朱繼偉，孫 慈，楊 晉，馬婷婷，郭雪強(qiáng)，張 健

(1.長春長光格瑞光電技術(shù)有限公司，吉林 長春 130102；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033)

1 引 言

中階梯光柵光譜儀因其高分辨率、高衍射效率在光譜分析領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用[1-5]。中階梯光柵光譜儀的主色散元件為中階梯光柵，這種光柵具有低刻線密度、高衍射級(jí)次的特點(diǎn)，由于其自由光譜區(qū)很短，所以在應(yīng)用時(shí)需要使用不同的衍射級(jí)次來實(shí)現(xiàn)寬的光譜范圍。同時(shí)，中階梯光柵存在很強(qiáng)的光譜級(jí)次重疊，通常需要其他色散元件實(shí)現(xiàn)級(jí)次分離[6]，這種組合色散的方式，在像面上就形成了二維交叉色散光譜。這種光譜的接收像元與波長間并無直接關(guān)系可循，無法直接獲得所需波長或波段的強(qiáng)度信息，須經(jīng)過大量的分析計(jì)算，通過譜圖還原算法，將二維圖像信息轉(zhuǎn)化為一維的波長與光強(qiáng)對(duì)應(yīng)的光譜曲線，最終實(shí)現(xiàn)多元素的瞬時(shí)光譜分析。

傳統(tǒng)的中階梯光柵光譜儀的譜圖還原算法是采用光線追跡法確定接收像面上像元與波長的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于任意波長，結(jié)合中階梯光柵光譜儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)可基于幾何光學(xué)原理的光線計(jì)算，精確追跡出該波長在像面上的位置，但是中階梯光柵光譜儀通常會(huì)使用上百個(gè)級(jí)次，光譜數(shù)據(jù)量十分龐大，因此這種算法追跡過程繁瑣，計(jì)算效率有待提高[7]。近年來，長春光機(jī)所提出了一種基于公式歸納法的譜圖還原算法，即結(jié)合中階梯光柵光譜儀的光學(xué)設(shè)計(jì)參數(shù)，通過角度偏移近似建立簡化的譜圖還原模型，從而提高模型的建立速度和運(yùn)算效率，經(jīng)過多年的發(fā)展，這種算法已在工程上得到應(yīng)用[8-11]。然而，隨著應(yīng)用要求的不斷提高，中階梯光柵光譜儀的光路設(shè)計(jì)越來越復(fù)雜，不僅結(jié)構(gòu)形式多變，為校正各種像差，在光路中也會(huì)插入多個(gè)校正鏡[12-15]，從而這種簡化模型的譜圖還原算法在模型建立的難度上也在不斷提高，運(yùn)算速度也因此受到影響。

本文以采用中階梯光柵和棱鏡組合色散方式及采用柱面鏡進(jìn)行像散校正的中階梯光柵光譜儀為研究對(duì)象，結(jié)合光線追跡方法，分別對(duì)中階梯光柵光譜儀棱鏡色散方向和光柵色散方向上波長與光斑的位置坐標(biāo)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，進(jìn)而建立了波長與像元的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并將獲得的譜圖還原模型實(shí)際應(yīng)用到中階梯光柵光譜儀中。該算法計(jì)算過程簡單有效，運(yùn)算效率高，靈活性強(qiáng)，適用于各種中階梯光柵光譜儀。

2 中階梯光柵光譜儀

2.1 光路結(jié)構(gòu)

圖1 中階梯光柵光譜儀光路Fig.1 Optical path diagram of echelle grating spectrometer

本文算法所采用的中階梯光柵光譜儀的光路結(jié)構(gòu)如圖1所示。光束從小孔入射后經(jīng)球面鏡準(zhǔn)直，以平行光形式入射到以準(zhǔn)李特羅角放置的中階梯光柵，經(jīng)光柵色散后，由棱鏡在垂直于光柵色散方向上繼續(xù)色散，交叉色散后的光束通過球面反射鏡，并經(jīng)過具有校正像散作用的柱面鏡后成像在CCD像面上。該中階梯光柵光譜儀的技術(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 中階梯光柵光譜儀的技術(shù)指標(biāo)

