汝洪武,張文喜,吳玲玲

(1.西安工業(yè)大學光電工程學院,陜西 西安 710021;2.中國科學院空天信息創(chuàng)新研究院計算光學室重點實驗室,北京 100094)

1 引 言

白光干涉測量解決了單色激光干涉測量的量程較小,精度不足的問題,在干涉定位和非接觸式測量方面有廣泛的應用[1]。白光干涉多采用垂直掃描法進行測量,如圖1所示。光源出射光準直后被分光鏡(BS)分束,分別到達測試面和標準面后得到表面信息,反射光束再被BS合束后到探測器,采用壓電陶瓷(PZT)線性位移機構調整參考光路的光程差進行掃描測量。白光干涉測量不同于單色光源干涉測量,白光光源一般功率大、光譜較寬[2]。兩路相同波段的激光重合時會產生干涉現象,把這兩路激光稱為“激光對”,單色光干涉產生的條紋對比度是穩(wěn)定的[3-5]。白光干涉是無數不同波段的“激光對”的干涉的相互疊加,且不同波段的干涉條紋寬度不同,隨著光程差的增大干涉光強被均勻化,光強對比度為零,只有在參考光與測試光光程差為零時無數條激光干涉的波峰在同一處重合,此處光強最強。

圖1 邁克爾遜白光干涉系統(tǒng)

穩(wěn)定雙光束干涉的光強信號可以表示為[6]:

(1)

相干峰尋址法根據白光信號相干長度短、相干峰明顯的特性提出的:以高度不同的兩點為例,掃描測量的過程中兩點依次出現相干峰,以相干峰峰值點的位置為參照,兩個相干峰峰值點在Z軸上的差值就是兩點的高度差,如圖3所示。實現相干峰尋址法的具體算法很多,不同的算法具有不同的相干峰定位精度和不同的特性,選擇合適的算法尤為重要。

圖2 模擬白光干涉信號

圖3 相干峰尋址法

2 白光掃描干涉信號算法

將相干峰尋址法分為三大類:直接求解法、包絡曲線擬合法和加權平均法。不同算法的特性直接決定了白光干涉信號的相干峰定位精度。在同等算法的條件下,采樣點越密集精度越高。

2.1 直接求解法

2.1.1 插值法

插值法在相干峰峰值點處選取三個干涉數據,代入一元二次方程后求得極值點橫坐標代替對應的峰值點位置[7]。表面高度信息h的計算表達為:

(2)

其中,i為光強最大值處的橫坐標值；Ii為對應位置i處光強值。插值法每組數據只用了峰值附近的三個數據點,計算速度快、精度低,適用于精度不高的應用場合,提高插值法的測量精度可以通過多次測量求均值、提高步進精度、減小白噪聲誤差或減小掃描間隔。

2.1.2 移相法

移相算法根據白光干涉光強公式的基礎上得出,在峰值附近選取幾個采樣點,解方程計算出峰值點的相位φ,如式(3)所示,再通過光源參數計算求得表面高度。移相法又有三步移相法、四步移相法、五步移相法等多步移相法[8-9]。以四步相移法為例,計算公式如式(4)所示。

(3)

(4)

移相法利用峰值附近的幾個數據,計算速度快,充分利用了光強和相位兩種信息,計算精度高。因為數據點較少,分母上差值準確性降低,分母較小時受到白噪聲影響較大。移相計算方式可以在一定程度上不受掃描間隔大小的影響,降低對高精度移動平臺的依賴。

2.1.3 空間頻域法

空間頻域法Peter de Groot等人提出[10],是現階段計算精度相對較高的方法[11-12]。只通過白光干涉信號的相位信息計算待測面形。單色光發(fā)生干涉時相位與波數和光程差成正比,白光干涉信號是很多單波長光產生干涉信號的疊加,將其相位在空間角頻率k0處用泰勒級數展開,得到:

(5)

