(yīng)變分布示意圖

兩條相鄰裂縫之間的部分為一個分析單元,每個分析單元可根據(jù)精度要求分成若干個截面,每個微段長度為Δx,每個截面可建立力和力矩的平衡方程:

(4)

(5)

式中:Ac為受壓區(qū)混凝土面積;At為受拉區(qū)混凝土面積;As為受拉縱筋總面積;k為受拉縱筋的根數(shù);M(x)為截面外加彎矩。

此外,由FRP筋與混凝土間的黏結(jié)-滑移關(guān)系,可建立如下的變形協(xié)調(diào)方程:

(6)

考慮單個FRP筋微元的受力平衡,可建立筋材應(yīng)力σs與黏結(jié)應(yīng)力τb之間的表達式:

Asdσs(x)=πdτb(x)dx。

(7)

(8)

(9)

式中:上標(i)表示第i次迭代,變量含義同前文;d為縱筋直徑;τb,j為j截面處的平均黏結(jié)應(yīng)力;Δx為兩個相鄰截面間的微段長度。

各截面的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)可以用3個參數(shù)來表示:①混凝土受壓區(qū)高度dc;②混凝土受拉區(qū)縱筋拉應(yīng)變εs;③混凝土受拉區(qū)邊緣混凝土拉應(yīng)變εct。而方程(4)、(5)和(8)的解并不直觀,黏結(jié)應(yīng)力τb,j的大小與受拉區(qū)的縱筋應(yīng)變εs和混凝土拉應(yīng)變εct有關(guān)。因此,必須采用數(shù)值迭代求解的方法對截面進行分析,并假設(shè)方程中一個未知參數(shù)的初始值。

2.4 數(shù)值求解

對于四點受彎的FRP筋混凝土簡支梁,其最大裂縫一般出現(xiàn)在純彎區(qū)。本文取平均裂縫間距為1個分析母單元的長度,基于該母單元分析即可得出考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的FRP筋混凝土梁純彎區(qū)的平均裂縫寬度。而純彎區(qū)彎矩處處相同,因此于純彎區(qū)中任取兩個相鄰裂縫間的一個母單元進行分析即可。

對于一個給定的FRP筋混凝土梁,已知其截面大小、配筋狀況等,在一個給定的外荷載P下,該梁的平均裂縫寬度的數(shù)值計算迭代過程如圖4所示。

圖4所示的迭代過程具體按以下步驟執(zhí)行,可采用MATLAB軟件進行編程實現(xiàn)。

步驟1:由給定梁的基本參數(shù)計算平均裂縫間距,從而得到所要分析的母單元的長度,將母單元均分為n份(本文選定n=100,精度即可滿足要求),微段長度為Δx。

步驟2:開裂截面處受拉區(qū)混凝土的應(yīng)變εct,0=0,從而由式(4)和(5)計算開裂截面處的初始縱筋拉應(yīng)變εs,0和拉應(yīng)力σs,0等。

圖4 FRP筋混凝土梁平均裂縫寬度數(shù)值模型迭代示意圖

步驟3:假設(shè)開裂截面處的滑移量初始值為s0,并由黏結(jié)-滑移本構(gòu)計算對應(yīng)的黏結(jié)應(yīng)力τ0。

步驟4:已知上一截面i處的縱筋拉應(yīng)力σs,i和黏結(jié)應(yīng)力τb,i,由式(8)計算i+1截面的縱筋拉應(yīng)力σs,i+1，并通過FRP筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，得到相應(yīng)的拉應(yīng)變εs,i+1。

步驟5:由式(4)和(5)計算截面i+1處的受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力σc,i+1和受拉區(qū)混凝土拉應(yīng)力σct,i+1。

步驟6:由式(9)計算截面i+1處的滑移量si+1,并得到黏結(jié)應(yīng)力τi+1。

步驟7:重復步驟4至步驟6直到i+1=n/2,判斷式(10)是否成立。若成立,則退出循環(huán),由式(11)計算平均裂縫寬度;反之,改變s0,重復步驟4至步驟7。

sn/2≈0,

(10)

(11)

式中sn/2為母單元中點處的滑移量。

3 模型適用性的校核

由于采用按我國規(guī)范GB 50608—2010[5]推薦的平均裂縫間距公式計算的裂縫間距作為計算裂縫寬度時的一個母單元長度,因而應(yīng)該選取使FRP筋混凝土梁裂縫發(fā)展較為充分和穩(wěn)定的荷載進行驗算。國內(nèi)外學者經(jīng)過試驗分析認為,對于FRP筋混凝土梁而言,可保守地選擇0.3Mu作為正常使用極限狀態(tài)進行驗算(Mu為極限彎矩)。本文選擇0.5Mu左右進行驗算。這時裂縫發(fā)展比較充分,裂縫間距已相對穩(wěn)定,用我國規(guī)范GB 50608—2010[5]中公式計算裂縫間距進而計算裂縫寬度則比較合理。