2.2 二維譜圖

為避免級(jí)次重疊問題,中階梯光柵光譜儀采用交叉色散的方式，通過輔助色散元件在面陣CCD像面上形成二維譜圖，圖2為中階梯光柵光譜儀自由光譜區(qū)內(nèi)的二維譜圖示意圖。其中，X方向?yàn)槔忡R色散方向，Y方向?yàn)楣鈻派⒎较?，每條譜線對(duì)應(yīng)一個(gè)光譜級(jí)次。譜圖還原算法就是將像元位置與波長、級(jí)次一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)，通過CCD所獲得的每個(gè)像元點(diǎn)的光強(qiáng)信息，建立起波長、級(jí)次與光強(qiáng)的一維譜圖信息。圖3為二維譜圖轉(zhuǎn)換為一維譜圖的過程。

圖2 自由光譜區(qū)內(nèi)二維譜圖示意圖Fig.2 Schematic diagram of two-dimensional spectrogram in free spectrum region

圖3 譜圖還原過程示意圖Fig.3 Schematic diagram of spectrogram reduction process

3 譜圖還原算法

本文的研究對(duì)象為交叉色散式中階梯光柵光譜儀，該光譜儀的中階梯光柵具有偏置角，偏置角方向垂直于光柵色散方向，光束在偏置角方向上反射，在其垂直方向上色散，棱鏡色散方向?yàn)樗椒较?。根?jù)中階梯光柵的錐面衍射方程[16]：

mλ=d·(sinα+sinβλ)·cosω,

(1)

式中：α為入射角，βλ為衍射角，ω為光柵的偏置角。各個(gè)級(jí)次的中心波長λcen為：

(2)

由此可知，不同衍射級(jí)次的中心波長在像面上垂直方向位置相同，而在儀器中不同波長在水平方向上的位置由棱鏡決定。因此，棱鏡與光柵的色散相互獨(dú)立，分別決定各個(gè)波長在像面上的X坐標(biāo)和Y坐標(biāo)，可根據(jù)此特性在X方向和Y方向上分別建立擬合方程，獲得波長與光線的位置關(guān)系。擬合原理如圖4所示。

圖4 譜圖還原過程擬合原理Fig.4 Principle diagram of spectral reduction process fitting

3.1 棱鏡色散方向

棱鏡色散決定不同波長在像面上的X坐標(biāo)，棱鏡的色散方程[16]為：

(3)

式中:i0為棱鏡入射角，φ為棱鏡頂角，iλ為光線出射角，nλ為不同波長的折射率。在棱鏡色散方向上，由于中階梯光柵光譜儀的自由光譜區(qū)很小，不同波長可能對(duì)應(yīng)著不同的光譜級(jí)次，但是不同波長的光線對(duì)應(yīng)著不同的出射角，即在像面上X坐標(biāo)位置不同，且在長波方向上級(jí)次間隔逐漸變小，在短波方向上，每個(gè)級(jí)次的斜率越來越大。本算法采用多項(xiàng)式擬合的方式對(duì)波長位置進(jìn)行計(jì)算，可選擇各個(gè)級(jí)次的中心波長建立X方向的多項(xiàng)式。具體擬合過程如下：

(1)選擇N個(gè)不同級(jí)次的中心波長λm1-cen，λm2-cen，…，λmN-cen；

(2)追跡出這些波長的X方向位置，得到Xm1-cen，Xm2-cen，…，XmN-cen；

(3)根據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)(λm1-cen，Xm1-cen)，(λm2-cen，Xm2-cen)，…，(λmN-cen，XmN-cen)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到多項(xiàng)式x=f(λ)，由此可獲得各個(gè)波長在像面上的X坐標(biāo)。

為保證擬合多項(xiàng)式的準(zhǔn)確性，在波長的級(jí)次選擇上，長波波段采用的級(jí)次間隔比短波波段級(jí)次間隔大一些。

[56] Donald Rothwell, Freedom of navigation in the South China Sea: Australia must take a stand, Australian Strategic Policy Institute, June 14, 2017, https://www.aspistrategist.org.au/freedom-navigation-south-china-sea-australia-must-take-stand/.