其中,第一項Φ0=k0Z0,為k=k0處的相位分量;Z0為k0的相速度光程差。通過相位解包裹的方法消除周期性2π的相位模糊,保證相位計算的連續(xù)性。將常數項k0Z0來進行優(yōu)化,該常數項通過直線擬合后的直線函數信息獲得。優(yōu)化后如下[13]:

(6)

其中,n為傳播介質的反射率系數；α為相位補償量；n,α由材料所決定。

空間頻域法擺脫白光干涉測量對干涉光強對比度的依賴,僅在頻域內進行處理,以相位與空間角頻率之間關系的斜率求得待測面形信息,計算精度高,相比傅里葉變換和高斯擬合具有更小的運算量,信號處理迅速。在信號處理時,即使測量時存在一定的2π周期的相位模糊也并不影響斜率的計算,因此采樣過程中采樣間隔π/2與5π/2,計算結果一致,可用于欠采樣時的情況下。

2.2 加權平均法

2.2.1 重心法

重心法是基于加權平均提出的,把光強值看作為權值,對應的橫坐標看作待求平均的數據,得到的加權平均的值就是相干峰的坐標值[14-16]。即相干峰峰值的橫坐標信息可以表示為:

(7)

但是上式的計算精度受白光干涉信號的背景光強值影響較大。Veeco的Ai等人對重心法進行了改進,有效降低了背景光強的影響[17],如下式:

(8)

其中,令mi=(Ii-Ii-1)2代替原始信號的光強值作為權值,重心算法的速度和效率都很高,但受背景光強的影響很大,適用于背景光強相對較小的測量環(huán)境。改進后的重心法能有效的降低背景光強的影響,使用重心法求解的過程中盡可能峰值所處的位置在于數據的中心位置,可以有效的提高重心法的計算精度。

2.2.2 相干相關算法

相干相關算法(Coherence Corelation Interferometry,CCI)由泰勒霍普森公司提出[18-19]。首先根據采用的光源的參數模擬出參考白光干涉光強信號ai,將模擬信號與實際采集到的掃描信號點對點相乘,然后將參考信號沿X軸方向逐步平移,記錄下每步參考信號ai與白光干涉光強Ii的乘積,用該數據代替白光干涉信號[20]。具體如下式:

(9)

Ai呈高斯分布,對其高斯擬合后找到高斯擬合曲線的最大值的橫坐標即待測表面高度。

相干相關算法與小波變換包絡擬合法極為相似,但是沒有小波變換的靈活度高。適用于欠采樣的情況,能保持相對可觀的計算精度。由于每組數據都需要多次計算,并且再進行擬合取極值橫坐標值,計算量很大,相對較為耗時。

2.3 包絡曲線擬合法

包絡曲線擬合法根據白光干涉包絡曲線的形狀擬合的函數曲線,或利用經過各種變換處理后的包絡曲線進行擬合,用該曲線的峰值點來代替實際相干峰的峰值點,很大程度上提高了白光干涉的相干峰定位精度,主要包括以下幾種算法。

2.3.1 多項式擬合

多項式擬合法由Park和Kim提出[20],根據白光干涉光強的包絡曲線符合高斯分布,在峰值附近的包絡曲線接近于一個一元二次方程的函數曲線在峰值附近的包絡形狀,因此用二次多項式對白光干涉光強的包絡曲線進行擬合。具體過程如下所示:

I(z)=Ibg-Ibg(a1+a2z+a3z2)(cosθcosρ+sinθsinρ)

(10)

(11)

多項式擬合宜取相干長度范圍內的數據用以擬合,便于保證實際數據與二次曲線的重合程度更高,提高擬合結果的邏輯縝密性。多項式擬合法優(yōu)勢在于對數據利用更充分,具有相對較強的白噪聲抑制能力。但是數據量更豐富的同時計算量增大、計算時間變長。

2.3.2 高斯擬合法

白光干涉光強曲線符合高斯包絡調制,對白光干涉光強的高斯包絡進行擬合,取其極值點的橫坐標就是該點對應的相干峰的坐標h[21]。其計算公式如下:

(12)