3.1 兩種黏結(jié)-滑移本構(gòu)對比

將上述兩種本構(gòu)分別代入數(shù)值模型中進行計算,并與文獻[8]中采用箍筋約束的FRP梁四點受彎試驗的結(jié)果進行對比,結(jié)果如圖5所示。

圖5 兩種本構(gòu)計算結(jié)果對比

由圖5可看出,基于兩種本構(gòu)的計算結(jié)果差異較大。采用約束良好、黏結(jié)性能一般的本構(gòu)時,計算結(jié)果與試驗值的吻合度較好,程序預測平均裂縫寬度與試驗實測平均裂縫寬度之比的均值為0.97,優(yōu)于采用約束良好、黏結(jié)性能良好本構(gòu)時的均值0.73?？梢?選取不同黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)對裂縫寬度的計算有較大影響。目前,國內(nèi)外相關(guān)FRP筋的規(guī)范中,缺乏有關(guān)詳細劃分各類FRP筋黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)取值的內(nèi)容。因此,本文根據(jù)圖5及分析結(jié)果選擇歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中約束良好、黏結(jié)性能一般條件下的拔出破壞本構(gòu)參數(shù)值進行后續(xù)數(shù)值模型計算。

3.2 預測值與規(guī)范計算值對比

我國規(guī)范GB 50608—2010[5]中規(guī)定FRP筋混凝土受彎構(gòu)件按荷載效應(yīng)標準組合并計入長期作用影響的最大裂縫寬度wmax,應(yīng)按下列公式計算:

(12)

(13)

(14)

式中:ψ為裂縫間縱向受拉FRP筋的應(yīng)變不均勻系數(shù);σfk為荷載效應(yīng)組合下FRP筋的應(yīng)力;Ef為FRP筋的彈性模量;ftk為混凝土軸心抗拉強度標準值;參數(shù)具體取值及計算參見我國規(guī)范GB 50608—2010[5]。

2017年,東南大學董志強等[4]針對我國規(guī)范GB 50608—2010中最大裂縫寬度計算公式及其參數(shù)取值未經(jīng)過試驗數(shù)據(jù)校核等問題,基于收集的FRP筋混凝土梁的試驗結(jié)果,對規(guī)范GB 50608—2010中的裂縫寬度計算公式進行了全面的校核和修訂:

1)相對黏結(jié)特性系數(shù)v建議取1.0;

2)裂縫間縱向受拉FRP筋應(yīng)變不均勻系數(shù)ψ建議按式(15)計算，

(15)

3)裂縫間混凝土伸長對裂縫開展寬度的影響系數(shù)αc建議從0.85改為0.80等。下文簡稱董志強等修正后的裂縫寬度計算公式為“修正規(guī)范”。

本文選取文獻[8-9]中有關(guān)FRP筋混凝土梁平均裂縫寬度的系列試驗結(jié)果進行數(shù)值模型預測,并以試驗的實測值為基準,對比分析數(shù)值模型的預測值,按我國規(guī)范GB 50608—2010的計算值及按董志強等[4]修正規(guī)范的計算值,結(jié)果如圖6所示。

圖6 計算結(jié)果對比圖

由圖6可以看出,數(shù)值模型的應(yīng)用效果非常理想,程序預測平均裂縫寬度與試驗實測平均裂縫寬度之比的均值為0.92,具有較高的精確度;按董志強修正規(guī)范、規(guī)范GB 50608—2010計算的平均裂縫寬度與實測平均裂縫寬度之比的均值分別為1.20和1.31,按董志強修正規(guī)范的計算公式得出的結(jié)果更為準確,也更為經(jīng)濟。同時,從另一方面也可以看出:規(guī)范GB 50608—2010中關(guān)于平均裂縫寬度的計算方法較為保守,而本文數(shù)值模型的計算結(jié)果更為準確,但偏激進,在實際工程中應(yīng)用數(shù)值模型計算裂縫寬度時可以考慮乘以1.1的放大系數(shù)。

4 結(jié)語

1)基于黏結(jié)-滑移理論,建立了FRP筋混凝土梁構(gòu)件受力裂縫寬度計算的數(shù)值模型,并通過MATLAB軟件編程進行實現(xiàn),為FRP筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫計算提供了一種有效的分析方法。

2)對數(shù)值模型及我國規(guī)范GB 50608—2010、董志強修正規(guī)范的計算方法進行了驗證,結(jié)果表明,數(shù)值模型的預測結(jié)果與試驗結(jié)果較符合,說明采用數(shù)值計算模型分析受力裂縫是可行的,且具有較高的精確度。

3)黏結(jié)模型本構(gòu)參數(shù)的選取對裂縫寬度計算結(jié)果的影響較大。目前，國內(nèi)外有關(guān)FRP筋的規(guī)范中尚無詳細劃分各類FRP筋黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)取值的內(nèi)容,只能相對籠統(tǒng)地取值,這方面有待進一步研究。