張宗宇，周文雅，呂維梁，王曉明，馬瑞鑫

(1.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院,遼寧 大連 116024；2.中山大學(xué) 航空航天學(xué)院,廣東 廣州 510006)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)被廣泛用于柔性機翼主動變形、太陽能帆板、大型空間反射器結(jié)構(gòu)型面調(diào)整及發(fā)動機、機翼顫振的主動抑制等航空航天領(lǐng)域。與其他壓電形式驅(qū)動源相比，壓電纖維材料驅(qū)動器因其能量密度大，控制帶寬高，環(huán)境適應(yīng)性好及體積小等優(yōu)勢而受到研究者的廣泛青睞[1-6]。但壓電纖維材料固有的遲滯、蠕變特性嚴重影響其控制精度，給結(jié)構(gòu)高精度形狀控制帶來嚴重挑戰(zhàn)。

目前，許多學(xué)者已針對壓電材料的遲滯蠕變特性進行了理論研究和壓電驅(qū)動結(jié)構(gòu)變形控制的研究[7]。趙天等[8]提出了一種基于遲滯蠕變前饋補償控制與自適應(yīng)濾波反饋控制相結(jié)合的前饋-反饋復(fù)合控制法，并成功應(yīng)用于壓電陶瓷層疊作動器控制中；Shrock等[9]對宏纖維復(fù)合材料(MFC)的遲滯蠕變特性進行了逆補償研究及基于前饋補償?shù)腗FC驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀控制實驗；周淼磊等[10]構(gòu)建了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯蠕變模型，與專家模糊控制相結(jié)合，有效提高了壓電陶瓷驅(qū)動平臺定位精度；趙慶旭等[11]采用二階多項式模型構(gòu)建了壓電陶瓷作動器遲滯模型，開展了壓電陶瓷定位平臺復(fù)合控制方法的研究。為解決現(xiàn)有壓電驅(qū)動結(jié)構(gòu)形狀控制研究中存在的被控對象和壓電作動器遲滯蠕變建模方法粗糙、精確度低、通用性及可擴展性差等問題，進一步探討提高控制精度的有效方法。本文開展了MFC驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)高保真動力學(xué)建模和前饋-反饋相結(jié)合的動態(tài)形狀復(fù)合控制方法研究。首先，采用有限元法、均勻化理論結(jié)合壓電驅(qū)動載荷比擬法，建立了壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)力-電耦合動力學(xué)模型，采用模態(tài)降階法推導(dǎo)了其狀態(tài)空間形式控制模型。進一步構(gòu)建了基于實驗數(shù)據(jù)的Prandtl-Ishlinskii(PI)遲滯模型和lg(t)形式蠕變模型，推導(dǎo)得到其逆模型，并據(jù)此開展前饋補償控制器設(shè)計。在前饋補償?shù)幕A(chǔ)上，結(jié)合線性自抗擾反饋控制法，實現(xiàn)了壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)的前饋-反饋混合控制器設(shè)計，并通過仿真算例驗證了本文所提控制方法的可行性及其在控制精度方面所具有的優(yōu)勢。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

圖1為MFC驅(qū)動柔性懸臂鋁板實驗結(jié)構(gòu)。M8528P1型MFC壓電纖維作動器粘貼在被控結(jié)構(gòu)根部。利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，可將電壓激勵轉(zhuǎn)化為自身結(jié)構(gòu)應(yīng)變，實現(xiàn)對被控結(jié)構(gòu)形狀的控制,控制原理如圖2所示。研究過程中采用被控結(jié)構(gòu)端部測量點撓度來定量刻畫結(jié)構(gòu)變形量。

圖1 MFC驅(qū)動懸臂鋁板結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 形狀控制系統(tǒng)示意圖

研究中采用四節(jié)點板單元結(jié)合有限元法建立了壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型[12]。建模過程中利用壓電驅(qū)動載荷比擬法[13]實現(xiàn)輸入電壓-輸出力(矩)的轉(zhuǎn)換。模型中包含被動單元和主動單元(粘貼有壓電纖維作動器的單元)[14]。

將被動單元和主動單元進行組裝，得到壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)整體控制方程為

(1)

式中：xs為結(jié)構(gòu)位移矢量；Ms=Msb+Msp和Ks=Ksb+Ksp分別為整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，下標(biāo)b和p分別對應(yīng)于懸臂板結(jié)構(gòu)和壓電驅(qū)動器的相關(guān)變量；Fp為單位電壓下產(chǎn)生的壓電控制力(矩)矢量;u為作動器施加的電壓矢量。表1為被控結(jié)構(gòu)及驅(qū)動器屬性。