3.2 光柵色散方向

光柵的色散方向決定光線的Y坐標(biāo)，在該方向上，需計(jì)算出每一個(gè)級(jí)次自由光譜區(qū)內(nèi)各個(gè)波長的Y坐標(biāo)。由于使用級(jí)次較多，若逐一追跡每個(gè)級(jí)次的波長對(duì)應(yīng)的成像位置，工作量太大。因此，本算法采用級(jí)次間擬合的方式，具體步驟如下：

(1)使用已選擇的中心波長，其所處級(jí)次的自由光譜區(qū)為Δλm：

(4)

進(jìn)而得到各級(jí)次自由光譜區(qū)域內(nèi)其他4個(gè)波長值λm-max，λm-max1，λm-min，λm-min1，其中:

(5)

(6)

(7)

(8)

(2)追跡出以上波長的Y坐標(biāo)，得到Y(jié)m-max，Ym-max1，Ym-min，Ym-min1；

從而可知任意級(jí)次的5個(gè)波長的Y坐標(biāo)，得到每個(gè)級(jí)次的5個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)(λm-max，Ym-max)，(λm-max1，Ym-max1)，(λm-cen，0)，(λm-min，Ym-min)，(λm-min1，Ym-min1)；

(3)根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行級(jí)次間擬合，取M個(gè)級(jí)次，則：由(λm1-max，Ym1-max)，(λm2-max，Ym2-max)，……，(λmM-max，YmM-max)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到y(tǒng)1=f(x)；由(λm1-max1，Ym1-max1)，(λm2-max1，Ym2-max1)，……，(λmM-max1，YmM-max1)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到y(tǒng)2=f(x)；由(λm1-min，Ym1- min)，(λm2- min，Ym2- min)，……，(λmM- min，YmM- min)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到y(tǒng)3=f(x)；由(λm1-min1，Ym1- min1)，(λm2- min1，Ym2- min1)，……，(λmM-min1，YmM-min1)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到y(tǒng)4=f(x)。這樣，通過上述式子可獲得除已選級(jí)次之外的各個(gè)級(jí)次的5個(gè)相應(yīng)波長的Y坐標(biāo)位置；

(4)進(jìn)行級(jí)次內(nèi)擬合，通過上述過程可獲得每個(gè)級(jí)次內(nèi)5個(gè)點(diǎn)的Y坐標(biāo)位置，即(λm-max，y1)，(λm-max1，y2)，(λm-cen，0)，(λm-min，y3)，(λm-min1，y4)，在級(jí)次內(nèi)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，可得到Y(jié)=f(λ)。

進(jìn)而可獲得任意波長的Y坐標(biāo)，其中，級(jí)次內(nèi)的取點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行增加或減少。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 譜圖還原算法精度實(shí)驗(yàn)

表2 譜圖還原模型結(jié)果與光線追跡結(jié)果對(duì)比

中階梯光柵光譜儀的工作范圍覆蓋190～600 nm，使用中階梯光柵的第44～138色散級(jí)次，選取該級(jí)次范圍內(nèi)的邊緣級(jí)次和中間級(jí)次作為對(duì)比級(jí)次，其中44,138級(jí)次為多項(xiàng)式擬合使用級(jí)次，且非擬合所用波長所在級(jí)次，46，91，135級(jí)次為非擬合級(jí)次。

在整個(gè)擬合過程中，選取第44，46，91，135，138級(jí)次自由光譜區(qū)內(nèi)的上邊緣波長、中間波長和下邊緣波長，共計(jì)18個(gè)波長，進(jìn)行理論位置追跡并與采用擬合模型計(jì)算所得的坐標(biāo)位置進(jìn)行對(duì)比，對(duì)追跡與擬合數(shù)據(jù)保留了小數(shù)點(diǎn)后5位，所有數(shù)據(jù)進(jìn)行了四舍五入處理。

該中階梯光柵光譜儀在設(shè)計(jì)過程中相鄰級(jí)次間隔至少為一個(gè)像元，因此，相應(yīng)的譜圖還原模型誤差需小于一個(gè)像元。從對(duì)比數(shù)據(jù)中可以看出，在X方向上，誤差最大約為24 μm，在邊緣級(jí)次44級(jí)的邊緣波長處，該級(jí)次為擬合使用級(jí)次，造成較大誤差的原因?yàn)樵摷?jí)次自由光譜區(qū)較大，所涉及波長擬合個(gè)數(shù)要比短波處相對(duì)多，但已滿足使用要求。在Y方向上，各個(gè)級(jí)次的波長均與理論值吻合較好，具有較高的擬合精度。在整個(gè)譜圖內(nèi)該算法的坐標(biāo)擬合誤差小于一個(gè)像元，可以滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