高斯擬合算法相對簡單,當掃描間隔穩(wěn)定時計算精度也相對較高,還適用于欠采樣的測量過程,當掃描間隔較大時可以采取對數據先減其均值后再取絕對值,數據密度增加了一倍,高斯擬合法對掃描間隔的依賴性較低。高斯擬合法對掃描間隔的大小要求相對較低,但是當掃描間隔過大時精度也隨之降低,且高斯擬合法計算量大,計算時間較長。

2.3.3 傅里葉變換

傅里葉變換法是適用性比較廣泛的一種算法,將采集到的白光干涉信號傅立葉變換,濾去正弦調制項的頻率,逆變換后得到白光干涉數據的高斯包絡曲線的相干峰峰值點坐標。傅里葉變換法本質上是濾除自身載波的影響,因此也被稱作傅里葉濾波法,分析如下式[22-23]：

(13)

其中,*表示對函數的卷積。白光干涉信號的包絡曲線與傅里葉逆變換后得到的幅值曲線成正比,即白光信號的峰值點與該曲線的峰值點重合,對上式的幅值曲線高斯擬合即得表面高度。

傅里葉變換算法的計算精度高,對白噪聲抑制能力強,不足之處需進行正反兩次變換和高斯擬合,計算量大,計算時間長,且傅里葉變換只反映整體信息,對局部窗口的信息反應不夠全面。傅里葉變換法要求掃描間隔不能過大,否則可能會導致采樣頻率提取無效,只適用于采樣間隔相對不大的測量環(huán)境。

2.3.4 希爾伯特變換

希爾伯特變換法將原始信號加上經過希爾伯特變換的虛部信號構成的復信號,得到的信號的頻率全是正頻部分[24]。提取信號包絡的過程通過希爾伯特變換完成,即希爾伯特變換可得白光干涉測量的峰值點。設Iac為白光干涉信號的交流部分,變換后Iac產生了-90°的相移。在調制信號逐漸變化、載波信號迅速變化的情況下,交流信號的希爾伯特變換近似表示為[7]:

(14)

希爾伯特變換與傅里葉變換的計算精度相近,要求采集信號中的背景光強足夠穩(wěn)定。實際測量時,參考面的移動過程當中距離光源的位置發(fā)生改變,背景光強隨之改變。但希爾伯特變換法是一種時域內的變換,不需要從頻域向時域的逆變換和高斯擬合過程,相比傅里葉變換法就有更快的計算速度,更容易引入測量誤差。

2.3.5 小波變換法

小波方法是在傅里葉變換的基礎上優(yōu)化出的。傅里葉變換僅采用正弦波作為變換的基礎波形,而小波變換采用特殊的曲線線段或者向量作為變換的基礎波形,可以用自己定義的一個波形作為變換的基,擴大了頻域信號分析方法中的時頻適用性[25-26]。小波變換有兩個可變的參量,所以小波變換具有對目標信號進行有選擇性的分段分析,實現不同波段進行不同頻率濾波的功能。設Ψ(t)為一個小波族的基波,則將小波族定義為:

(15)

式中,a,b為常數。通過調整參數a、b來調整上式的幅值大小和坐標位置。小波變換定義為:

(16)

其中,X(t)為任意平方可積函數。針對小波變換雙參數可調的特性,提出了兩個白光干涉信號的峰值點的尋址方法:小波包絡峰值點提取以及連續(xù)小波變換法。

(1)小波包絡提取

根據不同使用情況下選擇適合的基,小波包絡提取時直接選擇白光干涉信號的波形作為母小波。由法國地震學家J.Morle提出的Morlet小波[25],它是一個受復數信號調制的高斯包絡信號,通過提取包絡信號的極值點對應的橫坐標,得到變換的目標結果[25]。由下式所示:

(17)

定義|WT(a,b)|為小波系數,其中WTmr(a,b)和WTmi(a,b)分別為小波系數的實數部分和虛數部分,調整b的大小實現子小波與實際信號會發(fā)生小距離的錯位,當小波系數最大時,小波函數的峰值點與白光光強包絡的峰值點重合,子小波峰值點的位置代替干涉峰峰值點所在的位置。模擬的小波包絡如下式:

(18)

(2)連續(xù)小波變換

連續(xù)小波變換充分利用小波變換的兩個可變尺度參數a調整光源的中心波長,b調整相干峰位置。當小波函數與干涉光強曲線I(z)在頻域與時域都重合時,小波系數最大[26]。此時的相干峰信息確定方式如下式[26]:

(19)

其中,h′為對應著小波系數最大時小波函數峰值點對應的坐標,相位信息通過下式可得:

(20)

其中,[WT(a,b)]是小波系數的最大值,表示b0處Morlet小波與I(z)之間的相位差。

小波變換法相對于傅里葉變換法具有較強噪聲平滑作用,對噪聲具有很強的抑制效果的同時不損傷數據的邊緣信息,能夠獲得每個頻段的完整信息[27-28]。小波變換在時域和頻域中同時具有非常好的調控能力,可以針對目標信號的任意波段進行分析,有利于更全面的對所獲得的數據獲取更多的信息,在科學研究中應用非常廣泛。但是小波變換算法的計算量相對較大,計算速度較慢。

2.3.6 基于采樣定理的平方包絡函數估計算法(SEST)

基于采樣定理的平方包絡函數測量(SEST)方法的提出是為了解決白光干涉測量時數據量龐大的問題,有效地降低了白光干涉測量對高密度采樣的依賴性,在欠采樣測量過程中應用比較廣泛[29]。用采樣數據信號點Ym(m=l,2,…,M)定義一個新的向量如式(21),作為原始干涉信號進行處理。

(21)

式中,f(z)是干涉光強分布中的干涉項,可以定義為ym=f(zm),zm是第m個采樣點。則φm(z)定義為:

(22)

(23)

式中,Δ是采樣間隔。找到包絡曲線的峰值點就能解算出待測面的面形信息,不需要嚴格的復現干涉圖的信息,式(24)是一個基于采樣數據對r(z)的估算值rB(z),其包絡曲線最大值對應的橫坐標就是對應坐標點的表面高度h。當z是其中的一個采樣點,定義:z=zj(j=1,2,3,…M)。

(24)

SEST算法是針對掃描間隔較大的情況提出的,適用于欠采樣的測量過程中,雖然小幅度增加了計算時間,但是大幅度減少了采樣時間,另外可以適用于生產線上的快速測量,降低了垂直掃描干涉法對高精度移動平臺的高度依賴,并且具有較高的計算精度。

3 計算結果

表1是在一組仿真的白光干涉信號,仿真光強的中心波長為633 nm,相干長度為50 μm,掃描長度為80 μm,單組數據有120個光強值,從計算精度、掃描步長、運算速度和白噪聲影響四個方面對各種算法做了仿真分析,得到以下結果。

表1 各種算法的性能對比

(續(xù)表)

4 結 論

白光干涉測量具有算法精度高、量程大等優(yōu)點,廣泛應用于各種高精度、大量程的干涉測量當中。白光干涉測量算法種類較多,需要根據實際測量的條件和環(huán)境靈活選擇適合的算法,也可采用多種算法組合使用。了解各種白光干涉測量算法的特性、選擇適當的算法對提高白光測量的精度具有非常重要的意義。

根據仿真結果得出幾點結論:①相干相關算法、空間頻域法、移相法、小波變換法和采樣定理的平方包絡函數估計算法在未知光源參數的情況下不能使用,可優(yōu)先采用其他幾種算法;②相移法和插值法只需要峰值附近的幾個數據就可實現測量,計算精度快,可在在線測量或者快速測量的情況下優(yōu)先采用。其中相移法測量精度相對較高;③重心法、相干相關算法、空間頻域法和SEST法受掃描步長的影響較小,可用于欠采樣情況下;④傅里葉變換法、小波變換法和空間頻域法具有較強的噪聲濾除能力,可用于探測器噪聲相對較大的情況。