表1 被控結(jié)構(gòu)及驅(qū)動器屬性

由于所建結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型階數(shù)較大，為便于開展控制率設(shè)計，采用模態(tài)分解法對所建立的有限元模型開展降階工作，引入模態(tài)坐標(biāo)變換[14]：

xs=Φq

(2)

式中：q為廣義坐標(biāo)向量；Φ為系統(tǒng)振型矩陣。

為模擬結(jié)構(gòu)在電壓激勵下的真實變形響應(yīng)，還須考慮結(jié)構(gòu)阻尼效應(yīng)。本文采用經(jīng)典阻尼模型，其數(shù)值通過實驗數(shù)據(jù)獲得。進一步考慮結(jié)構(gòu)阻尼，降階后的結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型為

(3)

(4)

式中A,B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。

研究中，被控結(jié)構(gòu)的變形量用測點的彎曲撓度來表示，則有

y=CyX

(5)

式中：y為輸出變量；Cy為輸出矩陣。

1.2 MFC作動器遲滯蠕變建模及其逆補償

研究中采用的MFC具有壓電材料所固有的遲滯與蠕變特性。遲滯特性表現(xiàn)為在升壓或降壓的過程中，作動器對應(yīng)的輸出位移表現(xiàn)出明顯的回路特征[15](見圖3(a))；蠕變特性表現(xiàn)為作動器在如圖3(b)所示穩(wěn)定加載電壓下，其驅(qū)動位移呈現(xiàn)出如圖3(c)所示的隨時間發(fā)生漂移的特性。為提高壓電作動器的驅(qū)動精度，本文對壓電纖維作動器的遲滯蠕變特性進行了精細化建模，并對其逆補償法進行了重點研究。

圖3 MFC驅(qū)動器遲滯蠕變特性

1) 遲滯建模。研究采用PI遲滯模型描述MFC的遲滯特性。PI遲滯模型屬于唯象模型，可通過實驗數(shù)據(jù)來刻畫遲滯非線性效應(yīng)。PI遲滯模型H[x](t)由nH+1個基本單元遲滯算子線性加權(quán)疊加得到：

(6)

式中：wHi為權(quán)系數(shù)；rHi為閾值；zH0i(i=0,1,…,nH)為初值。

基本單元遲滯算子定義為在分段單調(diào)時間區(qū)間內(nèi)t0?…?tj?t?tj+1?…?tend輸入信號的遞推關(guān)系[8]，具體形式為

zH(t)=max{x(t)-rH,min{x(t)+

rH,zH(tj)}}

(7)

其中初值為

zH(t0)=max{x(t0)-rH,min{x(t0)+

rH,zH(t0)}}

(8)

2) 蠕變建模。MFC的蠕變特性表現(xiàn)為在穩(wěn)定驅(qū)動電壓作用下，壓電系統(tǒng)輸出位移隨時間改變的一種滯后效應(yīng)。由于其位移特性與時間呈現(xiàn)對數(shù)變化關(guān)系，可由lg(t)型蠕變算子進行描述，其由m個基本單元蠕變算子疊加得到：

(9)

式中:m為蠕變特征值個數(shù);rK∈R+為閾值。

基本單元蠕變算子，即

zK(t)=KrKaK0[x,zK0]

(10)

式中zK0為初值。

式(10)為下式所示非線性微分方程的唯一解，即

rK,min{x(t)-zK(t)+rK,0}}

(11)

式中aK∈R+為蠕變特征值,其具體值如下：

(12)

式中Ts為時間序列的最小間隔。

PI形式蠕變算子由nH+1個閾值為rKi的lg(t)蠕變算子加權(quán)疊加得到：

(13)

式中wKi為權(quán)系數(shù)。

將蠕變算子與遲滯算子相結(jié)合，可得非線性遲滯蠕變模型：

(14)

結(jié)合實驗數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識法可得遲滯蠕變模型算子的參數(shù)。利用這種基于算子的模型，方便計算其逆算子，并建立逆模型來補償遲滯蠕變效應(yīng)。補償模型為

x(t)=G-1[y](t)=H-1[y-K[x]](t)

(15)

由于本文研究重點是壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀的復(fù)合控制，故針對MFC遲滯和蠕變模型參數(shù)辨識法及其逆模型推導(dǎo)過程不再給出，詳細信息可參考文獻[16-17]。