4.2 譜圖還原算法實(shí)際對(duì)比實(shí)驗(yàn)

中階梯光柵光譜儀的主要作用是獲得所需波長或波段的光信號(hào)強(qiáng)度，輔助其所集成檢測系統(tǒng)完成物質(zhì)成分的定性和定量分析。因此，需要建立探測光束波長與強(qiáng)度的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系，即光譜標(biāo)定。為驗(yàn)證所提出的基于多項(xiàng)式擬合的中階梯光柵光譜儀譜圖還原算法的準(zhǔn)確性，分別采用該算法與傳統(tǒng)基于公式歸納法的譜圖還原算法對(duì)同一臺(tái)中階梯光柵光譜儀進(jìn)行光譜標(biāo)定，對(duì)比兩種算法的標(biāo)定結(jié)果。

光譜標(biāo)定過程中，依據(jù)譜圖還原算法將探測器接收光斑的位置坐標(biāo)與其波長精確對(duì)應(yīng)，將中階梯光柵光譜儀特有的二維譜圖還原成波長與強(qiáng)度的一維光譜數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)過程采用氬汞燈作為特征光源，在儀器工作波段即190～600 nm內(nèi)，選取253.656，296.728，302.150，334.148，404.650，407.783，576.961，579.067 nm，共計(jì)8個(gè)能量較強(qiáng)的特征峰波長作為對(duì)比波長。通過所提出的基于多項(xiàng)式擬合的譜圖還原算法與傳統(tǒng)基于公式歸納法的譜圖還原算法分別進(jìn)行光譜標(biāo)定，得到的波長數(shù)據(jù)對(duì)比如表3所示。

表3 兩種譜圖還原算法的光譜標(biāo)定結(jié)果對(duì)比

由表3可知，基于多項(xiàng)式擬合的中階梯光柵光譜儀譜圖還原算法相較傳統(tǒng)的公式歸納法，還原精度基本在一個(gè)水平，在可見光波段相對(duì)更高，在靠近紫外區(qū)域雖相對(duì)低，但還原精度基本小于儀器的光譜分辨率指標(biāo)0.02 nm，可以滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

采用公式歸納法需基于幾何光學(xué)原理建立光束經(jīng)過儀器內(nèi)部每一光學(xué)元件后位置相對(duì)于接收表面的變化，從算法的構(gòu)建到編程實(shí)現(xiàn)，過程復(fù)雜，尤其是對(duì)于內(nèi)部組件較多的光學(xué)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用難度較大。而采用多項(xiàng)式擬合的譜圖還原算法，基于中階梯光柵光譜儀采用組合分光元件分別在橫縱兩方向獨(dú)立色散所形成的二維譜圖特點(diǎn)，直接通過位置坐標(biāo)擬合實(shí)現(xiàn)譜圖還原標(biāo)定，操作簡單，通用性強(qiáng)。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種基于多項(xiàng)式擬合的中階梯光柵光譜儀高精度譜圖還原算法，通過級(jí)次間擬合的方式，只需追跡少量的光線即可獲得整個(gè)譜段內(nèi)波長的成像位置，該方法可實(shí)現(xiàn)快速、高精度的譜圖還原模型建立。將研究結(jié)果應(yīng)用于棱鏡-光柵交叉結(jié)構(gòu)的中階梯光柵光譜儀中，驗(yàn)證了所建立模型的計(jì)算誤差最大為0.023 92 mm，即所構(gòu)建的譜圖還原模型在整個(gè)像面內(nèi)的坐標(biāo)誤差均小于一個(gè)像元。通過與傳統(tǒng)譜圖還原算法的光譜標(biāo)定結(jié)果對(duì)比，標(biāo)定精度基本持平，波長準(zhǔn)確度優(yōu)于儀器的光譜分辨率指標(biāo)。該算法無需考慮中階梯光柵光譜儀內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及像差校正，只需關(guān)注光線在像面上的成像位置，模型建立具有很強(qiáng)的實(shí)用性和靈活性，不受限于復(fù)雜光路結(jié)構(gòu)，適用于各種類型的中階梯光柵光譜儀。