2 柔性結(jié)構(gòu)非線性模型及控制器設(shè)計

2.1 MFC驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)非線性控制模型的建立

通過有限元法、均勻化理論和載荷比擬法，結(jié)合模型降階手段得到MFC驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間形式控制模型。該模型不包含MFC作動器的非線性特性。因此，基于1.2節(jié)建立的MFC作動器遲滯蠕變模型獲得被控系統(tǒng)非線性特征，將其與建立的壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)線性模型串聯(lián)，最終可得到包含壓電驅(qū)動器遲滯、蠕變特性的被控系統(tǒng)非線性模型，如圖4所示。

圖4 壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)非線性控制模型

2.2 壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)前饋控制器的設(shè)計

完成壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)高保真形狀控制建模后，基于遲滯蠕變逆模型實現(xiàn)了面向被控系統(tǒng)的前饋補償控制器設(shè)計(見圖5)，并對被控結(jié)構(gòu)進行動態(tài)變形的開環(huán)全補償控制實驗。前饋補償實驗流程如下：

1) 依據(jù)被控系統(tǒng)線性模型求解跟蹤預(yù)定變形軌跡的所需電壓。

2) 將得到的電壓加載軌跡作為前饋逆補償控制器輸入，經(jīng)遲滯蠕變逆補償后得到實際控制電壓加載曲線。

3) 將補償后的電壓作為實驗系統(tǒng)輸入，進行被控對象結(jié)構(gòu)形狀控制。

圖5 開環(huán)前饋補償控制示意圖

在研究過程中，為避免大柔性結(jié)構(gòu)形狀變化過程中的振蕩效應(yīng)對遲滯蠕變建模精度產(chǎn)生影響，使用較短鋁板來研究MFC的遲滯蠕變非線性特征。圖6為該短鋁板的實物圖及對應(yīng)的有限元模型。

圖6 遲滯蠕變逆補償研究用壓電驅(qū)動層合鋁板結(jié)構(gòu)

圖7(a)為通過MFC驅(qū)動短鋁板開環(huán)變形實驗測量的電壓-位移數(shù)據(jù)滯回曲線。圖7(b)為經(jīng)過遲滯蠕變逆模型補償后得到的一組電壓-位移響應(yīng)關(guān)系曲線。對比圖7(a)、(b)可知，經(jīng)逆補償后，可得加載電壓-驅(qū)動位移間呈近似線性關(guān)系，由此表明遲滯、蠕變非線性得到了很好的補償。后續(xù)研究中，將基于該實驗數(shù)據(jù)開展柔性結(jié)構(gòu)遲滯、蠕變前饋補償器設(shè)計工作。

圖7 遲滯蠕變非線性關(guān)系補償

對實驗系統(tǒng)分別施加如圖8(a)所示的加載電壓(對應(yīng)測量點終端穩(wěn)態(tài)位移量為5 mm)，可得到如圖8(b)所示的位移響應(yīng)曲線。由圖8(b)可知，壓電作動器的遲滯蠕變作用對實驗系統(tǒng)控制精度影響嚴重。建立的前饋補償器能夠有效消除遲滯、蠕變效應(yīng)對結(jié)構(gòu)控制精度帶來的影響。對比仿真與實驗數(shù)據(jù)可知，建立的被控對象模型具有較高精度，且能良好地模擬被控對象結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性。

圖8 開環(huán)補償控制結(jié)果示意圖

2.3 壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)復(fù)合控制系統(tǒng)的設(shè)計

為提高控制系統(tǒng)增益，改善系統(tǒng)控制精度及提升系統(tǒng)魯棒性，本文采用自抗擾法設(shè)計面向形狀控制的閉環(huán)反饋控制器，并與基于遲滯蠕變模型的前饋控制器相結(jié)合，構(gòu)建了面向壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀的復(fù)合控制系統(tǒng)。圖9為構(gòu)建的復(fù)合控制系統(tǒng)示意圖。自抗擾控制器主要由微分跟蹤器(TD)、狀態(tài)反饋環(huán)節(jié)(LF)和狀態(tài)擴張觀測器(LESO)3部分組成[18]。

圖9 壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀復(fù)合控制示意圖

針對本文涉及的典型二階受控系統(tǒng)，設(shè)計自抗擾控制率為

U0=Kp(r-Z1)-KdZ2

(16)

(17)

式中：U0為由狀態(tài)誤差反饋控制率解算得到的控制輸入;U1為由自抗擾控制器解算得到的控制輸入；Z1、Z2、Z3為三階狀態(tài)擴張觀測器的觀測輸出；r為系統(tǒng)控制指令輸入；Kp，Kd為控制參數(shù)；b0為由被控對象特性和參數(shù)決定的常量參數(shù)。

將U1與經(jīng)過遲滯、蠕變前饋補償?shù)玫降那梆佪斎險q進行求和，得到所設(shè)計的復(fù)合控制器整體輸入U為

U=U1+Uq

(18)

3 仿真研究

為檢驗復(fù)合控制法對結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀控制的效果，在MATLAB/Simulink環(huán)境下構(gòu)建了壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀閉環(huán)控制仿真平臺，并開展了數(shù)值仿真研究。本文在線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng)中，狀態(tài)擴張觀測器的參數(shù)選取β1=150，β2=120，β3=125×103，反饋參數(shù)Kp=1 000，Kd=8，b0=0.01。為對比顯示LADRC控制法在控制精度和魯棒性上的優(yōu)勢，還搭建了基于比例、積分、微分(PID)控制與遲滯、蠕變前饋補償相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。通過自調(diào)節(jié)整定PID參數(shù)Kp=5×104，Ki=7×102，Kd=5×104。

在研究中采用正弦形式的控制信號yr=0.005sin(0.125πt)作為期望輸入，對被控對象分為下述3種情況進行仿真：

1) 在無外界干擾條件下，單獨采用LADRC控制法和PID法對實驗系統(tǒng)進行動態(tài)變形控制。圖10為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖10 控制效果展示

2) 在無外界干擾條件下，將LADRC控制法和PID控制法分別與遲滯、蠕變前饋逆補償控制相結(jié)合，對實驗系統(tǒng)進行動態(tài)變形控制。圖11為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖11 控制效果展示

3) 將LADRC控制法和PID控制法分別與遲滯、蠕變前饋逆補償控制相結(jié)合，對實驗平臺進行動態(tài)變形控制。采用正弦信號y=50sin(0.5πt)作為輸入干擾信號施加于仿真過程中，圖12為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖12 控制效果展示

圖13為分別采用LADRC和PID結(jié)合遲滯、蠕變前饋補償控制的復(fù)合控制法及單獨采用LADRC和PID反饋控制法的誤差曲線。基于仿真結(jié)果，計算得到4種控制方法下的控制位移與期望位移的平均絕對誤差分別為0.038 6 mm、0.108 1 mm、0.484 5mm、1.537 3 mm。

圖13 控制誤差對比圖

對比圖11和圖12的仿真結(jié)果可知，MFC遲滯、蠕變特性對系統(tǒng)控制精度影響嚴重，在LADRC和PID閉環(huán)控制下，引入遲滯蠕變前饋補償控制器后，系統(tǒng)控制精度分別提高了2.8倍和3.2倍。

由圖13可知，LADRC復(fù)合控制法除能夠提高被控對象的控制精度外，閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性也得到增強。在引入干擾信號后，LADRC復(fù)合控制法的控制能力幾乎無變化，而PID復(fù)合控制法則難以實現(xiàn)對控制輸入的有效跟蹤。由此可知，LADRC控制法對這種壓電驅(qū)動大柔性結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀的控制更具優(yōu)勢。

4 結(jié)論

1) 本文進行了壓電驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀復(fù)合控制的理論研究?；谟邢拊?、均勻化理論和載荷比擬法，構(gòu)建了面向MFC驅(qū)動柔性結(jié)構(gòu)形狀的控制模型。對比實驗數(shù)據(jù)，所建立的控制模型具有良好的精度。建模方法對于指導(dǎo)壓電材料驅(qū)動大柔性結(jié)構(gòu)形狀控制具有實際參考價值。

2) MFC作動器遲滯蠕變特性對結(jié)構(gòu)動態(tài)形狀控制精度影響嚴重。建立了基于實驗數(shù)據(jù)PI遲滯模型與lg(t)形式的蠕變模型，開展了遲滯蠕變前饋逆補償控制器設(shè)計。實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的前饋控制器能有效消除MFC的非線性，滿足高精度形狀控制的工程需要。

3) 構(gòu)建了基于遲滯、蠕變非線性逆補償模型的前饋控制和自抗擾反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。仿真算例表明,復(fù)合控制法能在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)形狀的有效控制，前饋補償控制能夠提高控制精度。同時仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典PID控制法相比，LADRC具有更高的抗擾性和魯棒性。